初中生數學閱讀能力的調查分析與教學建議

陳鵬飛 林運來

（1.漳州市第二中學，福建 漳州 363100；2.廈門大學附屬實驗中學，福建 廈門 363123）

一、問題提出

當今世界在不斷發展，科技在飛躍式進步，社會越來越信息化、數學化，我們想看懂某些產品的說明書、讀懂股市走勢圖等，都需要數學的閱讀能力.［1］數學閱讀是從背景、數據等材料中獲取信息的心理活動過程，不僅包括對數學文字語言、符號語言、圖表語言的理解、記憶、認知等過程，還包括對材料的邏輯結構進行分析、綜合、歸納、推理、猜想等一系列思維過程，是區別于一般閱讀的較為復雜的智力活動.［2］《義務教育數學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱《課標（2011 年版）》）中多次提及“閱讀”二字.例如，在“實施建議”中提出：“對于學有余力并對數學有興趣的學生，教師要為他們提供足夠的材料和思維空間，指導他們閱讀，發展他們的數學才能.”在“評價建議”中提出：“為考查學生從具體情境中獲取信息的能力，可以設計閱讀分析的問題.”無獨有偶，在受到各國重視的PISA 評估測試的三個領域中，“閱讀素養”排在第一位.

蘇霍姆林斯基認為學習上的五把刀具分別是“閱讀”“書寫”“觀察”“思考”“表達”，并把“閱讀”擺在首位.這是因為閱讀是信息輸入的首要步驟.而閱讀理解是學生從書面語言中獲取信息，進行加工編碼，獲得知識意義的活動過程.有人認為不會閱讀的學生是潛在的差生.［3］本研究以九年級學生為研究對象，通過對學生的數學閱讀能力進行測試，試圖了解某一地域學習群體在數學閱讀中存在的問題，為更好地培養學生的數學閱讀能力提供相應的教學建議，以供同仁參考.

二、研究方法

（一）研究對象

研究選取的樣本為福建省漳州市X 和Z 兩所中學九年級兩個普通班的學生，共80 人.

（二）研究材料

1.教育部教育考試院提出數學高考著重考查閱讀理解、信息整理、語言表達、批判性思維四項關鍵能力.考查數學閱讀能力的試題類型涉及各個方面，形式主要有圖表類型、生活語言文字類型和復雜數學關系類型.［2］根據以上研究結果，本研究先進行測試題的設計與編制，最終確定選取六道問題進行測試，其中圖表類型3 題（題1～3）、生活語言文字類型1 題（題4）、復雜數學關系型1 題（題5～6）.測試前對教師和學生進行訪談，并對測試問題進行了微調和修改，在確保測試的有效性后，對樣本學生采用紙筆模式進行測試.

2.筆、草稿紙、試卷、答題卷、錄音筆.

（三）研究過程

1.2021年11 月1 日對樣本學生進行測試，測試時長約40 分鐘.

2.對答題卷進行回收并利用“好分數”軟件掃描，在電腦上完成初評，再手工復評.

3.統計測試成績后再對10 名學生及兩位數學任課教師進行訪談.

三、研究結果與分析

本次測試滿分45 分（選擇題、填空題每題5 分，解答題每題10 分），樣本學生平均得分28.8 分，得分率64%，及格率50.3%，優秀率12.5%，及格率偏低，優秀率更是低于班級平時測試成績.下面對答題情況進行分析.

［題1］某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是（ ）

圖1

（A）各月的平均最低氣溫都在0℃以上

（B）七月的平均溫差比一月的平均溫差大

（C）三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

（D）平均最高氣溫高于20℃的月份有5 個

本題選取考生熟知的實際生活問題，要求考生讀懂統計圖并回答問題，以考查考生對新知識的學習和理解能力，［4］重在考查學生在閱讀理解的基礎上運用新知識解決問題的能力，體現了“素質教育”的基本理念.這里，要求學生對提供的信息進行充分解讀，通過閱讀“舉例說明”，理解課本中沒有出現過的雷達圖中各徑向線段和同心圓的實際含義，并根據代數推理進行判斷.

