數(shù)控機(jī)床振動模態(tài)分析與薄弱部位辨識方法研究*

凌益民，肖長天，劉宜杰，龐 偉，毛新勇，尹 玲

（1.東莞市固達(dá)機(jī)械制造有限公司，廣東東莞 523562；2.華中科技大學(xué)，武漢 430074；3.東莞理工科技創(chuàng)新研究院，廣東東莞 523808；4.東莞理工學(xué)院機(jī)器人與智能裝備創(chuàng)新中心，廣東東莞 523808）

0 引言

數(shù)控機(jī)床作為一個由多部件組成復(fù)雜且精密的整體系統(tǒng)，組成機(jī)床各部件的結(jié)構(gòu)差異導(dǎo)致在實際工作時表現(xiàn)出來的振動特性是不同的，在某個工況下，振動最為強(qiáng)烈的部件就是機(jī)床多部件的薄弱部件。1907年Taylor[1]提出了切削加工過程中的顫振概念，顫振的出現(xiàn)會影響加工精度和零件成型質(zhì)量。1965年，Giuseppe[2]提出機(jī)床在白噪聲激勵下利用互相關(guān)函數(shù)能夠辨識出機(jī)床的模態(tài)參數(shù)，解決了激勵力未知時無法通過頻響函數(shù)獲取機(jī)床模態(tài)參數(shù)的問題。2004年Kushnir等[3]采集了機(jī)床各部件在切削加工過程中的響應(yīng)信號，并根據(jù)頻譜分析過濾出機(jī)床固有頻率中夾雜的一些諧波頻率，隨后由各個響應(yīng)點(diǎn)之間的互相關(guān)函數(shù)辨識出了機(jī)床的真實固有頻率和對應(yīng)的振型，通過對比機(jī)床不同部件的模態(tài)振型確定了機(jī)床在該切削狀態(tài)下的主要薄弱振型。2007年Dhupia[4]研究一臺可裝卸零部件機(jī)床的動力學(xué)特性，通過研究在不同配置下機(jī)床的lobe圖，發(fā)現(xiàn)機(jī)床在不同配置下也有相同的頻響函數(shù)和lobe圖，導(dǎo)致顫振的主導(dǎo)模態(tài)由主軸系統(tǒng)決定。2010年Budak[5]為了研究機(jī)床的結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性，在深孔切削實驗中獲取了主軸、工件、立柱等部件的頻響函數(shù)，并由EMA方法分析出各部件的模態(tài)參數(shù)，結(jié)果表明該實驗中主軸是機(jī)床所有部件中振動最強(qiáng)烈的一個。2011年Kolar和Sulitka[6]在一臺臥式鏜床上進(jìn)行加工實驗，通過實驗?zāi)B(tài)分析法分析機(jī)床結(jié)構(gòu)限制刀具的頻響函數(shù)，結(jié)果表明機(jī)床的結(jié)構(gòu)能影響刀具的動力學(xué)特性，同時發(fā)現(xiàn)機(jī)床的加工性能主要由機(jī)床結(jié)構(gòu)、刀具系統(tǒng)、主軸這3個部分的動力學(xué)參數(shù)影響。2012年Siddhpura[7]提出車削加工中的主振模態(tài)會引起結(jié)構(gòu)的再生顫振，在工件的車削加工過程，刀具后一個刀齒總是重復(fù)切削前一個刀齒切削過的表面。如果工件表面不光滑，切削時同樣會在新的工件表面上形成振紋，如此循環(huán)最終導(dǎo)致機(jī)床發(fā)生顫振。2017年劉全心[8]提出了一種與工作臺進(jìn)給速度有關(guān)的機(jī)床自激勵法，研究在不同進(jìn)給速度下工作臺的慣性力對機(jī)床結(jié)構(gòu)振動特性的影響。2019年Lin[9]為了研究刀具的形狀參數(shù)對切削加工穩(wěn)定性的影響，對不同的刀具進(jìn)行刀尖點(diǎn)的實驗?zāi)B(tài)分析，在分析前作者認(rèn)為刀具是機(jī)床多部件的薄弱環(huán)節(jié)而假設(shè)機(jī)床結(jié)構(gòu)為剛體，這樣就只考慮了切削加工中刀具和工件的相互運(yùn)動，但是該方法忽略了機(jī)床結(jié)構(gòu)對刀尖點(diǎn)動力學(xué)特性的影響。2019年D Poddar[10]對一種表面有隨機(jī)條狀輪廓的特殊形狀工件進(jìn)行切削，使得切削激勵近似滿足白噪聲信號，并由此分析出機(jī)床的模態(tài)參數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)機(jī)床切削狀態(tài)下的模態(tài)參數(shù)與靜態(tài)下的模態(tài)參數(shù)有很大的差異。

