基于三段式Halbach陣列的同軸磁性聯(lián)軸器優(yōu)化設(shè)計

秦清海，汲柏良

(曲阜師范大學(xué) 工學(xué)院，日照 276800)

0 引 言

傳統(tǒng)的聯(lián)軸器存在對中問題，若對中不良，將導(dǎo)致振動與噪聲過大、轉(zhuǎn)軸彎曲以及軸承磨損等一系列故障，嚴(yán)重降低設(shè)備的可靠性，增加維修費用。為提高聯(lián)軸器的可靠性，有學(xué)者提出了一種基于磁力傳動的磁性聯(lián)軸器。由于該新型磁性聯(lián)軸器具有物理隔離性好、無機(jī)械接觸、可過載保護(hù)以及可靠性高的優(yōu)勢，已成功應(yīng)用于石油化工、半導(dǎo)體、生物醫(yī)藥等行業(yè)[1-2]。常見的磁性聯(lián)軸器有兩種，分別是同軸磁性聯(lián)軸器和平面磁性聯(lián)軸器。

在磁性聯(lián)軸器的理論分析與優(yōu)化設(shè)計方面，許多學(xué)者進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[3]介紹了同軸磁性聯(lián)軸器的結(jié)構(gòu)特點并分析了影響其最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩的因素。文獻(xiàn)[4]針對磁力泵聯(lián)軸器推導(dǎo)出其由于端部漏磁損失的轉(zhuǎn)矩值，為樣機(jī)的研制過程提供了參考。文獻(xiàn)[5]將一種兩段式 Halbach永磁陣列應(yīng)用于同軸磁性聯(lián)軸器，在同等條件下Halbach陣列磁性聯(lián)軸器的最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩提高了23.8%。理論證明該結(jié)構(gòu)的磁性聯(lián)軸器無需軛鐵，可有效減小轉(zhuǎn)動部件的轉(zhuǎn)動慣量，縮短啟動時間。文獻(xiàn)[6]等推導(dǎo)了一種理想徑向Halbach轉(zhuǎn)子磁性聯(lián)軸器的三維解析轉(zhuǎn)矩方程，得出了峰值轉(zhuǎn)矩的產(chǎn)生條件。

有限元方法可有效應(yīng)用于復(fù)雜電磁場問題的求解，但隨著網(wǎng)格剖分精度的提高，會出現(xiàn)計算效率低的問題。有限元方法和其它優(yōu)化算法結(jié)合，用于各種電機(jī)拓?fù)涞膬?yōu)化設(shè)計，是當(dāng)下研究的熱點。文獻(xiàn)[7]將響應(yīng)曲面法與遺傳算法相結(jié)合對微型電動車驅(qū)動電機(jī)的成本進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]提出了基于自適應(yīng)網(wǎng)格的有限元方法，采用多目標(biāo)遺傳算法對不同類型的電機(jī)拓?fù)溥M(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[9]基于多目標(biāo)粒子群算法對一臺永磁同步電機(jī)的效率、功率因數(shù)以及起動性能進(jìn)行了優(yōu)化。

本文將一種三段式Halbach陣列應(yīng)用于同軸磁性聯(lián)軸器中，利用響應(yīng)曲面法建立了永磁體轉(zhuǎn)矩密度與磁性聯(lián)軸器總體積的復(fù)合性能函數(shù)，并基于模擬退火(以下簡稱SA)算法對最優(yōu)復(fù)合性能函數(shù)進(jìn)行求解，得到了最佳的設(shè)計參數(shù)組合。仿真結(jié)果表明，優(yōu)化后磁性聯(lián)軸器永磁體的轉(zhuǎn)矩密度得到了較大幅度的提升，磁性聯(lián)軸器的總體積有所減小，驗證了本文優(yōu)化方案的有效性。

