原子核的共振態

白春林

(四川大學 物理學院, 四川 成都 610065)

1 原子核共振態簡介

共振是現實生活中廣泛存在的現象,也是物理學研究的手段之一.比較簡單的共振圖像是:粒子或波穿過某個體系時，在某種特定的能量下會被強烈吸收或透射.因此可以通過共振研究體系的性質.比較簡單的共振描述可見于文獻[1]中,粒子穿過一維有限深方勢阱時會出現共振穿透或吸收,通過對它們的觀測能得到該勢阱的深度和寬度信息.

作為一種典型而又復雜的有限量子多粒子體系統,原子核內部的核子-核子相互作用非常復雜,它們與核子-核子距離、自旋、同位旋等相關,其共振態的類型也非常豐富,如原子核的各類電磁激共振、電荷交換的共振態等,它們被宏觀地描述為原子核在坐標、自旋、同位旋等空間的集體諧振.這些共振態為研究原子核的核子-核子相互作用提供了獨特的契機.此外,在天體元素合成和演化過程中,有一半以上比鐵重的豐中子核素是通過快中子俘獲過程,也稱為r-過程合成的.快中子俘獲過程發生在非常豐中子的環境中,目前最有可能的是超新星核心崩塌[2]和雙中子星并核(binary neutron star merger)[3],中子穿過原子核時被原子核俘獲,當俘獲的中子積累到β-穩定線附近時,原子核會通過貝塔衰變、貝塔緩發中子發射、裂變等途徑演化為更重的元素,進而繼續快中子俘獲過程.在該過程中,原子核的共振態對中子的共振吸收非常關鍵,而電荷交換共振直接決定貝塔衰變的半衰期.

受實驗條件限制,早期的共振態是用光子、電子、質子、α粒子作為探針,轟擊原子核觀測到的.這些觀測中,(給靶核的)能量轉移低于10 MeV的共振態通常只涉及少數核子在一些簡單的單粒子態之間的激發,這種激發對應的強度比較低;能量轉移從10到30 MeV的共振態通常是涉及整個原子核所有核子的諧振,被稱為巨共振(GR),巨共振強度較高,相對容易觀測.實驗中,從1947年,Baldwin 等首次在光核反應中觀測到同位旋標量巨偶極共振(IVGDR)[4]以來,核物理實驗對原子核的共振態的觀測一直沒有間斷,多種不同種類的共振態被觀測到,同時也有很多新物理成果在其中產生,比如近年引起重視的矮偶極共振(PDR)[5-6].本文將在第2節中詳述各類共振態及其物理意義.

對原子核共振態的發掘也伴隨著相應核結構理論的發展.在眾多的理論模型中,密度泛函理論以其簡單的形式、相對準確的計算結果和較輕的計算量要求而被廣泛應用到核物理的各個領域,如形變性質、超重核、振動和重離子碰撞[7].目前,廣泛使用的密度泛函有3種,即基于零程核子-核子有效相互作用的Skyrme密度泛函[8-10],基于有限程有效相互作用Gogny密度泛函[11-13],以及相對論協變密度泛函[14-15].基于這些密度泛函理論得到的原子核基態波函數,無規相近似(RPA)被用于計算小振幅的原子核振動正好適用于對共振態的描述.考慮1粒子-1空穴(1p-1h) 激發的RPA模型最早被Bohm和Pines用于計算電子體的等離子諧振[16],首次在核物理中的應用是研究原子核的集體四極振動和八極振動[17-18].近年來,隨著計算機技術的發展,考慮2粒子-2空穴(2p-2h)的SRPA 模型也被用于研究原子核的共振,并取得了更好的精度[19-21].

本文將在第3節中介紹基于Skyrme密度泛函的RPA 和SRPA理論模型,在第4節中介紹這些模型對原子核共振態的研究現狀，小結和展望將在第5節中給出.

2 各類共振態

如前所述,共振態對應于光子、電子、質子、α粒子、重離子在靶原子核(一般不包括輕原子核)的非彈散射,散射傳遞給靶核的能量使其激發到一些集體激發態,由于炮彈核的多樣性和靶核及其內部核子-核子相互作用的復雜性導致了原子核有非常豐富的共振態[22-23].本部分將介紹原子核共振態的分類、探測及其物理意義等.