本文以華中科技大學(xué)的VMC850E型立式數(shù)控加工中心為研究對象，針對機(jī)床薄弱部件振動強(qiáng)度大的特點(diǎn)，通過靜態(tài)錘擊實驗和自激勵模態(tài)分析法，找到實驗機(jī)床的薄弱部件為主軸。

1 基于靜態(tài)錘擊模態(tài)分析法的機(jī)床薄弱部件辨識

機(jī)床內(nèi)部各部件的結(jié)構(gòu)和動力學(xué)特性都不同，因此在加工過程中各部件表現(xiàn)出來的振動特性必然不一致。在某個特定的加工參數(shù)下運(yùn)行時，機(jī)床就可能出現(xiàn)某個或者某些部件振動強(qiáng)烈的情況，這種現(xiàn)象會對機(jī)床加工穩(wěn)定性和零件成型質(zhì)量產(chǎn)生嚴(yán)重的影響[11]。研究薄弱部件對于提高工件質(zhì)量和加工精度有重要意義。

模態(tài)質(zhì)量分布矩陣是表示機(jī)床各部件振動能量的參數(shù)，因此具有最大模態(tài)質(zhì)量的零部件就可能是機(jī)床的薄弱部件，如果一個部件具有較大的模態(tài)質(zhì)量并且在某個特定激勵下能夠激發(fā)該部件的某階模態(tài)，則在這個激勵下該部件就是該階模態(tài)對應(yīng)的薄弱部件[12]。本章將通過實驗?zāi)B(tài)分析法（EMA）找到機(jī)床中具有最大模態(tài)質(zhì)量的部件，并通過工作模態(tài)分析法（OMA）來研究該部件是否能夠激起某些模態(tài)。

1.1 模態(tài)質(zhì)量分布矩陣原理

機(jī)床某個部件成為機(jī)床系統(tǒng)的薄弱部件需要滿足兩個條件：一是機(jī)床系統(tǒng)在某一階模態(tài)下，模態(tài)質(zhì)量高度集中于與該部件對應(yīng)的自由度上，也就是機(jī)床系統(tǒng)在該階模態(tài)下的能量高度集中于這個部件上，模態(tài)質(zhì)量越大的部件具有越大的振動能量，因此更有可能成為薄弱部件；二是當(dāng)機(jī)床系統(tǒng)受到某個激勵時，通過這個部件的響應(yīng)信號可以辨識出機(jī)床系統(tǒng)對應(yīng)階次的模態(tài)。如果機(jī)床的某一個部件滿足上述兩個條件，則可以認(rèn)為在這個特定的激勵下該部件是機(jī)床的薄弱部件[6]。

模態(tài)質(zhì)量分布矩陣可以表征機(jī)床各部件的振動能量分布情況，是用來判定一個部件是否可能成為薄弱部件的依據(jù)。為了推導(dǎo)出模態(tài)質(zhì)量分布矩陣的計算方程式，首先從最基本的動力學(xué)方程出發(fā)，對一個n自由度的無阻尼系統(tǒng)而言，其運(yùn)動的微分方程如下所示：