本題只有2 人答錯，平均得分4.88 分，表明樣本中約98%的學生能夠讀懂雷達圖，并能解決簡單的實際問題.

［題2］有一道題：已知點O為△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A.

小明的解答為：

畫出△ABC及它的外接圓O，連接OB,OC，如圖2 所示.

由∠OBC=2∠A=130°，得∠A=65°.

小穎說：“小明考慮不全面，∠A還有另一個不同的值.”

（1）下列判斷正確的是（ ）

A.小穎說得對，且∠A的另一個值是50°

B.小穎說得不對，∠A就得65°

C.小明求的結果不對，∠A應得50°

D.兩人都不對，應有3 個不同值

（2）請選擇你所采用的解題思路和方法：（ ）

A.讀幾遍題目后，直接利用圖2，憑直覺判斷

圖2

B.通過心算，確定選項

C.讀題后，在草稿紙上畫出圖形，通過演算進行判斷

D.其他

本題考查圓周角與圓心角的大小關系及分類討論等數學思想，考查邏輯思維能力、運算求解能力，體現了數學嚴密的邏輯性這一重要特征.樣本學生的答題情況如表1 所示.樣本中55%的學生能夠正確判斷“利用圖2 考慮問題”不全面，且能夠正確求出∠A的另一個值.樣本中約26%的學生認為此題只有圖2 這種情形.從所選用的解題思路和方法中可以看到，約83%的學生通過重新畫圖并經過演算作出判斷，但部分學生無法正確或者完整地畫出圖形，說明將熟悉的文字表達轉化為圖形的能力還有待提高.測試后通過訪談其中5 名答錯的學生，發現學生在重新畫圖的過程中，受圖2 的影響，也只是畫出類似圖2 的圖形.通過與數學教師交流得知，學生在平時學習中畫“三角形的外接圓”時，往往只習慣畫銳角三角形的外接圓，可見，在解答此題時，部分學生由于受定式思維的影響而致錯.

表1 樣本學生例2 的答題情況統計表

［題3］如圖3，Rt△ABC中，∠B=90°，動點P從A點出發，沿A→B→C以1cm/s的速度在△ABC的邊上運動.設△APC的面積為S（單位：cm2），點P的運動時間為t（單位：s），已知變量S與t之間的關系如圖4所示，則運動過程中，S的最大值為______.

圖3

圖4

本題以點的運動變化為問題背景，考查函數的圖象與性質的應用，綜合考查運用數形結合、分類討論等數學思想解決問題的能力.以考查數學抽象為主，同時考查直觀想象、數學運算等學科素養.答題的關鍵在于緊扣數與形之間的本質聯系:一是“圖形”引路，即以“形”（如點P的運動軌跡）直觀地表達“數”（如點P的運動時間）；二是“轉化”橋梁，即以“數”（如t=6 時S取最大值）精確地研究“形”（如點P的位置）.

本題平均得分3.1 分.數學抽象素養較弱的學生很難將點P的運動路程結合△APC面積的“S-t”關系圖順利地轉化成數.還有部分學生在計算三角形的面積時漏乘二分之一.

［題4］有一道題：初三（1）班共有40 個同學，班主任計劃用1 000 元的班費給每個同學購買一個文具盒或一本工具書.已知文具盒的價格是28 元/個，工具書的價格是20 元/本.要求剩下的錢不少于100 元，但不超過120 元.請你設計購買方案.

小亮的解答如下：

設購買文具盒x個，則購買工具書(40 -x)本，根據題意得

解得10 ＜x＜12.5.

因為x是文具盒的個數，所以只能取整數，故x=11 或x=12.

購買方案有兩種：購買文具盒11 個，工具書29 本或購買文具盒12 個，工具書28 本.

小亮的答案錯了嗎？如果錯了，請指出小亮出錯的原因，并寫出正確的答案.

