細化算式結構 提升運算效率

廣東 陳宇航

《2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱說明》(理科)，明確把應用數學處理物理問題的能力列為高考考查的五大能力之一。學生若要順利的解決物理問題往往需要較強的數學功底，而運算能力則是數學功底中最重要的一環。沒有好的運算能力，就意味著沒有好的思維能力。提高運算的效率，是提高學生成績的關鍵。

物理學科的學習有其固有的規律，不同的物理原理和思考方法都對應著不同特征的數學表達。通過對高中階段物理學習中相關題目的梳理，筆者發現在不同知識點的考查應用中，某些算式結構出現頻率較高。通過對這些算式結構進行分析，可以幫助學生認識不同原理的出題規律，同時在熟悉算式結構的過程中增強對運算的信心。

【例1】(2019年全國卷Ⅲ第16題)用卡車運輸質量為m的勻質圓筒狀工件，為使工件保持固定，將其置于兩光滑斜面之間，如圖1所示。兩斜面Ⅰ、Ⅱ固定在車上，傾角分別為30°和60°。重力加速度為g。當卡車沿平直公路勻速行駛時，圓筒對斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小分別為F1、F2，則

圖1

( )

【解析】對圓筒進行受力分析如圖2所示。根據平衡條件有

圖2

【總結】以上方程組中常見于牛頓定律的應用當中。牛頓定律是高中物理的核心內容之一，當對物體的狀態進行分析時，牛頓第二定律是常用的切入手段，而對于水平和豎直方向進行受力分析列式就會得到含有三角函數的方程組。其解法為利用sin2θ+cos2θ=1消元。

如上述方程：①×sinθ+②×cosθ

可得A=C1sinθ+C2cosθ

或①×cosθ-②×sinθ

可得B=C1cosθ-C2sinθ

圖3

( )

A.20 B.18 C.9.0 D.3.0

【解析】由題意可知，當摩托車在a點動能為E1時，有

【總結】上述方程組一般在平拋(類平拋)題型中出現。求解過程比較簡單，通常是先在一次方程中求解t，然后代入其他公式中求解其他量。因此就不再贅述了。

【例3】(海南省2020年普通高中學業水平選擇性考試第17題)(節選)如圖4所示，光滑的四分之一圓弧軌道PQ豎直放置，底端與一水平傳送帶相切，一質量ma=1 kg的小物塊a從圓弧軌道最高點P由靜止釋放，到最低點Q時與另一質量mb=3 kg小物塊b發生彈性正碰(碰撞時間極短)。已知圓弧軌道半徑R=0.8 m，傳送帶的長度L=1.25 m，傳送帶以速度v=1 m/s順時針勻速轉動，小物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.2，g=10 m/s2。求：

圖4

(1)碰撞前瞬間小物塊a對圓弧軌道的壓力大小；

(2)碰后小物塊a能上升的最大高度。

【解析】(1)設小物塊a下滑到圓弧最低點未與小物塊b相碰時的速度為va，

代入數據解得va=4 m/s

小物塊a在圓弧軌道最低點時，根據牛頓第二定律有

代入數據解得FN=30 N

根據牛頓第三定律可知，碰撞前瞬間小物塊a對圓弧軌道的壓力大小為30 N。

設碰后小物塊a上升的最大高度為h，根據機械能守恒定律有

解得h=0.2 m

【總結】此方程組常見于彈性碰撞的情境當中。幾乎所有的碰撞都能列出動量守恒定律和能量守恒定律各一條方程式，而對這樣的方程組通常會使用移項降次的方式求解。

再由⑧÷⑦，得v0+v1=v2⑨

四、(F-Δmg)Δt=Δmvt-Δmv0 ⑩ 掌握難度：中等

【例4】2021年7月4日，神舟十二號航天員劉伯明、湯洪波從空間站天和核心艙節點艙成功出艙，身上穿著我國自主研制的“飛天”艙外航天服，航天服內置微型噴氣發動機和操縱系統，相當于微型載人航天器，未來有一天，航天員登陸月球，在月球表面懸停。已知航天服連同人和裝備的總質量為m，噴氣口的橫截面積為S，氣體的密度為ρ，且氣體噴出前的速度為零，月球的質量為M，月球的半徑為R，引力常量為G。要使航天員能在月球表面懸停，則單位時間內噴射的氣體的質量為

( )

設Δt時間內，從噴口噴出的氣體的速度為v，體積為ΔV，質量為Δm，則

Δm=ρΔV，ΔV=SvΔt

設航天員對氣體的作用力為F′，月球表面的重力加速度為g，對Δt時間內噴射出來的氣體，

由動量定理可得(F′+Δmg)Δt=Δmv-0

上式中ΔmgΔt很小，可忽略

根據牛頓第三定律有F=F′

【總結】此式主要是在豎直方向上應用動量定理的問題中出現。其關鍵技巧在于ΔmgΔt這個無窮小量可忽略。雖然這類問題在動量應用中常見，但由于難以與其他章節結合，所以在平時訓練中出現的頻率不高。

五、教學建議