式中：n階矩陣[M]、[K]分別為n自由度系統(tǒng)中的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；n維列向量{}x?、{x}分別為系統(tǒng)的加速度和位移向量。

將上式中的矩陣形式展開為n個聯(lián)立的齊次微分方程組，如下所示：

n個聯(lián)立的齊次方程一定存在同步運(yùn)動的解。在運(yùn)動的過程中，各部件的質(zhì)量與位移的比值為一個不變的常數(shù)，因此這類運(yùn)動可以表示為如下方程式：

式（3）中的μj是一組常數(shù)，而f(t)對于所有坐標(biāo)qj(t)來說是相同的。聯(lián)合式（2）和式（3），考慮到函數(shù)f(t)不依賴于下標(biāo)j，則有以下等式：

式（4）的等號左邊不依賴于下標(biāo)j，等號右邊不依賴于時間t，因此其比值必定是個常數(shù)。令常數(shù)λ=ω2，則可以得到下式：

將上式改寫為矩陣形式，其解必須滿足下列條件：

式中：{φ}為n維幅值列向量，當(dāng){}φ是非零時其為振型向量或特征向量；ω為表固有角頻率，ω2為其對應(yīng)的特征值。

現(xiàn)將特征向量做歸一化處理，得到對應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量：

將[M]、φTi和φi代入到式（7）中，得到模態(tài)質(zhì)量的變換方程：

式（9）表示系統(tǒng)中的每一個模態(tài)質(zhì)量的累加項都可以由振型向量φi的平方和模態(tài)質(zhì)量Mi的乘積表示。其中累加項代表在該階模態(tài)下，其對應(yīng)自由度的能量分布。由此可以推斷出若累加項的大小接近，則系統(tǒng)的能量在各個自由度上的分布比較均勻；相反如果某一個累加項的大小比其他累加項的大小大很多時，說明系統(tǒng)的能量更集中于該階模態(tài)下對應(yīng)的自由度。某一個自由度擁有的能量越多，其振動就會越強(qiáng)烈，越有可能成為系統(tǒng)中的薄弱部件。現(xiàn)將系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量分布改寫成向量的形式：

結(jié)合式（7）可以得到系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量矩陣：

式中：[m]為模態(tài)質(zhì)量矩陣；[φ]為經(jīng)過歸一化處理后的模態(tài)振型；[M]為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣。

由上述推導(dǎo)可以得到系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量分布的矩陣形式：

模態(tài)振型是機(jī)床結(jié)構(gòu)的一種固有屬性，外部激勵大小和激勵點(diǎn)無法改變機(jī)床的模態(tài)振型。模態(tài)質(zhì)量分布矩陣說明了系統(tǒng)的能量在各個自由度上的分布情況：矩陣的每一列代表對應(yīng)階模態(tài)的能量在各個自由度上的分布情況，如果系統(tǒng)某階模態(tài)下的模態(tài)質(zhì)量集中在某些自由度處，則表明系統(tǒng)在該階模態(tài)下的能量也集中在這些自由度對應(yīng)的部件上。從上式可以看出，為了求得機(jī)床系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量分布矩陣，首先要知道組成機(jī)床系統(tǒng)各部件的模態(tài)振型。

1.2 機(jī)床靜態(tài)下的薄弱部件辨識

1.2.1 錘擊激勵實驗原理

錘擊實驗屬于實驗?zāi)B(tài)分析法（EMA）的一種，該方法可以獲取機(jī)床系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，將各部件的模態(tài)振型代入式（12）就能求出系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量分布矩陣。錘擊實驗的最大特點(diǎn)是系統(tǒng)的激勵力信號是可知的，因此能夠通過響應(yīng)信號和輸入信號獲取機(jī)床系統(tǒng)的頻響函數(shù)。對于一個n自由度無阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動的微分方程如下式表示：

