基于改進粒子群算法整定復卷機放卷張力控制PID參數

譚龍彪，肖金鳳

（南華大學電氣工程學院，湖南衡陽 421200）

0 引言

隨著工業和社會的發展，卷繞行業已經和我們的生活息息相關，如各類用紙、包裝薄膜、膠布等[1]。工業產生中，復卷機往往是最后一道環節，已經生產好的原產品還得經過復卷機的一次或多次復卷，才能達到出廠的要求。而放卷過程又是復卷機工作的第一個程序，一般有兩種方式，一個是被動放卷，放卷軸被牽引輥帶動放卷，這種方式需要采取穩定的制動方式，而且不方便控制，放卷輥的轉速容易與牽引輥的轉速不一樣，控制不好就容易使得卷材松動或者斷裂；另一種是主動放卷，由電動機拖動放卷軸轉動，主動放出卷材，這個方式需要根據卷徑的逐漸變小控制電機轉動的角速度，穩定線速度不變，使卷材上的張力穩定[2]。

在現代工業自動化行業中，經典PID控制器應用的十分廣泛和成熟，具有結構簡單、魯棒性強和可靠性高等優點[3]，在研究復卷機放卷張力控制系統發現，該控制系統應用的也是PID控制器，而PID控制性能好壞取決于其KP、KI、KD三個參數的設定值。在工程中廣泛采用工程整定法確定參數值，即依靠工程經驗，直接進行控制系統的工程運行，并逐漸調整PID控制器3個參數的設定值，該方法操作簡單、易掌握，但比較耗時。經過學習群智能算法和最優控制理論，想到通過建立控制系統的數學模型[4]，利用粒子群算法來對控制系統的參數進行最優整定，這樣就不需要進行太多的工程試驗，大大節約調試參數的時間。

隨著智能PID控制器的發展，越來越多的智能算法被研究應用于控制系統中[5]。粒子群算法就是其中之一，是一種基于群體智能的尋優計算方法，該算法是模擬鳥群覓食行為而提出來的群智能算法，鳥群中的個體通過積累經驗和與群體交流改變自己覓食的位置和速度，最后尋找到最佳覓食位置，具有收斂速度快、粒子具有記憶性、調整參數少和計算過程簡單等優點[6]，廣泛應用于最優化問題的求解。但是基于粒子群算法的原理和特性，也就使得該算法在搜索計算過程中，容易陷入局部最優，為了避免這種情況，提出通過引入遺傳算法中交叉和變異計算過程，進一步保證粒子群中粒子的多樣性，能在更多的區域內搜索計算，增強粒子群算法的全局收斂能力。

1 改進粒子群算法

1.1 粒子群算法

粒子群算法（PSO）是一種演化計算工具，由Eberhart和Kennedy于1995年提出[7]，通過模擬鳥群運動過程中群體移動和個體移動之間協調關系，尋找鳥群最終落腳點得到最優值。將優化問題的潛在解抽象為搜索空間中沒有體積和質量的鳥[8]——粒子，每個粒子都有各自的速度矢量和位置矢量，粒子通過不斷運動和適配函數計算的適配值更新其位置和速度，并更新得到個體的最優位置，將粒子群中每個粒子的個體最優位置進行比較可得到群體最優[9]，也就是優化問題的最優值。群體中的每個粒子會根據自己的最優位置和整個群體的最優位置更新自己速度矢量的方向，并以更新后的速度進行移動，如式（1）：

式中：vij(k)為第k次迭代計算時第i個粒子在第j維上的速度；xij(k)為第k次迭代計算時第i個粒子在第j維上的位置；Ct、C2為學習因子，用于調節個體位置認知和群體位置認識的程度；rt、r2為獨立的區間為[0，1]的隨機數。

ω為慣性權重，不僅能讓粒子保持前次的運動慣性，還能驅使粒子擴展搜索空間；ω值越大，全局搜索能力越強，反之會趨于局部搜索，其取值范圍通常在[0.9，1.2]之間，而一般會采用跟隨迭代次數的增多而對慣性權重進行線性遞減，增強算法后期局部搜索精確性，如式（2）所示：

式中：k為迭代次數。

1.2 改進粒子群算法

有學者研究粒子群算法理論發現其存在早熟現象，即算法會在沒有搜索到群體最優解的情況下收斂到某個體最優解，為了避免這種現象，本文提出用遺傳算法改進粒子群算法，即引入基因的交叉和變異過程來增加群體中個體的多樣性，并且加入淘汰機制，隨機引入新的粒子，增強粒子的全局搜索能力。