2.1 共振態分類宏觀地看,這些共振態對應原子核在坐標(L)、自旋(S)和同位旋(T)空間的諧振.散射截面可以由出射粒子波函數在核力作用范圍之外的漸近行為給出

ψ(r)→

N[expexp(ik′r)],

(1)

其中,k對應出射粒子的動量,對于彈性散射k=k′,而非彈散射k≠k′,θ是出射角,N是歸一化常數,入射粒子的入射方向定為z軸方向,f(θ)稱為散射幅度,對應于散射的微分截面

(2)

散射幅度可以用角動量L的本征態即勒讓德多項式Pl(cosθ)展開為

f(θ)=

(3)

1)ΔS=0,ΔT=0的模式是(電)同位旋標量振動,其中質子和中子諧振的相因子由ΔL=0,1,2,…定出,稱為同位旋標量單極、偶極、四極共振等;

2)ΔS=1,ΔT=0的模式是(磁)同位旋標量振動,其中自旋向上和自旋向下的核子振動的相因子由ΔL=0,1,2,…確定,但數值相差-1,稱為同位旋標量自旋-單極、偶極、四極共振等;

3)ΔS=0,ΔT=1,ΔTz=0的模式是(電)同位旋矢量振動,其中質子和中子諧振的相因子也由ΔL=0,1,2,…定出,不過數值相差-1,稱為同位旋矢量單極、偶極、四極共振等;

4)ΔS=1,ΔT=1,ΔTz=0的模式是(磁)同位旋矢量振動,其中質子自旋向上(向下)與中子自旋向下(向上)的振動方向相反,對應不同的ΔL=0,1,2,…分別稱為同位旋矢量自旋單極、偶極、四極振動等;

5)ΔS=0,ΔT=1,ΔTz=±1的模式對應于同位旋矢量單電荷交換振動,例如(n,p)或(p,n)反應等,比較著名的費米躍遷對應于ΔL=0;

6)ΔS=1,ΔT=1,ΔTz=±1的模式對應于同位旋矢量單電荷交換振動,或稱為自旋-同位旋激發,比較著名的有咖莫夫-泰勒(GT)躍遷(ΔL=0)和電荷交換的自旋-偶極躍遷(ΔL=1).

在以上這些共振模式中,ΔS=0的模式與電躍遷相關,而ΔS=1的模式則與磁躍遷相關.

2.2 共振態的激發算符微觀地看,這些共振態對應于各種1p-1h激發的相干疊加,可以表示為

|Ψλ,σ,τGR〉=Oλ,σ,τ|Ψgs〉,

(4)

其中λ對于共振態的總角動量,σ取0或1表示電或磁激發,τ取0或1 表示同位旋標量或矢量躍遷.

誘發共振態(總角動量和第三分量用λμ描述)的原子核電多極矩M(Eλμ)可以寫為

M(Eλμ)=

(5)

其中,ρ(r)是原子核的電荷密度,j(r)是流密度,分別寫為：

(6)

δ(r-rk)vk)+

(7)

(8)

此處,中子和質子的g因子分別為gn=-3.826 3和gp=5.585 6.

在長波近似(qr?1)下,方程(5)中的流密度相關項可以忽略不計,同時球貝塞爾函數可以展開為

jλ(qr)=

(9)

對于除單極和同位旋標量偶極振動外的其他振動,上式取領頭階已經足夠,在此情況下：

(10)

其中,(10)式為同位旋標量多極振動算符,(11)式為同位旋矢量多極振動算符.對于電單極和同位旋標量偶極躍遷,需要取jλ(qr)展開項的第二階,此時

(12)

(13)

由于這兩種多極共振與r的特殊關系,它們與原子核的不可壓縮系數有緊密聯系而被稱為壓縮模式.

原子核的磁多極矩M(Mλμ)可以寫為

M(Mλμ)=

(14)

在長波近似下,取jλ(qr)展開項的領頭階可得

M(Mλμ)=

(15)

2.3 共振態的觀測和物理意義最初的共振觀測是在1937年,Bothe等[24]用γ射線轟擊原子核,觀測(γ,n)反應放出的中子來測量原子核的共振譜,在他們的實驗中沒有分出觀測到的共振態具體是哪種多極共振.