1 三段式Halbach陣列

傳統(tǒng)的同軸磁性聯(lián)軸器主要由內(nèi)、外轉(zhuǎn)子磁齒輪以及固定于其表面的永磁體組成，其中永磁體采用徑向充磁方式，即N，S極交替排列的形式。圖1給出了同軸磁性聯(lián)軸器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及重要尺寸標(biāo)注。本文以一臺功率等級為10 kW的同軸磁性聯(lián)軸器為例進(jìn)行說明，其技術(shù)指標(biāo)如表1所示。其中，外轉(zhuǎn)子磁齒輪、內(nèi)轉(zhuǎn)子磁齒輪分別作為主動軸與從動軸，外轉(zhuǎn)子永磁體生成的旋轉(zhuǎn)磁場與內(nèi)轉(zhuǎn)子永磁體生成的磁場相互作用，驅(qū)動內(nèi)轉(zhuǎn)子與外轉(zhuǎn)子同方向旋轉(zhuǎn)。為應(yīng)對過載等不同工況，設(shè)定過載倍數(shù)為1.5，則該設(shè)計的最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩為286.5 N·m。

圖1 同軸磁性聯(lián)軸器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及相關(guān)參數(shù)

表1 10 kW同軸磁性聯(lián)軸器的技術(shù)指標(biāo)

Halbach陣列是一種新型的永磁體排列方式，它通過將充磁方向不同的永磁體按照一定順序排列，可使氣隙側(cè)的磁場強(qiáng)度增強(qiáng)，達(dá)到節(jié)省永磁體材料、提高轉(zhuǎn)矩密度的目的。本文采用的三段式Halbach陣列如圖2所示。其中每個磁極都由一塊徑向充磁和兩塊充磁角度與其成45°的永磁體組成。

圖2 徑向充磁及三段式Halbach陣列

下面對采用Halbach陣列以及傳統(tǒng)的徑向充磁方式的同軸磁性聯(lián)軸器性能進(jìn)行了比較。根據(jù)有限元仿真實驗，首先確定滿足設(shè)計要求下使用徑向充磁方式的技術(shù)指標(biāo)各參數(shù)的初始值，如表2所示。保持表2中參數(shù)不變，將充磁方式改為Halbach陣列，采用兩種不同充磁方式的磁性聯(lián)軸器的磁力線分布對比如圖3所示。可以看出，采用三段式Halbach陣列后，內(nèi)外轉(zhuǎn)子鐵心部分磁力線大部分集中在氣隙側(cè)，氣隙側(cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度得到了加強(qiáng)，永磁體的利用率得到了顯著提高。

表2 各參數(shù)的初始值

圖3 兩種充磁方式磁力線分布對比

圖4和圖5分別給出了兩種充磁方式下的氣隙磁密與其傅里葉分解的諧波對比圖。

由圖4可以看出，采用三段式Halbach陣列之后氣隙的徑向磁密與切向磁密幅值均有所上升，并且徑向磁密與切向磁密波形都具有8個波峰，這也說明了內(nèi)外轉(zhuǎn)子的磁極對數(shù)為8。

圖4 兩種充磁方式氣隙磁密波形對比

由圖5可以看出，兩種充磁方式下的氣隙磁密的諧波分量主要集中在基波(8對極)及其奇數(shù)倍諧波，而偶數(shù)次諧波含量很低。采用Halbach陣列后，徑向諧波分量中除基波分量外，3次(24對極)、7次(56對極)、9次(72對極)以及13次(104對極)諧波幅值也有所增加。而切向諧波分量中除基波分量外，7次(56對極)、13次(104對極)諧波幅值增加較為明顯。

圖5 兩種充磁方式氣隙磁場諧波對比

為定量研究三段式Halbach陣列對氣隙磁密的影響，表3給出了兩種充磁方式下幅值最高的前5組諧波徑向與切向分量的幅值。

表3 兩種充磁方式下各次諧波分量徑向/切向磁密幅值

正弦波的波形質(zhì)量通常用諧波畸變率THD衡量，其表達(dá)式：

(1)

式中：Bi為氣隙磁密的各次諧波幅值；B1為氣隙磁密的基波幅值。

由圖5可以看出，前9次諧波已經(jīng)占據(jù)了諧波含量的絕大部分。由式(1)可計算兩種充磁方式下前9次諧波的徑向與切向分量的諧波畸變率。經(jīng)過計算，采用三段式Halbach陣列之后，徑向分量的諧波畸變率由12.35%降低為5.27%，切向分量的諧波畸變率由73.24%降低為27.72%。這說明采用三段式Halbach陣列可有效提升氣隙磁密波形的正弦性。