遺傳選擇過程，模擬自然法則“物競天擇，適者生存”，適應值好的粒子得以保存下來，而適應值差的粒子將會被淘汰掉，并重新引入新的粒子維持粒子群的總數量；交叉過程，根據交叉概率PC，讓粒子位置與粒子位置之間不同維度上的值進行算術加權計算，讓粒子在不局限于當前最優位置的條件下改變當前位置，進行重新搜索；變異過程，根據變異概率Pm，決定粒子是否要對其位置在部分維度上的值進行重新初始化。

引入遺傳算法可以保持和提高粒子群位置的多樣性，避免算法在迭代過程中陷入局部最優。

1.3 適應度函數

收卷張力控制系統是為了穩定控制材料上的張力，因此其控制具有快速性、穩定性、準確性且抗擾能力強，再結合性能指標，如上升時間、峰值時間、最大超調量和調節時間等，選擇時間乘絕對誤差誤差積分準則ITAE作為目標函數[10]，考慮到控制量可能會過大，應用含控制量項都得ITAE函數，且為了避免超調量，也將超調量作為ITAE中的一項：

當ey(t)＜0時：

式 中：wt、w2、w3、w4為 權 值，且w4≥wt，取 值 為wt=0.999，w2=0.001，w3=2.0，w4=100；e(t)為誤差；u(t)為控制量；ts為上升時間；ey(t)=y(t)-y(t-1)，y(t)為被控對象輸出。

1.4 算法流程

綜合上述改進思想，改進后的粒子群算法步驟為：

（1）隨機初始化粒子群：粒子群的個體數量N和維度D、最大迭代次數G是由具體的尋優問題決定的；慣性權重ω需要確定線性取值范圍，學習因子C1、C2一般可取值為2，交叉概率PC、變異概率Pm也得確定，粒子的速度vi(a1,a2,…,aD)和位置xi(b1,b2,…,bD)通過隨機數進行初始化，還得規定最大速度vmax；

（2）根據適應度函數計算每個粒子的適應值，比較得出個體最優位置Pi和當前群體最優位置Pgi；

（3）先對慣性權重ω計算當前迭代次數時的值，再根據粒子群算法公式更新每個粒子的速度和位置；

（4）再次計算粒子個體的適應值，將新計算出來的每個粒子的適應值與其經歷過的最好位置比較，如當前位置的適應值好，則更新當前位置為個體的最優位置；

（5）比較當前所有個體的最優位置Pi和當前群體最優位置Pgi，如有適應值較好的，則對其進行更新；

（6）對所有粒子的適應值進行排序，通過遺傳選擇、交叉和變異操作，并保持個體最優位置Pi和當前群體最優位置Pgi不變；

（7）若達到了最大迭代次數，則停止算法計算過程，輸出群體最優位置Pgi，作為尋優問題的最優解，否則返回步驟（3）繼續進行迭代計算。

利用遺傳算法改進的粒子群算法的流程如圖1所示。

圖1 改進粒子群算法步驟

2 放卷張力控制

2.1 放卷張力分析

為了建立穩定的放卷端張力控制系統，首先建立放卷端穩定運行過程的運動模型如圖2所示。圖中速度V2是牽引輥的線速度，受牽引電機的影響，牽引輥的存在可以將復卷機張力控制系統解耦合為放卷張力控制系統和收卷張力控制系統。速度V1是放卷軸上卷材的線速度，ω是放卷輥的角速度，隨著放卷過程運行，卷徑會逐漸變小，為了維持線速度V1的穩定，需要控制調速電機增大放卷輥角速度ω。通過簡要分析可知張力控制系統的主要受到線速度V1和卷徑的影響，為了討論兩者之間的詳細關系，分析放卷輥的受力和運動狀態，根據動態轉矩平衡原理建立方程如下：

圖2 放卷張力運動模型

式中：Mf為動態滑動摩擦力矩；Me為電機的輸出轉矩可以是拖動轉矩，也可以為制動轉矩；F張為卷材上的張力；r為放卷輥的實時卷徑。

J是放卷輥的轉動慣量：

式中：Jt為放卷輥上卷材總的轉動慣量，隨時間的變化而變化，具有時變性；J0為收卷輥軸芯的轉動慣量，與收卷輥質量有關，是個常量。

為了進一步計算分析放卷張力運動狀態的數學模型，設定卷材的寬度為b，密度為ρ，厚度系數為k，質量為時變量m，放卷輥的半徑為r0，則根據轉動慣量計算公式和卷材的質量成面分布可得：

因此放卷輥的總轉動慣量為：

又因為角速度和線速度之間有V=ω·r，則有：

將式（8）（9）（10）代入式（5）中有：

整理得：

由式（12）可以分析得，放卷的張力控制系統受放卷輥的線速度、放卷輥卷徑、動態滑動摩擦力矩和電機的輸出轉矩的影響，不過放卷輥實時卷徑影響的是線速度，因此還是主要考慮放卷輥線速度對張力的影響。