最先由Migdal在1944年提出單極共振,隨后于1947年由Baldwin等[4]通過系統地使用高能電子通過韌致輻射產生的γ光子轟擊原子核找到了同位旋矢量單極共振(IVGDR).在這之后,有了大量的關于IVGDR的研究,通過總結這些實驗結果得出IVGDR的激發能能被如下公式很好地符合

Ex=31.2A-1/3+20.6A-1/6MeV.

(16)

由于一般形式的ISGDR態,即算符的徑向部分是r1,對應與原子核的質心運動,能觀測到的只能是由(13)式給出的高階振動模式,所以所謂GDR一般指IVGDR.GDR的重要性在于,天體快中子俘獲過程中,原子核俘獲中子后會處于激發態,通常通過放出γ光子退激,釋放光子的過程自然與E1躍遷,即GDR相關.具體來說,中子俘獲率通常用Hauser-Feshbach統計模型估算,而該模型的一個基本假設是,俘獲過程中的復合核形成過程是在熱力學平衡的條件下進行的.在這種方法中,r-過程環境中相關溫度下的麥克斯韋平均中子俘獲率強烈依賴于電磁相互作用,即光子退激發概率.而它正好需要從原子核的GDR中提取,更多詳情可以參考最新的文獻[25].

20世紀末,Goriely 在計算豐中子核的中子俘獲率時發現低能矮偶極共振(PDR)會產生非常重要的作用[26].此外,還有工作指出通過測量PDR能提取原子核的對稱能和中子皮厚度,這些對天體物態方程、無限核物質以及中子星的研究都有重要意義[27].這些研究使得PDR成為本世紀核物理研究的三大熱點問題之一,近年來有很多實驗工作采用更先進的同步輻射光子的光核反應研究原子核的GDR和PDR[5-6,28-29].

IVGDR態被觀測到后,直到1971至1972年,實驗上用電子對核的非彈散射觀測到了新的共振包(bump)[30],隨后Fukuda等[31]和Lewis等[32]分別在電子和質子散射譜中確定了這種大約位于63A-1/3MeV的共振包就是同位旋標量四極巨共振(ISGQR).ISGQR的發現啟發了對同位旋標量巨共振的研究,實驗核物理學家們想到用α束散射來探測ISGR,其優點是α粒子同位旋T=0,此外由于它比較重(大)不容易穿過靶核,導致出射α粒子的出射角與ΔL強烈關聯,這為尋找其他多極巨共振提供了方便.隨后在1977 年,通過比較前角的散射數據確定了能量更高的同位旋標量巨單極共振(ISGMR)位于大約80A-1/3MeV[33-34].此外,還觀測到了低能八極共振(LEOR)大約位于41A-1/3MeV[35].此后,更高ΔL的ISGR 就很難被鑒別出來了.在這些共振態中,ISGMR的激發能與無限核物質的不可壓縮系數K∞緊密關聯而備受關注,后者對中子碰撞動力學、中子星物理以及超新星核心坍縮[36]有重要影響,它們之間的關系源于一方面有限核的不可壓縮系數KA可以寫為

(17)

另一方面,KA可以展開為

KA=

(18)

其中

δ=(N-Z)/A,

Ksurf、Ksym、KCoul分別為不可壓縮系數的表面、對稱能、庫倫項.實際計算中,(18)式很難計算,通常會采用更簡單一些的擬合[37]

KA=aK∞+b,

(19)

其中a、b為擬合出的常數.

此外,有多種同位旋矢量多極共振也在電荷交換反應中被觀測到.1983年,Bowman等[38]用π介子電荷交換的(π±,π0)反應在前角觀測到同位旋矢量巨單極共振(IVGMR),這種共振態也被稱為費米躍遷或同位旋相似態(IAS),其激發能大約為59A-1/6MeV.之后很多年一直沒有強子(核子)交換的電荷交換反應表明IVGMR的存在,直到1999年Nakayama等[39]才在60Ni(7Li,7Be)反應中找到其直接證據.