式中：n階矩陣[M]、[K]分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣；n維列向量分別為系統(tǒng)的加速度向量、位移向量；n維向量{f(t)}為系統(tǒng)的激勵力向量。

將式（13）進(jìn)行傅里葉變換后得到下式：

由頻響函數(shù)和模態(tài)參數(shù)的關(guān)系將式（14）轉(zhuǎn)化為模態(tài)展開式：

式中：φr為系統(tǒng)第r階振型向量；λr為系統(tǒng)第r階極點(diǎn)；常數(shù)αr為系統(tǒng)第r階模態(tài)的模態(tài)比例因子；上標(biāo)T和*分別代表矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣和復(fù)共軛矩陣。

從式（15）可以看出，如果知道了系統(tǒng)的輸入激勵力和響應(yīng)信號，就可以求出系統(tǒng)的各部件模態(tài)參數(shù)。機(jī)床在靜態(tài)下的錘擊實驗可以通過貼在各部件上的傳感器測得響應(yīng)信號，同時輸入錘擊力也是可以測得的，因此可以計算出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

實驗的機(jī)床是華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院的VMC850E型立式數(shù)控加工中心，其外形如圖1所示，表1所示為機(jī)床的主要規(guī)格及技術(shù)參數(shù)。

表1 VMC850E型立式數(shù)控加工中心主要規(guī)格及技術(shù)參數(shù)

圖1 VMC850E型立式數(shù)控加工中心內(nèi)部結(jié)構(gòu)

實驗采用PCB公司生產(chǎn)的三向加速度傳感器來檢測機(jī)床各部件的振動信號，并通過比利時LMS公司生產(chǎn)的SCADASMobile SCM05數(shù)據(jù)采集儀記錄采集到的數(shù)據(jù)；使用東方振動所生產(chǎn)的力錘來錘擊機(jī)床。以上各儀器的詳細(xì)技術(shù)參數(shù)如表2所示。

表2 使用儀器的技術(shù)參數(shù)

機(jī)床內(nèi)部各個運(yùn)動部件相對于質(zhì)量大并且靜止的床身來說，更有可能在加工過程中具有更大的振動幅值。將傳感器布置在機(jī)床內(nèi)部的各部件中：工作臺底座的前后兩個面、工作臺上表面、主軸四周、滑臺底面、立柱前表面，如圖2所示。圖中用圓圈標(biāo)注出傳感器的位置分布情況，其中每個部件都均勻布置4個傳感器。

圖2 傳感器在機(jī)床中的布置情況和LMSSCADAS Mobile SCM05數(shù)據(jù)采集儀通道接線

錘擊實驗中的參考點(diǎn)選為刀柄+X方向，錘擊的方向選擇機(jī)床的+X和+Y方向，通過錘擊實驗來獲取機(jī)床各個部件的響應(yīng)參數(shù)，并通過輸入錘擊力來計算模態(tài)參數(shù)。將主軸移動至刀具和工件接觸的位置，并錘擊與工件表面垂直的方向，圖3所示為錘擊機(jī)床+X方向時，機(jī)床主軸和工件相對位置以及錘擊點(diǎn)的位置情況。

圖3 錘擊機(jī)床X方向?qū)嶒?/p>

錘擊實驗中各部件的模態(tài)參數(shù)采用LMS軟件自帶的模態(tài)辨識工具——PolyMAX算法，通過傳感器檢測的響應(yīng)信號和力錘的輸入信號計算出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，進(jìn)而計算出模態(tài)參數(shù)。