經過分析可知，復卷機的放卷張力控制系統是非線性、時變性的系統，為了對張力控制系統能夠有科學、穩定的控制效果，針對放卷過程采用帶張力傳感器的PID閉環張力速度控制，并且提出利用遺傳算法改進的粒子群算法整定PID控制器的參數。

2.2 放卷張力控制系統的傳遞函數

本文采用的是通過變頻器控制電機的輸出轉矩，來控制放卷軸上轉速，整個張力控制系統中需要控制的設備為變頻器和收卷電機，為了簡化計算，將變頻器和收卷電機都設定為慣性環節[11]。收卷電機使用的是型號YVF2-112M-4的三相異步變頻調速電動機，傳遞函數簡化為：

式中：Km為電動機傳遞函數的前向增益；Tm為電動機傳遞函數的慣性時間常數。

變頻器使用的是型號HD50-T的高性能矢量控制驅動器，使用放卷控制模式，其傳遞函數Gb與式（13）形式一樣，參數不同，通過查手冊可計算得控制系統中被控對象的傳遞函數為：

3 實驗仿真分析

在工業控制中，經典PID控制器是最常用的，也是應用最廣泛的。PID控制器是由比例環節、積分環節和微分環節通過線性組合輸出控制量，然后對被控對象進行控制，其輸入信號e(t)是給定信號i(t)和反饋信號之間的偏差，輸出信號u(t)是控制量，兩者的關系為式（15）：

式中：Kp為比例系數；Ti為積分時間常數；Td為微分時間常數。

這3個參數的值會直接影響PID控制器的控制效果，一般情況下，都是采用經驗法來選擇Kp、Ti和Td的值，再根據仿真慢慢的調試參數的大小，這種方法十分花費時間和精力，本文將采取基于遺傳算法改進的粒子群算法來優化整定PID控制器的參數，控制系統結構如圖3所示。

圖3 控制系統結構

建立的控制系統為放卷張力控制系統，輸入信號為給定的張力值F0，反饋信號是通過張力檢測輥反饋的實際輸出到卷材上的張力F，PID控制器輸出的控制量，是控制變頻器驅動調速電機的轉速。

采用MATLAB軟件平臺，通過編寫腳本文件進行仿真，實現利用改進的粒子群算法整定PID控制器的參數，改進的粒子群算法中初始化確定的參數：粒子群大小為40，粒子的維度為3，學習因子C1=C2=2，慣性權重ω取值區間為[0.8，1.2]，最大迭代次數為1 000，交叉概率Pc=0.8，變異概率Pm∈[0,0.1]也是采取線性遞減的策略。

分別用改進的粒子群算法（GAPSO）和普通粒子群算法對該控制系統進行仿真，結果如表1、表2所示。

表1 GAPSO整定PID參數Tab.1 GAPSOtuning PID parameters

表2 PSO整定PID參數Tab.2 PSOtuning PIDparameters

GAPSO仿真群體最佳適應值迭代變化如圖4所示，PSO仿真群體最佳適應值迭代變化如圖5所示。

圖4 GAPSO-PID仿真

圖5 PSO-PID仿真

通過對圖4和圖5的分析可知，GAPSO和PSO兩種算法在尋優方面都的能力差不多，但是再觀察GAPSO和PSO在無擾動，擾動出現一瞬間和擾動一直存在的情況下對PID控制仿真如圖6～9所示。

圖6 GAPSO-PID無擾動仿真

圖7 PSO-PID無擾動仿真

圖8 GAPSO-PID擾動一直存在仿真

圖9 PSO-PID擾動一直存在仿真

對仿真圖的分析，從響應時間、調節時間、超調量等性能指標對比，GAPSO的仿真結果，上升時間tr≈10.4，沒有產生峰值時間和超調量，在上升過程中只有小幅度的震蕩，達到穩定輸出時間ts=17.8，擾動調節時間td=20；PSO的仿真結果，上升時間tr≈8.7，峰值時間tp≈12.7，平均超調量σ=54%，達到穩定輸出時間ts≈40，擾動調節時間td=20。GAPSO優化整定參數控制效果，在響應速度上要稍微慢一點，但是沒有產生超調量，對機電不會產生過大的影響，而且輸出達到穩定的速度快，GAPSO-PID具有較好的穩定性和快速性。

4 結束語

本文通過建立復卷機放卷端張力控制運動數學模型，分析其主要受到放卷輥上卷材的線速度和卷徑的影響，設計采用閉環速度張力PID控制方法，構建穩定的張力控制系統。

針對PID控制器參數用經驗法太耗時的缺點，提出用改進粒子群算整定PID控制器參數，利用MATLAB軟件對復卷機放卷端張力PID控制進行仿真，并將GAPSO和PSO分別對PID控制器進行整定參數仿真。對比發現，GAPSO整定的參數在PID控制性能指標調節時間、超調量，達到輸出穩定時間都優越于PSO整定的參數