梁拱組合連續剛構公路橋拱梁活載分承比研究

徐 巖

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司,武漢 430063)

引言

梁拱組合連續剛構橋是一種新穎的梁-拱協同受力的組合體系橋梁，拱肋與梁剛性連接形成的自平衡體系一方面極大地減小了剛構橋主梁內的彎矩，使得梁拱組合體系剛構橋可能成為解決大跨徑連續剛構橋長期下撓的一種有效方案，并且梁拱墩交接處拱的水平推力與梁的軸向拉力相互平衡，使得橋墩不會承受過大的水平力，適合在軟弱地基上建造。同時，梁拱組合剛構橋優美的結構外形和優異的經濟指標也極大地增強了其在200～300 m跨徑范圍內的競爭力[1-2]。

目前關于梁拱組合橋的研究多集中于簡支梁拱組合橋及連續梁拱組合橋吊桿張拉力的確定及優化方法[3-5]，雖然也有部分學者對梁拱組合結構在不同拱梁剛度比、邊中跨比和吊桿剛度等體系構造參數下的整體受力性能及梁拱結合處的局部力學行為進行了研究[6-11]。但這些研究多是針對某一具體工程背景且采用有限元數值模擬開展的[12-15]，有限元數值模擬雖然能準確求解特定結構的荷載響應和最優構造尺寸，但無法給出關鍵構造參數的解析解，橋梁設計工程師也不能對數值模擬結果推廣使用，并且不適合概念設計階段的估算。

梁拱組合連續剛構橋的拱、梁中的恒載內力分配比例主要由吊桿初始張拉力決定，而吊桿初始索力的確定涉及合理成橋狀態的定義和吊桿施工索力張拉策略。活載直接作用于梁拱組合剛構橋成橋后的結構體系上，梁、拱內力分配比例依賴于構件的剛度關系，分配機制更為復雜。故推導均布荷載作用下梁拱組合橋的解析計算公式，定量闡述其拱-梁協作機理，有利于設計者進行合理的概念設計。目前已有學者利用力法推導了簡支梁拱組合橋及連續梁拱組合橋的解析計算公式[16-17]，但針對梁拱組合連續剛構橋尚未涉足。本文推導了下承式3跨梁拱組合連續剛構橋在均布荷載作用下梁、拱活載分配比例的解析計算公式，探討了其梁拱協作機理，明確了梁拱彎曲剛度比與既定荷載內力分配比例的匹配關系，得到了梁拱截面最優彎曲剛度比及最優拱肋截面剛度的參數表達式，有利于設計者把握這類橋型的整體受力特點，在概念設計階段擬定出更加合理的結構參數。

1 解析計算公式推導

假設3跨梁拱組合連續剛構橋邊跨跨徑為l，中跨跨徑為L，橋墩高度為h，矢高為f，均布荷載q作用于中跨主梁上，計算簡圖如圖1所示。

圖1 3跨梁拱組合連續剛構橋計算簡圖

為方便梁拱組合連續剛構橋活載內力效應解析公式的推導，特作以下假定對結構進行適當簡化：(1)僅考慮結構的彈性變形；(2)拱軸線形為拋物線，且為坦拱，即f/L≤1/5；(3)忽略除拱肋外其他構件的軸向壓縮變形；(4)所有吊桿的間距相同，且與主梁、拱肋同為等截面構件；(5)所有吊桿的吊桿力相等，均為T。

作用于梁拱組合連續剛構橋主梁上的活載q，其傳遞方式主要有兩種：一種是通過主梁直接傳遞給橋墩，假設這部分荷載大小為q1；另一種是通過吊桿將荷載傳遞給拱肋，再由拱肋傳遞給橋墩，假設這部分荷載大小為q2，同時，荷載在傳遞過程中，會在主梁中產生軸向拉力。因此，主梁荷載分擔比例可定義為q1/q，拱肋荷載分擔比例可定義為q2/q。

中跨梁拱組合體系在如圖1所示的豎向均布荷載作用下會發生如圖2所示的變形，其中f1為變形，u為拱肋撓度，v為主梁撓度。假定吊桿伸長量為w，由變形前后主梁、拱肋、吊桿的位移關系可知，在梁拱組合體系縱向的任何位置，均滿足變形協調關系式v=u+w。

圖2 梁拱組合體系變形示意

傳統力法在求解梁拱組合體系橋時至少需要建立n+3個力法正則方程(n為吊桿數量)，計算過程非常復雜。為解決該問題，假想將吊桿切斷，并將均勻的吊桿力等效成如圖3所示的膜張力t施加在結構中，即t=T/a(a為吊桿間距)。