另一種ΔL=0但ΔS=1(即有自旋反轉)的同位旋矢量巨單極共振(IVSMR),即著名的Gamow-Teller共振態(GTR)于1985年在(p,n)反應中被觀測到[40].由于IVSMR在核物理中的重要性其高階模式也被觀測到[41-42].值得指出的是,由于領頭階IVSMR 模式已經是著名的GTR,IVSMR在核物理中特指次領頭階的IVSMR,它們的激發算符分別為：

(20)

(21)

(22)

其中l=1和l=2分別對應于SD和SQ,它們的自旋宇稱分別為

Jπ=0-,1-,2-

和

Jπ=1+,2+,3+.

上述幾種IVSDR和GTR,一方面,決定核素的β衰變半衰期對天體r-過程中的β衰變非常重要[43];另一方面,對核子-核子相互作用中的自旋-同位旋相關部分的確定也非常重要,這將在第4節中詳細介紹.

以上IVSR都是自旋相關,也能被稱為廣義磁躍遷,但實際的磁躍遷M1 和M2探測難度非常大.早期測量M1躍遷,一種方法是以極化質子為探針,結合前角非彈數據和自旋反轉率的測量[44];另一種方法是用高度極化的光子為探針,結合彈性散射數據和散射光子的反對稱測量.然而,這兩種方法測到的總M1的強度,只有殼模型預言的50%到70%.更好的方法是用電子背角(180°)非彈散射的方法,該方法可以測到更多的M1強度[45].用電子背角非彈散射的方法還可以測到M2 躍遷Jπ=2-的強度[46].

3 基于Skyrme相互作用的密度泛函理論及后續理論模型

在描述原子核性質的微觀模型中,密度泛函理論(DFT)以及后續的RPA 和SRPA理論對計算資源要求少能實現全核素圖大量計算,而且計算精度高在核物理中被廣泛使用.目前,使用最多的密度泛函有3種,即基于零程核子-核子有效相互作用的Skyrme密度泛函[8-10],基于有限程有效相互作用Gogny密度泛函[11-13],以及相對論協變密度泛函[14-15].本部分將簡單講述基于Skyrme相互作用的密度泛函理論以及后續的RPA和SRPA理論模型.

Skyrme有效相互作用是有Skyrme于1950年代提出的一種零程動量相關的點接觸相互作用[8].該相互作用的形式由平移,轉動等不變性而定出,其形式為

Vsk=t0(1+x0Pσ)δ+

t2(1+x2Pσ)k′·k+

iW0(σ1+σ2)·k′×k+VT,

(23)

(σ2·k′)δ(σ1·k)-

(24)

其中,T和U是自旋三重偶(TE)和自旋三重奇(TO)項的強度.

Skyrme相互作用提出后,由Vautherin和Brink最早于1972年在平均場近似下實現了閉殼原子核的DFT計算,即HF計算[9].隨后,Dobaczewski等與1984年左右,在計算中加入了Bogolyubov準粒子近似較好地處理了同位旋矢量(IV)對相互作用,即HFB計算,使模型能推廣到球形開殼偶-偶核[47].2013年Stoitsov等實現了開殼形變核的HFB計算[48].原子核密度泛函理論的的支柱之一是獨立粒子模型,即所有核內的核子都是獨立運動的,它們受到相同的勢場即平均場.平均場會有一系列單粒子能級,核子按照能級從低到高的次序依次填充這些能級,最終得到的原子核基態的波函數是一個Slater行列式,這就是平均場近似.在此近似下,原子核的能量可以表示為

(25)

其中,H是密度的泛函,可以寫為

(26)

其中,ρ、τ、J分別為定域核子數密度、動能密度、自旋密度,定義為

ρ

(27)

τ

(28)

Jq(r)=

[▽φi(r,σ′,q)×〈σ|σ|σ′〉],

(29)

其中,φ是單粒子波函數,q=1(2)表示中子(質子).通過對能量變分,可以得到φ的HF本征方程

[Uqi(r)+Wqi·(-i)(▽×σ)]φi=eiφi, (30)

其中,有效質量為

M

(31)

HF勢為

U

(32)

自旋軌道勢為

(33)

原子核的共振態,即集體激發態是各種1p-1h單粒子躍遷的相干疊加,其產生算符[23]定義為

Q?