本題以“改錯”的形式考查一元一次不等式組的應用，通過具體情境，考查“用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題”的素養，使學生感受數學與實際生活的緊密聯系，理解數學服務于生活，有助于培養學生的應用意識和建模思想.

本題平均得分為8.25 分，大部分學生能得滿分，少部分學生失分的主要原因有兩個：一是回答問題不規范，敘述不清楚；二是考慮問題不全面，在“不少于”“不超過”的“糾錯”中只找出其中一個.

［題5］習近平總書記指出，“垃圾分類工作就是新時尚.”某小區為響應垃圾分類處理，改善生態環境，將生活垃圾分成三類：廚余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分別記為a，b，c.并且設置了相應的垃圾箱：“廚余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾箱”，分別記為A，B，C.

（1）若小明將一袋分好類的生活垃圾隨機投入一類垃圾箱，畫樹狀圖求垃圾投放正確的概率；

（2）為了了解居民生活垃圾分類投放的情況，現隨機抽取了該小區某天三類垃圾箱中總共10 噸的生活垃圾，數據統計（單位：噸）如表2 所示：

表2

該小區所在的城市每天大約產生500 噸生活垃圾，根據以上信息，試估算該城市生活垃圾中的“廚余垃圾”每月（按30 天）有多少噸沒有按要求投放.

本題以學生熟悉的“生活垃圾分類”為具體情境，考查統計的基本知識及簡單隨機事件概率的計算，考查考生的數據分析素養.試題設計圍繞調查、隨機、推斷和量化四個統計思想展開，進行數據分析（描述性統計分析和推斷性統計分析），側重于利用樣本的數據推測總體的情況，體現樣本估計總體的統計基本思想，［5］有助于使學生明確學習概率的最終目的是解決實際問題.

本題平均得分為7.62 分.第（1）問主要考查數據處理素養，有5 人未能正確畫樹狀圖求得概率.第（2）問側重于利用樣本的數據推測總體的情況，解答時，首先需要考生讀取數據，找準表中數據之間的關系；其次，在讀取數據的基礎上，結合數據的統計意義，通過分析“樣本”數據中沒有按要求投放的“廚余垃圾”的數量對“廚余垃圾”沒有按要求投放的概率進行統計推斷；最后，利用樣本數據推測總體的情況.從學生答卷來看，數據分析素養薄弱導致出現下面的典型錯誤：求該小區某天“廚余垃圾”沒有按要求投放的概率時，混淆成求“廚余垃圾”箱中垃圾投放錯誤的概率（圖5）；求該小區某天“廚余垃圾”沒有按要求投放的概率時，混淆成求三類垃圾沒有按要求投放的概率（圖6）.出現這些錯誤的原因在于沒有審清題干信息，這也是平常解題中學生容易忽視的地方.還有部分運算素養差的學生出現計算錯誤.

圖5

圖6

［題6］某種機器使用期為三年，買方在購進機器時，可以給各臺機器分別一次性額外購買若干次維修服務，每次維修服務費為2000 元.每臺機器在使用期間，如果維修次數未超過購機時購買的維修服務次數，每次實際維修還需向維修人員支付工時費500 元；如果維修次數超過購機時購買的維修服務次數，超出部分每次維修需支付服務費5000 元，但無需支付工時費.某公司計劃購買1 臺該種機器，為決策在購買機器時應同時一次性購買幾次維修服務，搜集并整理了100 臺這種機器在三年使用期內的維修次數，整理得到表3：

表3

（1）以這100 臺機器為樣本，估計“1 臺機器在三年使用期內維修次數不大于10”的概率；

（2）試以這100 臺機器維修費用的平均數作為決策依據，說明購買1 臺機器的同時應一次性額外購買10 次還是11 次維修服務.

本題主要考查考生的閱讀理解能力、轉化與化歸能力及數學運算能力，具體考查了用頻率估計概率的思想；計算一組數據的平均數，并根據數據信息進行規律性推斷.求解本題，考生需跨過三個障礙：一是閱讀理解題意，二是將實際問題抽象為數學問題并建立相應的數學模型求解，三是較強的運算能力和良好的心態.

