短時間序列的復雜程度分析方法研究*

陳強強 成建波 張 剛 張 婕

（1.海軍研究院 上海 200436）（2.海軍航空大學 煙臺 264000）

1 引言

隨著航空工業的飛速發展，航空裝備的地位作用及使用效率都得到了極大的提升。同時，隨著航空科技的不斷進步，航空裝備的復雜性及綜合性也越來越高，保證航空裝備具有良好的工作狀態也顯得尤為重要，這對航空裝備的可靠性提出了更高的要求。航空發動機健康狀態監視技術是航空裝備視情維修的前提及基礎，同時也是提高航空發動機使用效率并保證航空發動機發揮其穩定效能的重要保障。

針對航空發動機氣路參數進行準確有效的分析，是實現航空發動機健康狀態監視的重要步驟及方法。文獻[1]通過對渦槳發動機轉子系統振動信號進行時域特征、能量特征分析，完成了渦槳發動機轉子的故障診斷；文獻[2]以民航發動機排氣溫度裕度作為研究參數，通過對排氣溫度裕度序列進行分析，從而判斷水洗對拆發間隔的影響。文獻[3]通過對飛參系統記錄的發動機狀態參數時間序列進行分析，得到反映發動機狀態參數的特征信息。對發動機氣路參數時間序列進行分析，能夠為發動機狀態監測提供決策依據[4]。

在對時間序列進行復雜程度分析方面，排列熵算法具有計算簡單、效率高、抗噪聲能力強、適合在線監測等優點，在時間序列分析、故障特征提取、故障診斷等方面具有重要應用[5]。文獻[6]采用排列熵方法對轉子振動信號進行檢測并實現特征提取、故障診斷；文獻[7]對航空器陀螺儀序列進行排列熵算法檢測，提取其故障特征并實現故障診斷。文獻[8]對液壓泵參數信號進行排列熵分析，驗證了其有效性。排列熵算法在機械系統時間序列分析中，取得了重要應用。但在解算過程中，受限于排列熵算法的特征，所采集的時間序列長度均設置在較長的合理范圍內。然而航空發動機氣路參數具有獲取較為困難、數據量較少、樣本長度有限等局限性，所采集到的數據往往具有序列長度短的特征[9]。為了彌補排列熵算法在短時間序列復雜程度計算方面的不足，本文通過引入插值思想，實現了對原始數據的延拓，并將原始序列重構至排列熵計算的合理范圍。通過對排氣溫度裕度（Delta Exhaust Gas Temperature，DEGT）時間序列及隨機序列進行實驗分析，結果表明所提出的基于插值重構的排列熵算法可以有效地表達短時間序列的復雜程度，是一種有效的復雜性分析方法。

2 基于排列熵的復雜性分析

排列熵算法通過衡量時間序列內部排序過程，從而實現對時間序列復雜程度的衡量，排列熵算法的基本原理如下。

1）首先，針對長度為N的原始時間序列{x(i)，i=1，2，...，N} ，對x(i)進行相空間重構分析，得到矩陣如下[10]：

式中，m為嵌入維數，τ為延遲時間，k=N-(m-1)τ為重構向量的個數。

2）將Xj中的數據元素按照升序的方式進行排列，得：

式中，j1，j2，…jm為各元素在排序之前位于相空間所在列的索引。

3）如果Xj中存在兩元素相等，則按原始順序進行排列。通過對相空間重構后的時間序列分析，對于任意一個Xj，均能得到相應的符號序列Sl={j1，j2，…，jm} ，其中，l=1，2，...，k，且k≤m!。可定義排列熵的計算公式為[11]