(34)

其中,m、i分別表示粒子態(非占據態)和空穴態(占據態),X、Y分別表示向前和向后的激發的系數(幅度).有向后的激發原因是DFT求解出的基態與真實的基態有偏離,這項是由此產生的修正,是小量.在此定義下,原子核的集體激發態表示為

|ν〉=Q?ν|-〉,

(35)

其中|-〉為RPA基態.

X、Y的求解需要通過RPA方程

E

(36)

用HF基態代替RPA基態,以及準玻色子近似下,上述RPA方程中的A、B矩陣元可以計算為：

Ami,nj=(m-i)δmnδ

(37)

B

(38)

(39)

RPA方程的求解可參考文獻[49-50],目的是求解出Eν和相應的Xν、Yν.|ν〉態對應的激發強度可以計算為

Bν=|〈ν‖Qλ,σ,τ‖0〉|2.

(40)

SRPA理論則是比RPA理論更精確的高階理論模型,其組態空間自洽地包含1p-1h 和2p-2h激發[20-21],以及

Q?

(41)

在該模型中,1p-1h的激發幅度會受2p-2h組態的關聯而發生顯著變化,相應的激發強度分布會被展寬,進而得到更合理的結果.

4 RPA和SSRPA理論研究現狀

基于有效相互作用的自洽HF+RPA理論模型在研究原子核的各類集體激發態和相關的物理量如β衰變半衰期、原子核形變、中子俘獲率等方面取得了很大的成功[51].然而,這些研究也存在一定的問題,即研究中主要關注了自旋無關的激發態,雖然相應的核子-核子有效相互作用的成分被很好地確定下來,但對自旋相關的集體激發態則不能很好地描述,原因是相應的自旋-同位旋相關的相互作用未被很好確定或未被包含,其中主要的是張量相互作用.其原因是,一方面張量相互作用形式復雜,難以處理;另一方面,以前的研究沒有找到張量相互作用的特征性效應,無法確定其強度.

隨著21世紀初先進的放射性束裝置投入使用,并在豐中子核區發現不同于穩定核區的幻數[52],張量力的引入能成功解釋這些幻數[53-54],使得張量力在原子核集體激發態中的效應被關注.在文獻[55]中,Skyrme張量力被首次加入RPA計算,該研究指出張量力有對GT躍遷有3個效應,即使主峰明顯下移1～2 MeV,使低能峰顯著移動,使約10%的強度被移到高能區,如圖1[55]所示.

圖 1 自洽HF+RPA模型計算的208Pb的GT躍遷強度分布

圖1中,“00”表示HF和RPA 計算中都不包含張量力,“10”表示張量力僅被加入HF中,“11”表示張量力被加入HF 和RPA中.文獻[55]研究表明,有希望通過調節張量力的參數使GT巨共振的激發能被很好符合,同時由于張量力對低能GTR有顯著效應,因此很有可能對原子核的β衰變產生重要影響.

此后,張量力對更多電荷交換的多極共振態的效應被研究[56].其中,尤其指出張量力能對電荷交換的SDR的激發能有顯著效應.這一理論預言被之后的最新實驗證實[57-58].如圖2[57]所示,其中T43和SLy5+Tw 兩套包含張量力的參數被使用,實驗數據來自文獻[58].在計算中不加張量相互作用時,RPA模型得到的SD1-共振態能量比實驗高5～6 MeV,加入張量力后能很好地符合實驗.這被認為是一個張量力的確定性效應.考慮到張量力對GT和SD共振態激發能的顯著效應,張量力的強度參數被優化到一個很小的范圍,用這樣的相互作用能夠對GT和SD共振態的激發能給出非常好的描述[59-60],同時還能改進對單粒子能級、結合能以及電荷半徑等的描述[61].