1.2.2 機(jī)床模態(tài)參數(shù)辨識

（1）結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)獲取

分別在刀具和工件側(cè)面接觸時錘擊機(jī)床+X方向，正面接觸時錘擊機(jī)床-Y方向，記錄機(jī)床各部件在兩個方向上的響應(yīng)信號。設(shè)置采樣頻率為8 192 Hz，頻帶分辨率為0.25 Hz，由于VMC850E型立式數(shù)控加工屬于中型機(jī)床，機(jī)床結(jié)構(gòu)的振動頻率主要是低頻，因此在0~1 000 Hz頻帶范圍內(nèi)足以研究機(jī)床的模態(tài)參數(shù)。通過PolyMAX模塊辨識出機(jī)床結(jié)構(gòu)在X和Y方向上的穩(wěn)態(tài)圖如圖4所示。圖中的綠色曲線代表模態(tài)指示函數(shù)（Modal Indicating Function），紅色曲線代表頻響函數(shù)（Frenquency Response Function），兩者是計算系統(tǒng)模態(tài)的參考曲線：其中模態(tài)指示函數(shù)是一種在頻域上的函數(shù)，在研究對象的固有頻率處其函數(shù)值為極小值，所以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)在模態(tài)指示函數(shù)曲線的波谷處和頻響函數(shù)曲線的波峰處對應(yīng)的頻率即為系統(tǒng)的固有頻率。圖中字母“S、V、O”代表LMS計算結(jié)果與模型階次的關(guān)系：“S”是Stable的首字母，代表計算出極點(diǎn)的固有頻率、阻尼、向量在誤差區(qū)間范圍內(nèi)穩(wěn)定，誤差數(shù)值為本次計算和上次計算結(jié)果的變化率，其中固有頻率占1%、阻尼占5%、模態(tài)振型占2%；“V”是Vector的首字母，代表計算出極點(diǎn)的向量在公差范圍內(nèi)穩(wěn)定；“O”則代表當(dāng)前極點(diǎn)不穩(wěn)定，從當(dāng)次計算才出現(xiàn)第一個極點(diǎn)。實驗結(jié)果根據(jù)圖中的“S、V、O”3個指示來選定系統(tǒng)模態(tài)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析，根據(jù)以上原則在圖中找到機(jī)床整體結(jié)構(gòu)在X、Y兩個方向上的各階模態(tài)參數(shù)。考慮到機(jī)床這種大型設(shè)備來說，低頻模態(tài)對機(jī)床的影響更大，將分析的頻帶范圍設(shè)置成0~1 000 Hz足以分析機(jī)床的模態(tài)。機(jī)床X、Y方向模態(tài)參數(shù)如表3所示。

圖4 機(jī)床靜態(tài)下X、Y方向的穩(wěn)態(tài)圖

表3 機(jī)床X、Y方向模態(tài)參數(shù)

根據(jù)前4階模態(tài)可以得到機(jī)床各部件的模態(tài)振型圖，圖5所示為X、Y方向上機(jī)床在4個模態(tài)下的各部件振型圖。

圖5 機(jī)床各部件振型

（2）MAC驗證模態(tài)振型

根據(jù)模態(tài)指示函數(shù)曲線和頻響函數(shù)曲線作為參考選取的模態(tài)參數(shù)，可以通過MAC（模態(tài)置信準(zhǔn)則，Modal Assurance Criterion）來驗證其準(zhǔn)確性。MAC是一個數(shù)學(xué)函數(shù)，可以描述兩個模態(tài)之間的相關(guān)程度，公式如下所示：

式中：φx、φy為兩個待求向量；上標(biāo)H為轉(zhuǎn)置復(fù)共軛矩陣。

如果兩個不同向量的MAC值比較小，則可以認(rèn)為這兩個向量描述的是不同的模態(tài)。一般以0.8作為界限，小于0.8則認(rèn)為兩個向量為兩個不同的模態(tài)。圖6所示為機(jī)床X、Y方向模態(tài)的MAC矩陣圖。從圖可知，矩陣非主對角線上的MAC值都遠(yuǎn)小于0.8，說明不同選取的不同階數(shù)模態(tài)之間的相關(guān)性很小，可以認(rèn)為這些模態(tài)是不同的模態(tài)，在兩個方向上的模態(tài)辨識結(jié)果均是有效的，這些模態(tài)可用于薄弱部件的分析。