式中，Pj為符號序列的概率，且。

此時，Hp的取值為[0，?1]，可反映出時間序列的復雜程度。Hp越大，則序列復雜程度越高。

排列熵作為衡量時間序列內部復雜度的算法，計算過程簡單方便，能夠有效地分析非線性、非平穩信號，適用于發動機氣路參數數據。在排列熵的計算過程中主要包括3個參數：時間序列長度N、嵌入維數m、延遲時間τ。排列熵算法的提出者Bandt建議選擇嵌入維數m為3～7，一般隨著時間序列長度增加進行相應調整[12]。因為如果嵌入維數m過小，相空間重構的向量中包含狀態太少，算法失去意義和有效性；而嵌入維數m過大，則相空間重構步驟會均勻化時間序列，無法反映序列的微小變化。延遲時間τ對時間序列的計算影響較小，一般選擇τ=1。文獻[13]以隨機信號為例對排列熵計算過程中時間序列長度的影響進行了分析，證明了時間序列長度在1024或2048左右較為合適，此時可對應的選擇嵌入維數m=6，延遲時間τ=1。通過文獻中對排列熵的分析可知，如果時間序列長度過短，則嵌入維數的取值應進行相應的減小，而過小的嵌入維數又會導致排列熵算法失去其有效性，從而影響復雜度的衡量[14]。因此，有必要對短時間序列進行進一步處理，使其適用于排列熵算法。

3 三次樣條插值

為了對采集到的原始DEGT短序列進行處理，使其時間序列長度適用于排列熵的解算，借鑒經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）算法中構造上下包絡曲線的原理[15]，引入三次樣條插值（Cubic Splines Interpolation）思想[16]對原始短時間序列進行重構。三次樣條插值方法得到的曲線具有良好的平滑性，逼近效果好，能夠很好地實現數據的插值。

在經驗模態分解的過程中，三次樣條插值的運用主要是為了求取原始時間序列的固有模態函數（Intrinsic Mode Function，IMF）。其中心思想為對原始時間序列x(i)進行分析，分別求取其極大值點和極小值點，然后對確定的極大值點和極小值點，采用三次樣條曲線進行擬合，得到時間序列x(i)的上包絡線U(i)及下包絡線L(i)，并求取U(i)與L(i)的均值，得到中值包絡線M(i)；以此類推，得到相應的固有模態函數，從而完成對整個時間序列的分解。

借鑒經驗模態分解過程中對三次樣條插值的應用，本文提出的短時間序列復雜程度分析方法，通過對原始短時間序列進行三次樣條插值，從而得到符合排列熵解算過程所需要長度的新時間序列。

三次樣條插值法是一種特殊多項式進行插值的方法，可以減小低階多項式的插值誤差[17]。線性數學分析中常用的線性插值（Linear）在估計兩個數據點之間的數值時較為常用也較為簡單，但線性插值在使用過程中，對數值的模擬較為粗糙，在曲線之間的連接處不夠平滑。相比之下，三次樣條插值使用一條平滑曲線對各數值點進行模擬，經過實驗驗證，其結果比線性插值更接近工程實際情況，所得結果也更具有優勢。

對樣條的定義是用來表述光滑曲線的一種方法，在數學模型中，為了實現光滑的閉合曲線，通常需要在樣點上固定樣條。非樣點區域可以任意彎曲，這樣連接樣點的曲線被定義為樣條曲線[18]。

三次樣條插值的數學定義為

假設對y=f(x)在區間[a，b]上給定一組節點a=x0＜x1＜x2…＜xn=b，并且給出相應的函數值y0，y1，y2…yn，如果s(x)具有以下特征：

1）每個子區間[xi-1，xi]，其中i=1，2，3，…，n上s(x)是不高于三次的多項式；

2）其中s(x)，s′(x) ，s″(x)在區間[a，b]上連續，s(x)為三次樣條函數；

3）s(xi)=yi，其中其中i=1，2，3，…，n，s(x)是s(x)=y的三次插值函數。

4 短時間序列插值重構

基于三次樣條插值理論，針對長度為N的原始時間序列{x(i)，i=1，2，...，N} ，原始時間序列的數據點間隔可默認為1，即每隔1個橫坐標數據點，存在與其對應的1個縱坐標數據點。構造短時間序列插值重構算法模型如下。