圖3 等效膜張力計算簡圖

運用結構力學知識建立力法正則方程，得到多余未知力后，聯立變形協調方程即可求得等效膜張力t，計算結果如式(1)～式(3)所示。

(1)

α=(3+2η)φkba+2η(φ+2kca)

(2)

β=(3+2η)φkba+4η(3φ+kca)

(3)

式中，kba=kb/ka，為梁拱截面彎曲剛度比，kb=EbIb，ka=EaIa；kca=kc/ka，為墩拱截面彎曲剛度比，kc=EcIc；kna=(L2kn)/ka，為拱肋壓彎等代剛度比，kn=EaAa；ksa=(L3ks)/(aka)，為吊桿拱肋等代彎曲剛度比，ks=EsAs；ξ=f/L，為矢跨比；Φ=h/L，為橋墩高度與主跨跨徑比；η=l/L，為邊中跨比；Ea、Aa、Ia分別為拱肋的彈性模量、截面面積、截面抗彎慣性矩；Eb、Ab、Ib分別為主梁的彈性模量、截面面積、截面抗彎慣性矩；Ec、Ac、Ic分別為橋墩的彈性模量、截面面積、截面抗彎慣性矩；Es、As、Is分別為吊桿的彈性模量、截面面積、截面抗彎慣性矩。

在上述公式中，并未出現均布荷載集度q，這是因為在推導過程中假設q=1 kN/m，故所求膜張力t亦為拱肋荷載分擔比例。基于上述第一項假定，結構處于彈性工作階段，滿足荷載的疊加原理，在相應公式前乘以q即可得到均布荷載q的力學效應。

2 解析計算公式驗證

以某公路(120+250+120) m三跨下承式梁拱組合連續剛構橋為依托，該橋拱軸線為二次拋物線，矢高為50 m；主梁及拱肋均采用C60混凝土，薄壁墩采用C50混凝土，吊桿采用抗拉強度為1 860 MPa的整束擠壓式鋼絞線拉索體系，間距9 m，共27根。由于實際結構中主梁和拱肋為變截面形式，無法直接使用前文中的解析公式，故需要將實橋中的變截面形式按照剛度相等的原則等效為等截面的形式。拱肋、主梁、吊桿、薄壁墩截面參數如表1所示。

表1 基礎模型截面參數

根據上述構造、材料參數建立Midas/Civil有限元模型，并在主梁中跨施加均布荷載q=1 kN/m作為基礎模型，使用公式(1)和Midas/Civil分別求解基礎模型中拱肋分擔的荷載比例，結果如表2所示(修正前)。為了更好地驗證本文公式的正確性，調整模型參數求解不同梁拱剛度比、邊中跨比、吊桿間距、矢跨比條件下拱肋分擔的荷載比例，據此檢驗本文公式的計算誤差。

考慮到Midas/Civil計算的最短4根邊吊桿與其余中吊桿的吊桿力差異明顯，故表2中拱肋荷載分擔比例t為扣除最短的4根邊吊桿后其余吊桿力的平均值除以吊桿間距得到。

表2 不同結構參數下解析解與數值解的誤差

經比較，公式(1)的解析計算結果與Midas/Civil數值解有15%左右的誤差。經分析，產生這種誤差的原因主要有：(1)認為所有吊桿的吊桿力相同，但邊吊桿與中吊桿在均布荷載作用下的吊桿力差異明顯；(2)將吊桿力假定為膜張力(均布荷載)施加在結構中，與集中荷載作用下結構的內力及變形存在一定差異；(3)基于坦拱假定進行解析公式的推導，即近似認為cosθ=1(θ為拱軸線上任一點切線與x軸的夾角)，使拱肋的軸力及彎矩與實際情況差異較大；(4)未考慮主梁及橋墩的軸向變形，使得虛功原理計算得到的體系虛應變能偏小。