圖6 X、Y方向模態(tài)MAC矩陣

1.2.3 獲取模態(tài)質(zhì)量分布矩陣

本文1.2.1節(jié)介紹的通過模態(tài)質(zhì)量分布矩陣來辨識機(jī)床薄弱部件的方法：模態(tài)質(zhì)量分布矩陣可以表示機(jī)床振動能量在各個自由度上的分布情況，而每個列向量表示在特定的某階模態(tài)下機(jī)床各部件的能量分布情況。機(jī)床的薄弱部件指具有較大振動能量的部件，表現(xiàn)在其對應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量較大。將錘擊實驗中獲取的機(jī)床模態(tài)參數(shù)代入式（12），通過相應(yīng)的公式計算出機(jī)床系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量分布矩陣，進(jìn)而辨識出機(jī)床中的薄弱部件。機(jī)床X、Y方向上前4階模態(tài)的各個部件模態(tài)質(zhì)量分布如圖7所示。

圖7 機(jī)床X、Y方向上前4階模態(tài)的各個部件模態(tài)質(zhì)量分布

圖7（a）~（d）所示4幅圖為X方向上前4階模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量分布圖，在1階150.845 Hz模態(tài)質(zhì)量分布圖、2階441.445 Hz模態(tài)質(zhì)量分布圖、4階923.346 Hz模態(tài)質(zhì)量分布圖中，主軸4個測點(diǎn)的的模態(tài)質(zhì)量均遠(yuǎn)高于其他結(jié)構(gòu)，在3階648.657 Hz模態(tài)質(zhì)量分布圖中各個測點(diǎn)的模態(tài)質(zhì)量較為平均，只有立柱上3號測點(diǎn)的模態(tài)質(zhì)量最高，因此在X方向上，主軸很可能是機(jī)床的第1、2、4階模態(tài)對應(yīng)的薄弱部件，第3階模態(tài)對應(yīng)的薄弱部件無法從圖中明顯看出；圖7（e）~（h）所示4幅圖為Y方向上前4階模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量分布圖，其中每一階模態(tài)中各個測點(diǎn)的模態(tài)質(zhì)量分布與X方向大致相同，在Y方向上的第1、2、4階模態(tài)中主軸4個測點(diǎn)都具有較大的模態(tài)質(zhì)量，第2階模態(tài)中立柱具有較大的模態(tài)質(zhì)量，但是整體來說差異不大。所以在Y方向上，機(jī)床第1、3、4階模態(tài)對應(yīng)的薄弱部件可能是主軸，第2階模態(tài)對應(yīng)的薄弱部件可能是立柱。

2 基于自激勵模態(tài)分析法的機(jī)床薄弱部件辨識

2.1 機(jī)床自激勵模態(tài)分析法實驗原理

目前常用的機(jī)床動力學(xué)分析法主要是實驗?zāi)B(tài)分析法（EMA）和工作模態(tài)分析法（OMA），這兩種方法都存在一定的局限性：實驗?zāi)B(tài)分析法是通過輸入激勵力和響應(yīng)信號求得系統(tǒng)的頻響函數(shù)，進(jìn)而計算出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，外加激勵力限制了實驗?zāi)B(tài)分析法只能在機(jī)床靜態(tài)下來分析，并且分析結(jié)果也無法表征機(jī)床動態(tài)特性；工作模態(tài)分析法要求激勵力滿足白噪聲條件，而機(jī)床運(yùn)行時環(huán)境激勵力無法保證對應(yīng)的能量和帶寬，振動信號中的高頻成分也會降低模態(tài)辨識結(jié)果的準(zhǔn)確性。針對上述兩種模態(tài)分析方法的不足，本文提出了一種基于機(jī)床自身部件的運(yùn)動來激勵機(jī)床的空運(yùn)行自激勵方法。機(jī)床在運(yùn)行狀態(tài)下，一些可移動部件做加減速運(yùn)動時會產(chǎn)生一定的力（旋轉(zhuǎn)部件如主軸產(chǎn)生的偏心力，直線運(yùn)動部件如工作臺產(chǎn)生慣性力），空運(yùn)行自激勵就是利用機(jī)床自身的部件運(yùn)動時產(chǎn)生的力來激勵整機(jī)結(jié)構(gòu)，并獲取各部件在此激勵下的響應(yīng)信號，通過模態(tài)識別算法來計算機(jī)床各結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