1）設原始時間序列{x(i)，i=1，2，...，N} ，原始時間序列可以看做x(i)與i之間的函數，每個x(i)對應的坐標位置分別為i=1，2，3，…，n，為了直觀展示橫坐標i與縱坐標x(i)之間的關系，也可表述為i=1，1+1，2*1+1，…，(n-1)*1+1；

2）參考小波分析（Wavelet Transform，WT）中的尺度因子變化方法，引入重構維數k，在保證每個縱坐標x(i)數值不變的前提下，對原始數據序列的橫坐標位置進行重構，得到重構后的橫坐標位置對應為i′=1，k+1，2k+1，…，(n-1)k+1，此時構建得到x(i)與i′之間的函數，即為重構時間序列；

3）以原始時間序列x(i)的值為縱坐標，以重構后的坐標位置i′為橫坐標，補全后的時間序列間隔仍為1，進行三次樣條插值，最終得到重構后的時間序列x′(i)長度為(n-1)k+1。

針對x(i) 與x′(i)進行分析，本文提出的基于三次樣條插值方法的時間序列重構模型遵循原始時間序列結構，通過改變時間序列對應的坐標，對時間序列進行延拓，提取出原始時間序列的內部信息，并按照原有的時間間隔重新分布索引位置。該時間序列重構方法未改變原始數據結構，遵循了原始時間序列規律。

基于此，確定短時間序列的復雜程度分析方法如下：

1）針對原始短時間序列，確定其數據長度及需要重構的維數；

2）對原始序列進行重構，將其程度延拓至排列熵解算所需要的合理長度；

3）計算排列熵值，完成對重構后的時間序列復雜程度分析。

為了驗證本文所提出的基于三次樣條插值重構方法的合理性，利用正弦信號進行分析實驗，在[0 ，6]區間內（約為[0 ，2π]區間，即一個周期，實驗中2π的值不為整數，為了對實驗結果進行直觀展示，取整選擇[0 ，6]區間），以步長x等于0.1，構建正弦信號y=sinx。此時y與x之間的映射為y=f(x)，即每一個以0.1為橫坐標間隔的點，對應一個縱坐標的值。

以重構維數取4為例，原始時間序列長度為（61-1）*1+1=61，則重構后的時間序列長度為（61-1）*4+1=241。

針對原始時間序列y=f(x)，其橫坐標x分別對應為0，0.1，0.2…，64，重構后的橫坐標x′分別對應為0，0.4，0.8，…，241；保持縱坐標的取值不變，得到映射y′=g(x′)。

保證時間序列的間隔與原始時間序列間隔相等，即為0.1，對y′=g(x′)進行三次樣條插值并補全時間序列。得到時間序列間隔為0.1的y′=g(x′)。

原始時間序列y=f(x)=sinx與重構后時間序列y′=g(x′)之間的對比如圖1所示。

圖1 原始時間序列與重構后時間序列

如圖1所示，通過原始時間序列y=f(x)與重構后的時間序列y′=g(x′)之間的對比可知，本文所提出的基于三次樣條插值的時間序列重構算法僅通過插值重構增加了時間序列長度，將原始時間序列的長度從61變為241，沒有改變原始時間序列的表現形式，仍然保持原始時間序列的內部規律。

驗證1：相關性驗證。為了從數值形式上直觀表示原始時間序列與重構后時間序列的關系，在[0 ， 24]區間內，以步長0.1對橫坐標進行取值，構建正弦信號，并與重構后的時間序列進行對比。采用互相關系數ρy′y″表示重構后時間序列y′與在[0 ， 24]區間內的正弦信號y″之間的相關性；ρx3t的取值越接近于1，則表示兩種信號之間的相關性越強[19]。

計算得到在[0 ，24]區間內的正弦信號y″與重構后時間序列y′之間的互相關系數為0.9956，表明兩者呈現強烈的相關性，重構后的時間序列未改變原始時間序列的物理特性，仍然遵循了原始時間序列的內部規律。

