反導武器系統攔截能力的仿真與分析*

孫慧靜 邢翠芳 馬啟建

（1.海軍航空大學航空基礎學院 煙臺 264001）（2.煙臺文化旅游職業學院 煙臺 264006）

1 引言

彈道導彈突擊已成為現代戰爭中實施遠程精確打擊的重要手段，具有威力大、速度快、打擊精度高、突防能力強等特點[1～3]。 發射弧段和攔截弧段是衡量反導武器系統攔截能力的重要指標，目標在該弧段上飛行的時間越長，戰勤人員的操作空間越大，攔截成功率也越高，發射弧段、攔截弧段與反導武器系統的部署位置、探測跟蹤能力、雷達扇區角度、攔截彈飛行速度以及殺傷空域等密切關聯。殺傷空域是導彈武器系統戰斗性能的重要指標，它決定了武器系統的作戰高度、射程和航路捷徑等，影響殺傷空域外形和尺寸的因素主要有武器系統的作戰任務及射擊效能指標、導彈的飛行彈道和機動能力、目標的運動特性以及反導彈對抗手段等[3～12]。

本文針對北天東（NSE）直角坐標系下6枚來自不同方向來襲的彈道導彈，對某軍5個重點保衛目標實施空天打擊，在來襲導彈的相關參數包括導彈飛行時間、彈道軌跡的坐標數據、雷達散射截面積等均已知的前提下，對某軍在該區域部署2套I型反導武器系統，武器系統性能以及部署位置也已知，分別通過殺傷空余模型的構建、攔截能力的求解、導彈運行軌跡的擬合與數值仿真等手段分析了這兩套武器系統對不同來襲導彈的攔截能力，對于反導武器系統部署的優化調整提供依據。

2 殺傷區域數學模型的構建

6枚來自不同方向來襲的彈道導彈對某軍重點保衛目標（目標1～目標5）實施空天打擊如圖1所示，假定武器系統的打擊方向可以360°旋轉，且在NSE直角坐標系下，保衛目標1～目標5的坐標依次為-11080，-305，60290，-13980，-223，51586，-9490，-290，50440，-4186，-206，62370，-13930，-294，59370，單位：m。

圖1 彈道導彈的落點和2套I型反導導彈示意圖

2.1 坐標系的轉換

在北天東（NSE）坐標系下，假設某型武器系統的質心坐標為(x0，y0，z0)，其在系下的坐標即為原點O(0，0，0)，S軸與來襲目標速度矢量的水平投影平行且反向，H軸垂直于水平面（向上為正），P軸與S、H軸垂直于水平形成右手直角坐標系，新舊坐標之間就存在一個旋轉變換，即從北天東（NSE）坐標系經過一次坐標平移變換和一次旋轉轉換就得到速度坐標系。假設M為三維空間中任意一點，并設其在NSE坐標系下的坐標為(x，y，z)，其在速度坐標系下的坐標為(Χ，Y，Z) ，則NSE坐標與直角坐標系的轉換公式為

2.2 殺傷空域的模型建立

殺傷空域指反導武器系統以不低于給定概率值毀傷目標的空域（如圖2所示），通常用遠界、近界、高界、低界、側界等特征參數確定的水平平面殺傷區和垂直平面殺傷區描述[4～5]。

圖2 反導武器系統的殺傷區示意圖

I型反導武器系統性能參數如下：高界Hmax=150km，低界Hmin=45km，遠界（斜距）Dmax=200km，近界（斜距）Dmin=70km，最大航路角γ=45°，殺傷空域俯仰角為 30°～70°，導彈平均飛行速度為2.0km/s，雷達扇區方位角（雷達扇區固定）為 ±α=-50°～50°，雷達扇區俯仰角為β1～β2=0～80°，系統反應時間為T=10s。

I型反導武器系統初始部署位置如表1所示。

表1 I型反導武器系統初始部署位置

由表可以看出，I武器系統1在NSE坐標系下的坐標為

I型反導武器系統殺傷區域的邊界曲線在NSE坐標系下的等價數學模型為

下面分成兩種情況進行分析并計算兩個I型導彈武器系統的攔截能力。

情形1：不考慮I型導彈武器系統初始部署位置的天線法向方向。

首先計算攔截弧段在垂直剖面的投影長度，從而可以計算來襲導彈在攔截弧段的飛行時間。據曲線弧長公式，則曲線段l的長度為

其中ds為弧長微分，y=φ(z)為導彈的軌道方程，zearly，zlate為軌道與殺傷區域邊界的最早遭遇點和最晚遭遇點的橫坐標。

利用給定的來襲導彈相關參數數據，易得y=φ(z)的擬合表達式，通過聯立來襲導彈的軌道方程以及殺傷區域的邊界曲線，可得交點坐標。對于I型攔截武器1，存在5個不同的保護目標，對于保護目標2有兩枚來襲導彈，即分別為導彈2，3進行攻擊。這樣φ(z)有五種不同的形式，分別為φi(z)，i=1，2，…，5，故