磁場耦合在內(nèi)轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生的磁力轉(zhuǎn)矩可由麥克斯韋張量法求得[10]：

(2)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；Lef為聯(lián)軸器的軸向長度；Rδ為氣隙半徑；Br、Bt分別為氣隙磁密的徑向與切向分量；θ為觀測點所對應(yīng)的極角。

圖6給出了采用徑向充磁與三段式Halbach陣列的聯(lián)軸器內(nèi)轉(zhuǎn)子靜態(tài)轉(zhuǎn)矩波形。可以看出，在相同的尺寸參數(shù)下，采用徑向充磁方式的內(nèi)轉(zhuǎn)子最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩為286.5 N·m，而采用三段式Halbach陣列后最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩達(dá)到了369.7 N·m，提升了接近29%，說明采用三段式Halbach陣列可有效提升同軸磁性聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)矩密度。

圖6 兩種充磁方式靜態(tài)轉(zhuǎn)矩對比

2 優(yōu)化參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)選取

針對同軸磁性聯(lián)軸器的性能要求，一方面應(yīng)在保證轉(zhuǎn)矩性能達(dá)到要求的前提下盡量減少永磁體用量，提高其轉(zhuǎn)矩密度、降低成本；二是受應(yīng)用場景的限制，其總體體積不能過大，應(yīng)設(shè)法提高其空間利用率。為此，選取磁性聯(lián)軸器永磁體的轉(zhuǎn)矩密度D以及磁性聯(lián)軸器的總體積V作為待優(yōu)化目標(biāo)。

永磁體轉(zhuǎn)矩密度D的計算公式如下：

(3)

式中：Tin為同軸磁性聯(lián)軸器內(nèi)轉(zhuǎn)子的最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩；VPM_in、VPM_out分別表示內(nèi)、外轉(zhuǎn)子永磁體的體積，其計算公式如下：

VPM_in=πLef[(Rc-bout-hout-δ)2-

(Rc-bout-hout-δ-hin)2]

(4)

VPM_out=πLef[(Rc-bout)2-(Rc-bout-hout)2]

(5)

式中：Rc、Lef分別為同軸磁性聯(lián)軸器的外轉(zhuǎn)子半徑與軸向長度；hin、hout分別內(nèi)外轉(zhuǎn)子的永磁體厚度；bin、bout分別內(nèi)外轉(zhuǎn)子的鐵心厚度；δ為氣隙長度。

同軸磁性聯(lián)軸器總體積V的計算公式如下：

(6)

最終選取待優(yōu)化的設(shè)計變量為同軸磁性聯(lián)軸器外轉(zhuǎn)子半徑Rc、軸向長度Lef以及內(nèi)、外轉(zhuǎn)子永磁體的厚度hin、hout。

其次，采用三段式Halbach陣列后，為達(dá)到相同的轉(zhuǎn)矩性能，對表2中的數(shù)值進(jìn)行了初步優(yōu)化，如表4所示。可以看出，在相同的轉(zhuǎn)矩性能下采用三段式Halbach陣列之后，同軸磁性聯(lián)軸器的軸向長度由90 mm減少為80 mm，永磁體厚度由5 mm減少為4.5 mm，通過進(jìn)一步計算，永磁體的用量由0.313 8 dm3減少為0.243 7 dm3，減少了22.3%。

表4 各參數(shù)的初步優(yōu)化值

3 基于響應(yīng)曲面法的復(fù)合性能函數(shù)建模

響應(yīng)曲面法(以下簡稱RSM)是一種基于數(shù)理統(tǒng)計的優(yōu)化方法，它通過合理的實驗設(shè)計以及較少的實驗次數(shù)來獲取較多的有效信息，RSM被廣泛應(yīng)用于機(jī)電設(shè)備的優(yōu)化設(shè)計中[11-13]。