錘擊實驗證明了主軸較其余部件具有最大的模態(tài)質(zhì)量，為了進(jìn)一步研究主軸是否是機(jī)床的薄弱部件，本文通過主軸的空轉(zhuǎn)來激勵機(jī)床。若通過主軸的響應(yīng)信號能夠辨識出機(jī)床對應(yīng)階次的模態(tài)參數(shù)，就說明主軸確實是機(jī)床的薄弱部件。激勵序列的要求是在待分析頻帶內(nèi)內(nèi)滿足白噪聲的假設(shè)，本文提出了一種機(jī)床速度和時間間隔為隨機(jī)數(shù)的脈沖激勵信號，隨機(jī)脈沖信號的時域表達(dá)式如下所示：

其中隨機(jī)數(shù)Ai、ti分別代表脈沖信號的幅值和間隔，可以改寫為以下形式：

進(jìn)行有限傅里葉變換可得：

得到其自功率譜：

將式（18）~（19）代入式（20），得到隨機(jī)脈沖激勵的自功率譜：

式（21）表明隨機(jī)脈沖激勵信號在低頻段近似為一個常量，在高頻段則迅速衰減。由于機(jī)床的響應(yīng)信號模態(tài)主要集中在低頻段，只有極少量的高頻信號，因此設(shè)計該激勵信號能夠滿足在分析的頻段內(nèi)自功率譜是一個常量，即該激勵信號滿足白噪聲假設(shè)。圖8所示為主軸空轉(zhuǎn)激勵下轉(zhuǎn)速隨時間的變化函數(shù)。由圖可知，空運(yùn)行自激勵的特點(diǎn)是隨機(jī)啟停：加速度大小、在最大速度處的保持時間都是通過Matlab軟件在一個比較小的區(qū)間范圍內(nèi)隨機(jī)生成，加速的方向是正反交替，但是加速后的最大速度是恒定的。

圖8 空運(yùn)行激勵下工作臺的速度函數(shù)

在實驗中，主軸空轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的慣性力通過傳動部件傳遞到機(jī)床各個部件，各部件在工作臺的慣性力下產(chǎn)生振動，這個激勵在低頻段內(nèi)可以看成是白噪聲激勵。實驗中利用G代碼控制工作臺運(yùn)動，并以此激勵機(jī)床，測得各部件的響應(yīng)信號并得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，如圖9所示。

圖9 空運(yùn)行激勵流程

2.2 薄弱部件辨識實驗

空運(yùn)行實驗通過G代碼控制機(jī)床的可動部件運(yùn)動實現(xiàn)對機(jī)床的激勵，實驗的機(jī)床同錘擊實驗使用了華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院的VMC850E型立式數(shù)控加工中心，主軸的轉(zhuǎn)速設(shè)定為0~3 000 r∕min下短時間內(nèi)的加減速轉(zhuǎn)動，主軸在靜止和最高轉(zhuǎn)速下保持時間的長短為50~300 ms區(qū)間內(nèi)的一個隨機(jī)數(shù)。詳細(xì)G代碼如表4所示。

表4 主軸隨機(jī)啟停部分G代碼

通過LMS系統(tǒng)的Op.PolyMAX模塊對傳感器采集到的信號進(jìn)行辨識，通過各個測點(diǎn)響應(yīng)信號同參考點(diǎn)響應(yīng)信號之間的互功率譜函數(shù)得到主軸在X、Y方向上在不同進(jìn)給速度下的穩(wěn)態(tài)圖，分析頻帶同錘擊實驗設(shè)為0~1 000 Hz。