驗證2：誤差驗證。為了驗證重構后時間序列y′與 [0 ，24]區間內的正弦信號y″之間的誤差，采用均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）為指標對重構時間序列的誤差進行衡量[20]。RMSE的表達式為

根據式（6），計算得到正弦信號y″與重構后時間序列y′之間的RMSE為0.0680。表明三次樣條插值具有很好的擬合效果。

5 實驗分析

以國航某發動機的巡航數據DEGT觀測值為實驗樣本，采樣間隔約為15個飛行循環，可近似為等間隔采樣。從該型發動機第1個飛行循環到第12501個飛行循環，共計101個數據采樣點。原始DEGT數據序列如圖2所示。

圖2 原始DEGT時間序列

如圖2所示，原始時間序列長度為101，當時間序列長度過短時，由于嵌入維數的選擇問題，排列熵算法失去了其對時間序列復雜程度衡量的意義，無法準確衡量時間序列的復雜度。根據文獻[13]中對排列熵算法的分析，選取數據長度約為1024較為理想，此時選擇嵌入維數m=6，延遲時間τ=1。根據本文提出的短時間序列插值重構算法對其進行重構，確定重構維數k=10，則重構后的時間序列長度為(101-1)*10+1=1001。原始序列與重構后序列的對比如圖3所示。

圖3 原始序列與重構后序列

如圖3所示，通過重構前后的時間序列對比可知，本文所提出的基于三次樣條插值的時間序列重構算法僅通過插值重構增加了時間序列長度，沒有改變原始時間序列的內部規律。對重構后的序列進行排列熵解算，得到其熵值為0.2964。

為驗證本文所提出的短時間序列插值重構方法的合理性，在延遲時間τ=1時，驗證在不同嵌入維數下，原始時間序列和重構后時間序列的排列熵變化情況。由于原始DEGT序列長度過短，因此在計算時嵌入維數的選擇不宜過大，排列熵計算結果如表1所示。

表1 DEGT序列排列熵計算結果

根據排列熵的定義可知，排列熵的求解取值范圍為[0，?1]，數值越小，表明時間序列復雜性越低。如表1所示，隨著嵌入維數的變化，短時間序列的排列熵變化范圍過小，無法準確反映排列熵結果隨嵌入維數的變化過程，不能準確衡量時間序列的復雜程度。

為了進一步驗證插值重構算法在排列熵計算過程中的有效性，選取長度為101的隨機白噪聲序列，并與重構后的時間序列進行對比驗證，所得結果如表2所示。

表2 隨機序列排列熵計算結果

如表2所示，直接對短時間序列進行排列熵求解，仍然無法準確反映排列熵結果隨嵌入維數的變化過程，同時，對比表1及表2，也驗證了在排列熵求解過程中，嵌入維數的取值不宜過小（如嵌入維數m=2時，均無法有效衡量時間序列復雜程度），否則相空間重構的向量中包含狀態太少，算法失去意義和有效性。

6 結語

排列熵算法能夠準確有效地衡量時間序列復雜程度，但在工程應用中，受限于數據樣本獲取困難的不足，時間序列呈現長度較短的特征。本文通過對排列熵原理進行分析，針對短時間序列無法準確使用排列熵衡量其時間序列復雜程度的問題，提出了采用基于三次樣條插值的時間序列重構方法對原始數據進行延拓。以隨機序列及采集到的航空發動機氣路參數序列為實驗對象，對插值重構方法進行了實驗驗證，實驗結果表明：

1）基于三次樣條插值的短時間序列重構模型，能夠將短時間序列延拓至合理長度，為排列熵求解過程奠定基礎，有效解決了短時間序列復雜程度無法準確衡量的問題；同時，時間序列長度的確定，也避免了排列熵求解中的參數選擇問題；

2）采用插值重構算法，未改變原始時間序列結構，遵循了原始序列規律；

3）針對不同序列，均可采用插值重構算法進行延拓，在工程中具有一定的普適性。