RSM實驗樣本數(shù)由下式確定：

N=2m+2m+1

(7)

式中：m=4為待優(yōu)化的設(shè)計變量個數(shù)，N=25為RSM實驗樣本數(shù)。

基于表2中各參數(shù)的初始值，使用有限元軟件ANSYS進(jìn)行RSM實驗，建立各優(yōu)化目標(biāo)與待優(yōu)化的設(shè)計變量之間的二次回歸(以下簡稱QR)模型：

(8)

式中：f1(x)、f2(x)為目標(biāo)函數(shù)，分別表示永磁體的轉(zhuǎn)矩密度D、同軸磁性聯(lián)軸器總體積V的倒數(shù)的預(yù)測值；x為由待設(shè)計變量組成的設(shè)計向量，即：x= [x1,x2,x3,x4]= [Rc,Lef,hin,hout]；α0、αm、αmn、β0、βm、βmn為回歸系數(shù)；κ1、κ2為隨機(jī)誤差。

圖7給出了設(shè)計變量關(guān)于轉(zhuǎn)矩密度D的響應(yīng)結(jié)果。

圖7 各設(shè)計變量關(guān)于轉(zhuǎn)矩密度D的響應(yīng)結(jié)果

圖8給出了使用RSM與QR方法得出的永磁體轉(zhuǎn)矩密度D與同軸磁性聯(lián)軸器總體積倒數(shù)V-1的對比圖。判定系數(shù)R2定義為回歸變量的回歸平方和與總離差平方和的比值，其數(shù)值越接近1說明回歸精度越高。經(jīng)過計算，兩者的判定系數(shù)分別為0.993 6與0.999 6，均高于0.99，說明回歸精度較高，結(jié)果較理想。

圖8 擬合結(jié)果對比

引入復(fù)合性能函數(shù)F(x)，根據(jù)圖7的實驗結(jié)果確定各設(shè)計參數(shù)的取值范圍，將研究問題轉(zhuǎn)化為下式的單目標(biāo)非線性規(guī)劃問題：

maxF(x)=max[w1γ1f1(x)+w2γ2f2(x)+

λΦ-1(x,Tin0)]

(9)

式中：F(x)為復(fù)合性能函數(shù)，它綜合考慮了設(shè)計變量對各性能指標(biāo)的影響；w1、w2表示權(quán)重系數(shù)，且有w1+w2=1；γ1；γ2表示尺度系數(shù)，用于平衡不同性能指標(biāo)之間量綱與量級的差異性；λΦ-1(x,Tin0)為懲罰項，用于將含函數(shù)約束(即目標(biāo)轉(zhuǎn)矩約束)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無函數(shù)約束最優(yōu)化問題；λ為懲罰因子；Φ-1(x,Tin0)為懲罰函數(shù)，其表達(dá)式如下：

(10)

式中：f3為內(nèi)轉(zhuǎn)子最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩的預(yù)測值，其形式與式(8)中f1、f2的形式一致；Tin0為內(nèi)轉(zhuǎn)子最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩的目標(biāo)值，此處取值為286.5 N·m。

尺度系數(shù)γ1、γ2的計算公式如下式：

(11)

(12)

式中：Dmax、Dmin分別表示RSM實驗中永磁體轉(zhuǎn)矩密度D的最大值、最小值；Vmax、Vmin分別表示RSM實驗中同軸磁性聯(lián)軸器總體積V的最大值、最小值。

由于優(yōu)化目標(biāo)永磁體轉(zhuǎn)矩密度擬合結(jié)果的判定系數(shù)低于總體體積的倒數(shù)，因此給予前者較小的權(quán)重系數(shù)值，以降低回歸精度較低帶來的誤差，表5給出了權(quán)重系數(shù)與尺度系數(shù)的取值。