（1）X方向模態(tài)參數(shù)

圖10所示為X方向的模態(tài)穩(wěn)態(tài)圖。

圖10 主軸空轉(zhuǎn)X方向模態(tài)穩(wěn)態(tài)圖

（2）Y方向模態(tài)分析

圖11所示為Y方向的模態(tài)穩(wěn)態(tài)圖。

圖11 主軸空轉(zhuǎn)Y方向模態(tài)穩(wěn)態(tài)圖

由于實驗中設(shè)置的0~1 000 Hz頻帶范圍比較大，辨識出的模態(tài)參數(shù)可能和實際存在誤差。經(jīng)驗表明兩個模態(tài)固有頻率的差值在±20 Hz以內(nèi)則可以認(rèn)為是同一個模態(tài)。在主軸隨機(jī)啟停實驗中，X方向上辨識出主軸的兩階模態(tài)固有頻率分別為157.474 Hz、426.754 Hz，正好對應(yīng)錘擊激勵中的機(jī)床的前2階固有頻率（150.845 Hz、441.445 Hz）；Y方向上辨識出的兩階模態(tài)固有頻率分別為278.162 Hz、447.458 Hz，正好對應(yīng)錘擊激勵中機(jī)床的的第1、3階固有頻率（283.855 Hz、454.147 Hz）。由此可見，在3 000 r∕min的主軸隨機(jī)啟停激勵下，能夠通過主軸響應(yīng)信號能夠辨識出機(jī)床系統(tǒng)對應(yīng)階次的模態(tài)參數(shù)。

研究表明主軸較其他部件具有最大的模態(tài)質(zhì)量，滿足了薄弱部件的第一個判定條件。對比空運(yùn)行激勵實驗和錘擊激勵實驗的模態(tài)參數(shù)，在主軸以3 000 r∕min轉(zhuǎn)速隨機(jī)啟停激勵下，通過主軸的響應(yīng)信號辨識出了機(jī)床對應(yīng)階次的模態(tài)參數(shù)，因此可以說明，在該激勵下，主軸是機(jī)床系統(tǒng)的薄弱部件。

3 結(jié)束語

機(jī)床的薄弱部件是指在某個特定的加工狀態(tài)下機(jī)床多部件中振動強(qiáng)度最大的那個部件。隨著機(jī)床的使用，各部件的正常磨損、磕碰等因素可能使該部件動力學(xué)參數(shù)發(fā)生改變，進(jìn)而導(dǎo)致工作時發(fā)生劇烈振動。本文針對機(jī)床的薄弱部件進(jìn)行研究，基于動力學(xué)方程，提出模態(tài)質(zhì)量分布矩陣的概念。模態(tài)質(zhì)量分布矩陣是用來辨識機(jī)床薄弱部件的依據(jù)，模態(tài)質(zhì)量越大的部件就具有更大振動的能量，因此更有可能成為薄弱部件，模態(tài)質(zhì)量分布矩陣與各部件的振型有關(guān)。在機(jī)床靜態(tài)下進(jìn)行錘擊實驗，通過各部件的響應(yīng)信號和輸入錘擊信號獲得機(jī)床結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)和模態(tài)參數(shù)，求得主軸為薄弱部件；針對傳統(tǒng)常用模態(tài)分析法的缺點(diǎn)，本文提出了一種基于機(jī)床自身部件的運(yùn)動來激勵機(jī)床的空運(yùn)行自激勵方法。在3種不同轉(zhuǎn)速下進(jìn)行主軸的隨機(jī)啟停空運(yùn)行實驗，在主軸的轉(zhuǎn)速為3 000 r∕min時，通過主軸的模態(tài)能夠辨識出機(jī)床結(jié)構(gòu)對應(yīng)階次的模態(tài)，實驗結(jié)果表明在主軸是機(jī)床的薄弱部件。