為提高解析公式的計算精度，主要從兩個方面進行修正，一是針對“坦拱假定”，梁拱組合連續剛構橋一般屬于“剛梁柔拱”結構，拱肋剛度相對較小，其軸向變形和軸向應變能占比較大，“坦拱假定”認為cosθ=1，這顯然將導致拱肋中的軸力以及積分長度減小，從而使得力法基本方程中正則系數的推導過程中所用的體系虛應變能偏小。鑒于此，為彌補拱肋這部分被低估的應變能，通過在拱肋截面軸向剛度和彎曲剛度中引入如式(4)、式(5)所示的修正系數m、n，即令kn=EaAa/m，ka=nEaIa，將計算得到的拱肋虛應變能放大，以此來修正誤差；由于“剛拱柔梁”、“剛拱拱梁”、“剛梁柔拱”的拱梁組合體系橋在受力上差異顯著，故需要使用不同的修正系數，參考文獻[18]將kba=20作為兩者的界限取值，這也是式(4)、式(5)中修正系數m、n在kba=20出現突變的原因所在。二是在考慮第一項修正系數的基礎上，將本文解析公式的計算結果與大量有限元方法的計算結果進行比較、分析、擬合，引入一個綜合修正系數，通過對其取不同的值，比較修正后計算公式的誤差，最終確定綜合修正系數為1.3。

(4)

(5)

同時考慮坦拱假定修正系數以及綜合修正系數后，即kn=EaAa/(1.3m)和ka=1.3nEaIa，本文解析公式的計算誤差如表2所示(修正后)。可見，表2中給出的13個計算模型涵蓋了拱梁剛度比常用的取值區間(0.05～400)，經過修正后解析公式與數值解的誤差均在±5%范圍內，因此可以認為本文的解析公式及其修正方法對梁拱組合連續剛構橋是普遍適用的。

3 基于灰色關聯分析法的拱肋荷載分擔比例影響因素分析

由式(1)可知，拱肋荷載分擔比例t的影響因素主要有7個，分別為高跨比Φ、邊中跨比η、矢跨比ξ、拱肋壓彎等代剛度比kna、梁拱截面彎曲剛度比kba、墩拱截面彎曲剛度比kca、吊桿拱肋等代彎曲剛度比ksa。為進一步明確拱肋荷載分擔比例t的主要影響因素以進一步對公式(1)進行簡化，采用灰色關聯分析法進行分析。

按照灰色關聯度分析法的步驟，將拱肋活載分擔比例t作為參考數列，將影響拱肋荷載分擔比例t的7個參數在其工程常用范圍內均勻地取10個值計算拱肋活載分擔比例t，并將求得的t作為比較數列進行灰色關聯分析。各影響因素取值情況如表3所示，取值依據如下。

(1)預應力混凝土連續剛構橋墩高與主跨之比一般要求大于1/10。已查文獻中墩身最高的連續剛構橋為貴州畢節至威寧高速赫章特大橋，墩高達到了195 m[19]，故表3中高跨比的取值范圍為1/10～1。

(2)3跨下承式連續梁拱組合橋，合理矢跨比為1/5～1/8，合理邊中跨比為0.4～0.5，對于梁拱組合連續剛構橋，實際工程中經常出現矢跨比小于1/5及邊中跨比小于0.4的情況，如中衛“V”形連續剛構-拱組合橋矢跨比為1/3.6[20]，重慶菜園壩長江大橋邊中跨比為0.24，故表3中矢跨比的取值范圍為1/3.5～1/8，邊中跨比的取值范圍為0.20～0.65。

(3)“剛梁柔拱”的界定值可取為kba≥20，“剛拱柔梁”的界定值可取為kba≤1/20，對于重慶菜園壩長江大橋，其拱梁剛度比約為1/333[18]，故表3中kba的取值范圍為1/20～350。

表3 各影響因素的取值情況

將參考數列及各比較數列無量綱化后，首先計算各比較數列與參考數列的灰色關聯系數，然后將得到的灰色關聯系數求平均，便得到各比較數列與參考數列的灰色關聯度，結果如表4所示。

表4 各比較數列與參考數列的灰色關聯度

從表4可以看出，公式(1)中7個參數對拱肋荷載分擔比例t影響的敏感程度由高到低為ksa>kba>ξ>kna>kca>η>Φ，因此，可以認為ksa及kba是影響拱肋荷載分擔比例t的關鍵因素。

t隨kba的增大而減小，但kba超過300后拱肋荷載分擔比例t受kba的影響不再顯著，如圖4所示，此時拱肋也會承擔相當一部分荷載(至少在30%以上)，這體現了拱肋對于改善主梁受力的顯著作用。當主梁截面剛度小于拱肋后kba≈1.0，表明此時拱肋將承擔幾乎全部活載。

圖4 t-kba關系曲線

圖5 t-ksa關系曲線

從表4可以看出，相對于ksa和kba，Φ、η、kca、kna、ξ的變化對t影響并不明顯，因此可將其看作常量以進一步簡化公式(1)。首先分別將表4中Φ、η、kca、kna、ξ不同取值下得到的t求平均，并以此為依據初步確定Φ、η、kca、kna、ξ5個參數的具體取值，然后將簡化公式的數值解與大量有限元方法的計算結果進行比較，進一步調整各影響因素的取值，最終確定Φ=1/6、η=0.455、kca=43、kna=30 000、ξ=1/5。簡化后拱肋荷載分擔比例t的計算公式如式(6)所示，其中γ為修正系數，其取值如式(7)所示，需要說明的是采用簡化公式計算時也需利用式(5)將ka進行放大。

t=

(6)