該方程組的解為(zearly，yearly) 和 (zlate，ylate) ，相應地，能求得對應的時刻值tearly和tlate，從而可以計算出5個不同的攔截弧長上對應的導彈飛行時間ti=ti，late-ti，early，i=1，2，…，5 。同理，可以討論I型攔截武器2。

2.3 數值仿真與分析

設導彈在發射弧段上的飛行時間為T1=Tlate-Tearly，其中Tearly為攔截導彈的最早發射點對應的時刻，Tlate為攔截導彈最晚發射點對應的時刻，并設攔截導彈與目標遭遇時的飛行時間為T2，V為攔截導彈的飛行速度，Smax，Smin分別為攔截導彈飛行到遠界和近界時的距離。 顯然滿足如下關系式：

這里，對I型攔截武器來說Smin=70km?，Smax=200km?，V=2.0km/s。

圖3（a）是導彈1在天-東平面的實際運動軌跡及其4階擬合曲線，虛線為實際的運動軌跡，實線為4階擬合曲線。由圖和數據可以看出導彈不是勻速直線運動，而是變速直線運動。對于每一個時刻，其位置坐標均已知。因此，根據數值模擬，就可以計算出任意一點對應的時刻，導彈的速度，也容易得出其攔截弧長對應的時間以及發射弧長對應的時間。利用Matlab仿真計算，I型反導武器系統1對于來襲導彈1攔截弧長為203s，發射弧長為175s，I型反導武器系統2的對于來襲導彈1的攔截弧長為 170.5s，發射弧長為 136.0s。圖3（b）描述的是導彈1在北-天平面的4階擬合曲線，計算出攔截弧長及發射弧長對應的時間與利用天東平面計算得出的數值基本吻合。

圖3 導彈1的擬合曲線

在后面的仿真中，首先在天-東平面計算武器攔截系統的攔截弧長以及發射弧長對應的時間，然后在北-天平面進一步驗證數值計算的正確性。圖4（a）～圖8（a）分別展示導彈2～6在天-東平面的運動軌道和對應的擬合運動軌跡及其運動表達式，并計算出攔截弧長分別別為180s、198s、195s、160s、185s，發射弧長分別為160s、165s、158s、135s、156s。

圖4 導彈2的擬合曲線

圖5 導彈3的擬合曲線

圖6 導彈4的擬合曲線

圖7 導彈5的擬合曲線

圖8 導彈6的擬合曲線

圖4（b）～圖8（b）分別展示了導彈2～6在北-天平面的運動軌道和對應的擬合運動軌跡及其運動表達式，并計算出出攔截弧長分別別為181s、196s、196s、162s、185s；發射弧長分別為 161s、162s、156s、137s、155s.

為了使結果更加精確，分別在兩個平面上所得到的對應數據取平均值，作為最終攔截弧長和發射弧長對應的時間如表2所示。

表2 在不考慮反導系統天線發線朝向情況下的計算結果

情形2：考慮I型導彈武器系統初始部署位置的天線法向方向。

由于反導武器的攔截范圍并不是能旋轉360°，它們都有天線法線方向，由文中給出的I型反導武器系統1和2的天線法向方向以及它們的部署位置可以計算出，對于攔截系統武器1可以實現對導彈2、3、4、6進行了有效攔截，從而實現對目標2、3、5的有效保護。 對于攔截系統武器2，它的天線法向為相對于正北方向順時針60°以及其最大航路角γ=45°可得，其可能殺傷范圍的角度為相對于正北方向15°～105°。來襲導彈均不在此范圍之內，對于攔截武器2，其對于來襲導彈1～6是均沒有保護能力的。

鑒于情形2的討論與分析，可以得知I型反導武器系統2的部署位置急需調整，同時I型反導武器系統1的部署位置也需要進一步微調，以期實現攔截效果最優化。

表3 在考慮反導系統天線發線朝向情況下的計算結果

3 結語

防空導彈攔截彈道導彈的作戰效能與防空導彈火力單元的部署位置密切相關，合理的戰斗部署是成功反導的前提和關鍵。本文綜合考慮武器系統、防御對象、來襲彈道目標等因素，建立了殺傷空域等重要參數的數學模型，實現了對反導武器系統攔截能力的仿真與分析，所得結果對于反導作戰一定的參考價值。