圖 2 自洽HF+RPA模型計算的208Pb的電荷交換的SD躍遷強度

考慮到張量力對原子核的低能GTR也有很強的效應,而這些低能GTR 對很多不穩定核的β衰變半衰期占主要貢獻

(42)

是出射電子和中微子的運動學因子,Q是β-衰變的Q值,F(Z,Ee)是出射電子和子核的關聯函數[63].在張量力被引入RPA 計算之前,準粒子無規相近似(QRPA)主要通過引入質子-中子對相互作用的同位旋標量部分顯著拉低低能GTR 的激發能,進而在理論上能夠使原子核能發生β衰變[43,64-65].但這種方法的缺陷是,對于閉殼核,其對相互作用非常弱可以忽略不計,計算只能得到穩定核或半衰期遠高于實驗值[43,64],這表明在以前的研究中缺失了某種機制.而張量力的引入正好能重復閉殼核的β衰變半衰期的實驗值,這表明張量相互作用是導致β衰變的一個重要因素,如圖3[66]所示.

圖 3 自洽HF+RPA模型計算的34Si、68Ni、78Ni和132Sn的β衰變半衰期

計算中使用了SKO 相互作用,“00”表示HF 和RPA中都不加張量力的計算結果,“11” 表示HF和RPA 中都包含張量力的計算結果.實驗數據來自文獻[67].在HF+RPA中加入張量力后能顯著降低34Si、68Ni、78Ni和132Sn等4個閉殼核的β衰變半衰期,進而重復實驗結果.

此外,文獻[68]也在HF+RPA計算中加入張量力研究原子核的正常(無電荷交換)巨共振,該研究指出：引入張量力能對自旋相關的M1、M2共振態產生重要影響但對電躍遷影響非常弱.這是一個很好的研究結果,一方面張量力能改進對自旋相關的激發態的描述,另一方面張量力對之前已經描述的比較好的電激發影響很小.

在基于Skyrme密度泛函的HF+RPA模型中引入張量力后,即在目前有效相互作用的精度下完整地考慮了所有相互作用項后,能對原子核的共振態的激發能給出較好的描述.但還有一個問題,就是HF+RPA 對共振態的強度和寬度不能正確描述,通常RPA給出的強度都過于集中,寬度較窄.為了解決這個問題,有必要考慮更高階的修正,而SRPA正是考慮了2p-2h組態的影響.在文獻[20,69]中,分別實現了基于現實相互作用和Skyrme有效相互作用的SRPA計算,并成功地描述了電躍遷的0+和2+態的激發能和展寬.近期,張量相互作用也被加入HF+SRPA計算中研究了原子核的0+、2+和3-共振態[21],張量力的引入能得到較強的第一個0+和2+激發態強度,這是以前的SSRPA 理論計算所不能給出的.

5 小結和展望

本文介紹了原子核的各類共振態,通過對原子核的各種共振態的觀測和理論研究,一方面能夠獲取原子核的核子-核子相互作用的信息,另一方面能夠對天體物理研究提供重要信息.研究ISMR能獲取原子核不可壓縮系數的信息,進而幫助確定無限核物質不可壓縮系數的信息,該信息對中子星物理和超新星核心坍縮非常重要.研究IVDR有助于準確描述天體r- 過程的中子俘獲率.研究ISQR和ISVR能獲得原子核四極形變的信息.研究電荷交換的GT和SD共振態,一方面能限制張量相互作用強度,另一方面能有助于精確計算原子核β衰變的半衰期,進而對天體r-過程更準確地描述.

關于共振態的理論描述上,本文介紹了基于Skyrme密度泛函的RPA 理論以及考慮更高階修正的SRPA理論,其中(QRPA)RPA理論是目前可以實現全核素圖計算的微觀理論模型.Skyrme相互作用是非常成功的有效相互作用,在描述原子核的結合能、電荷半徑、單粒子能級等物理量上都達到了非常高的精度.關于共振態,在加入Skyrme相互作用的所有項尤其是張量項后,自洽的(Q)RPA 模型能準確地預測共振態的激發能,從而能提高一些相關物理量如貝塔衰變半衰期和中子俘獲率的預測精度.而考慮更高階修正的SRPA 理論模型,能改善RPA模型得到的共振態強度分布的展寬,得到一些共振態中的精細結構.

然而,無論是實驗還是理論,對共振態的研究依然是一個開放性課題.實驗上,怎樣提高實驗精度鑒別并觀測更高階的共振態,以及一些關鍵核素共振態的觀測,尤其是豐中子核區的觀測,都需要大量的精力.理論上,還需要考慮其他效應,如形變、粒子數守恒,以及自洽考慮同位旋標量對相互作用等.