1.3 觀察指標 ①圍術期指標。觀察兩組手術時間、術中出血量、術后肛門排氣時間及住院時間。②生化指標比較。觀察兩組手術前后血清孕酮、VEGF和INH-A水平。③術后并發癥。觀察兩組手術后感染、陰道流血、腹痛及發熱等并發癥發生率情況。④術后受孕情況。觀察兩組術后受孕情況，包括：宮內妊娠、不孕及異位妊娠等。

(7)

為了驗證公式(6)的正確性，在表2的結構參數下計算了簡化公式的誤差，并與公式(1)的計算誤差進行比較，結果如圖6所示。可見，由簡化公式計算得到的t的誤差基本在10%以內，與公式(1)相比，雖然誤差有所增大，但仍然能夠滿足梁拱組合連續剛構橋初步設計階段估算的精度要求。

圖6 不同結構參數下簡化公式的計算誤差

4 既定拱肋荷載分擔比例下梁拱截面彎曲剛度比的求解

梁拱組合連續剛構橋中拱肋的存在既能提高結構自身剛度，又能分擔一部分活載，而在選定拱肋分擔活載比例的情況下如何設計拱肋的截面剛度成為設計中最為關注的主要問題之一，根據式(6)，拱肋荷載分擔比例t與梁拱彎曲剛度比kba之間的函數關系可表示為

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

式(8)明確了拱肋分擔荷載比例t與kba之間的匹配關系，可用于控制拱肋承擔的荷載大小。由圖4可知，當kba較大時，t隨kba的變化逐漸趨于穩定，若以Δ=F(kba+16)/F(kba)為目標函數，認為當Δ≥0.98時，kba對t的影響不明顯，由此可得到梁拱組合連續剛構橋梁拱截面最優剛度比。

根據式(6)，拱肋荷載分擔比例t與拱肋截面剛度ka之間的函數關系可表示為

(12)

其中

A3=230L3kbks

(13)

A4=1.3×104L3ks

(14)

(15)

(16)

A7=1×106akb+1.5×104L3ks

(17)

若以Δ=F(ka)/F(1.1ka)為目標函數，認為當Δ≥0.98時，繼續增大ka，對t的影響不明顯，由此可得到梁拱組合連續剛構橋拱肋截面最優剛度，如式(18)所示。

(18)

當主梁截面剛度kb、吊桿軸向剛度ks、吊桿間距a、主跨跨徑L已知時，由式(18)可確定拱肋截面最優剛度，此時認為當ka大于該值時，拱肋對于主梁荷載的分擔作用及跨中下撓的改善作用不再發生顯著變化。根據表1中結構參數所定義的基礎模型，由式(18)可得到該橋最優的拱肋截面剛度ka=1.56×108kN·m2，此時拱肋分擔了約60%的活載。

5 結論

本文將吊桿力等效為膜張力t作用于梁拱閉合體上，通過求解力法方程推導了3跨梁拱組合連續剛構橋中梁、拱分擔荷載比例，并提出了既定拱肋荷載分擔比例下梁拱截面彎曲剛度比的解析公式，計算精度能滿足概念設計階段估算的精度要求。研究主要結論如下。

(1)梁拱組合連續剛構橋中梁、拱分擔荷載比例的解析計算公式能夠幫助設計人員更加深入理解該類橋型的拱-梁協作機理，從力學的角度分析對拱肋分擔的荷載比例進行控制，使得結構更加經濟、合理。

(2)影響拱肋荷載分擔比例t的關鍵因素為梁拱截面彎曲剛度比及吊桿拱肋等代彎曲剛度比，在剛梁柔拱的假定下，拱肋至少能承擔30%以上的活載；當主梁截面剛度一定時，拱肋分擔的荷載比例隨拱肋截面剛度的增加而增加，但當拱肋分擔的荷載比例超過60%后，繼續拱肋截面抗彎剛度已不能大幅提高其分擔的荷載比例。

(3)本文推薦的解析公式(18)可以非常方便地實現既定拱肋荷載分擔比例下拱肋截面抗彎剛度的求解，從而為梁拱組合連續剛構橋拱肋截面的初步設計提供參考。