表5 權(quán)重系數(shù)與尺度系數(shù)的取值

4 SA算法尋優(yōu)

SA算法相對于傳統(tǒng)的優(yōu)化算法能夠以一定的概率接受比當(dāng)前解要差的解，因此有較大可能性跳出局部最優(yōu)解，達(dá)到全局最優(yōu)解。且該法計算過程簡單、魯棒性強(qiáng)，可用于復(fù)雜非線性規(guī)劃問題的求解[14-15]。由于SA算法擅長無函數(shù)約束的目標(biāo)優(yōu)化問題，故在式(9)中引入了懲罰函數(shù)項，將其轉(zhuǎn)化為無函數(shù)約束的優(yōu)化問題。設(shè)置迭代次數(shù)為1 000次，適應(yīng)度函數(shù)取為-F(x)，懲罰因子λ=0.01，使用SA算法對式(9)進(jìn)行求解。圖9給出了當(dāng)前適應(yīng)度函數(shù)與最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)的優(yōu)化迭代過程。可以看出，在第500代時，適應(yīng)度函數(shù)就已經(jīng)收斂，最終的適應(yīng)度函數(shù)為-2 832.65。

圖9 適應(yīng)度函數(shù)的優(yōu)化迭代過程

本文的同軸磁性聯(lián)軸器的優(yōu)化設(shè)計流程圖如圖10所示。

圖10 本文優(yōu)化設(shè)計流程圖

表6給出了使用SA算法優(yōu)化前后各參數(shù)的值，其中值3為優(yōu)化后各參數(shù)的值。可以看出，采用三段式Halbach陣列的聯(lián)軸器經(jīng)優(yōu)化后，內(nèi)、外轉(zhuǎn)子永磁體厚度有所增加，但軸向長度由80 mm減小為74.83 mm。

表6 各參數(shù)優(yōu)化前后對比

圖11 優(yōu)化后磁性聯(lián)軸器各性能指標(biāo)對比

圖11對圖10的設(shè)計流程各性能指標(biāo)優(yōu)化前后進(jìn)行了比較。可以看出，永磁體轉(zhuǎn)矩密度由1 395.4 kN·m/m3提升至1 405.1 kN·m/m3，總體積由0.905 dm3減小為0.831 dm3，減小了8.2%。相對于原始的徑向充磁方式，優(yōu)化后的永磁體轉(zhuǎn)矩密度提升了53.9%，聯(lián)軸器的總體積減小了18.4%。其中，永磁體轉(zhuǎn)矩密度大幅提升的主要原因是采用了三段式Halbach陣列。

圖12給出了優(yōu)化前后同軸磁性聯(lián)軸器的3D模型圖。可以看出，優(yōu)化后聯(lián)軸器的總體積和永磁體用量均有所減小，降低了成本、提高了空間利用率。

圖12 優(yōu)化前后磁性聯(lián)軸器3D模型對比

圖13與圖14分別給出了優(yōu)化后聯(lián)軸器的磁場強(qiáng)度分布云圖以及磁力線分布圖。可以看出，磁力線分布合理，漏磁較少，鐵心材料得到了充分利用。這充分說明了三段式Halbach陣列以及優(yōu)化策略的有效性。

圖13 優(yōu)化后的磁場強(qiáng)度分布云圖

圖14 優(yōu)化后的磁力線分布圖

圖15給出了優(yōu)化前后磁性聯(lián)軸器內(nèi)轉(zhuǎn)子的靜態(tài)轉(zhuǎn)矩波形對比。可以看出，優(yōu)化前后最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩變化不大，滿足設(shè)計轉(zhuǎn)矩為289.5 N·m的要求。

圖15 優(yōu)化前后內(nèi)轉(zhuǎn)子靜態(tài)轉(zhuǎn)矩對比

5 結(jié) 語

通過仿真實驗驗證與分析可以得出如下結(jié)論：

(1)采用三段式Halbach陣列可顯著提升同軸磁性聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)矩密度，有效減少其總體積；

(2)以永磁體的轉(zhuǎn)矩密度以及同軸磁性聯(lián)軸器的體積為優(yōu)化目標(biāo)，合理選取優(yōu)化變量，采用響應(yīng)曲面法與模擬退火算法相結(jié)合的優(yōu)化策略對復(fù)合性能函數(shù)進(jìn)行求解，可起到提高空間利用率、節(jié)省永磁材料的目的，同時提高了實驗效率。