《財務管理》教學中一種改進的插值法

■ 東莞理工學院經濟與管理學院 謝坤螢 李陽陽 周潤書

由王化成、荊新、劉俊彥教授主編、中國人民大學出版社出版的《財務管理學》(第9版）是一本優秀教材。該教材榮獲國家級優秀教學成果，并多次入選國家級規劃教材。但教材中也存在可以改進的內容，例如，在教材第36～37頁的例2～例12中的插值法就可以進行改進。

我們研究原教材中的解題理論，得出該教材中插值法是基于將曲線近似看成線性函數的假設來求解利率的。根據相似三角形的數學原理，提出了下面改進的插值法。

1 原教材內容

現在向銀行存入5000元，在利率為多少時，才能保證在今后10年中每年得到750元?

查年金現值系數表，當利率為8%時，系數6.710；當利率為9%時，系數為6.418。所以利率應該在8%～9%之間，假設x為超過8%的利息率，則用插值法計算x的值如下:

原教材解法思路為以下五步:

第一步:根據題意，計算出所求利率i對應的年金現值系數為6.667。

第二步:查年金系數表，得出利率i的年金現值系數6.667介于利率8%的年金現值系數6.710和利率9%的年金現值系數6.148之間，因此確定所求利率i介于8%和9%。

第三步:將9%和8%的年金現值系數進行相減，得出1%利率的變化值。將所求的i和8%的年金現值系數進行相減，得出變化“x%”利率的年金現值系數變化值。

第四步:根據利率變化和年金現值系數變化等比例的關系，計算出“x%”。

第五步:將利率8%加上變化利率x%得出所求利率i。

可以看出:教材的插值法涉及多次算差值的計算，以及最后還需要進行加和才能得出結果，過程繁瑣，容易出錯，初學者也較難理解各個過程的差值變化。

2 插值法的基本原理

插值法是根據線性函數設置的一種計算方法，雖然貨幣時間價值計算是非線性函數，但是在求解時，我們可以把兩個臨界值之間的曲線近似地看成直線。在坐標軸上，x軸表示利率，y軸表示年金現值系數，這樣就將求解利率的問題轉化為求解函數值的問題。如原教材例題就是將兩對已知數據視為兩點(8%，6.667）(9%，6.418），確定成一條直線。

圖1 原教材插值法原理圖

圖2 改進插值法原理圖

改進的插值法就是將相似三角形的性質融入進運算之中，極大地簡化了運算，更好地體現了利率與年金現值系數間的關系，也使整體思路變得更加清晰。

3 改進插值法在原教材例題的應用

現在向銀行存入5000元，在利率為多少時，才能保證在今后10年中每年得到750元?

查年金現值系數表，當利率為8%時，系數6.710；當利率為9%時，系數為6.418。所以利率應該在8%～9%之間，假設x為超過8%的利息率，則用插值法計算x的值如下:

通過對比不難看出，改進的插值法運用相似三角形三邊對應成比例的性質，運用等比例的關系，求解出所要求的利率i，不需要像原有插值法一樣，先計算利率8%變化到利率i的值x和利率8%變化到9%的值的比率等于年金現值系數6.710變化到6.667的值和6.710變化到6.418的值的比率，然后在利率8%的基礎上加上所求的x，最終求出利率i。

改進差值法從未知數上看，所求即為所設，更加方便和易于理解，同時也避免學生在采用原有插值法計算時，算出了變化利率值，卻忽略了最終的加和計算。從運算上看，更方便快捷，易于計算。所以，該種方法容易被學生理解和掌握，學生運用這種改進方法時不容易出錯。改進插值法的思想與學生已學的初等數學中的相似三角形有著密切的聯系，能夠讓教學達到初學易接受，學完印象深的效果，同時還能做到所學知識運用在新學知識上，讓學生感受到知識的樂趣。