本題第（1）問有65 人回答正確，平均得分為4.1分，學生出現的錯誤主要體現在兩個方面：一是將“維修次數不大于10”誤認為“維修次數是8 次或9 次”，二是計算錯誤.本題第（2）問只有5 人得滿分，平均得分0.6 分.該問主要考查數據分析和數學運算等素養，多數學生出現的錯誤也與此有關.第一，無法依托合理有效的閱讀理解綜合的問題情境中的文字信息并轉化為數學問題，導致列式錯誤（如圖7）；第二，只有3人利用分類討論思想先求出不同維修次數的花費明細，再計算100 臺機器維修費用的平均數（如圖8），其余考生均直接列式計算，不會合理選擇計算方式和“回避”復雜計算（如圖9）；第三，有10 人把“維修費用的平均數”與“維修次數的平均數”意義混淆，把求“維修費用的平均數”求成“維修次數的平均數”（如圖10）.

圖7

圖8

圖9

圖10

四、研究結論與建議

通過以上結果分析，本研究得到的基本結論及相應的教學建議如下：

（一）初中生數學閱讀的興趣尚待提升

從小學開始，很多學生就“怕”數學應用題，通過對其中10 名學生進行訪談，他們表示在解答題5、題6這樣的問題時，只要一看到題目長、文字多、關系復雜，就產生畏難情緒.筆者認為導致這一情況的原因有三：其一，數學應用問題牽涉的現實生活背景比較復雜，材料比較抽象；其二，學生數學閱讀能力不足或欠缺；其三，學生的問題是表象，根源是教師平時沒有重視學生閱讀能力的培養.數學閱讀能力的培養是一項長期的、系統的“工程”，應滲透在平常學習的點點滴滴之中，教師需要針對數學學科的特點，對學生進行有效指導.教學中要為學生充分提供閱讀理解的機會.比如，注意引導學生養成閱讀理解教材及相應的課外資料的習慣，充分利用教材上的閱讀材料，自主學習新知；同時，也要指導學生搜集能有效激發閱讀興趣，且能提升閱讀能力的素材，創設適切的閱讀情境組織學生開展閱讀活動，使學生逐步養成探索新知、整合學科知識的學習習慣.對于比較復雜的閱讀材料，教師要舍得花時間讓學生閱讀和體會，同時要引導學生克服浮躁心態，抱著“讀題多遍，其義自見”的信心，相信通過逐字逐句的閱讀，是能夠讀懂、讀透題目的，在循序漸進中領悟數學內在思維邏輯，提升學生的數學閱讀能力，磨煉其良好的意志和品質.

（二）初中生數學語言的轉換能力偏弱

數學語言主要包括文字語言、圖形語言和符號語言等.這三種語言之間的轉換往往是學生閱讀的難點，特別是符號語言與文字語言，符號語言與圖形語言的“互譯”，是很多學生的“短板”.［6］教學中，教師要采取治本的策略，首先要求學生認識漢字和數學符號，針對涉及的各類數學術語和符號，要結合相應的數學理論進行本質化的理解；其次，引導學生在數學閱讀中積極思考，對數學語言的內涵進行理解，在三種不同的語言之間不斷進行轉換和“互譯”，通過相互補充和印證，弄清問題表達的意思，培養多種方式表征信息的能力；再次，將數學語言和材料內容有機結合起來，將閱讀內容與已有的知識經驗聯系起來，將抽象的概念、原理與感性的形象的事物聯系起來，對問題涉及的數量關系進行分析、梳理和抽象，不斷完善和優化數學認知結構，提升綜合能力.

（三）初中生數學閱讀的技巧有待加強

掌握一定的閱讀技巧有助于提升學生的數學閱讀能力.教學中，要注意通過具體案例，介紹問題情境中關鍵信息的提取方法，比如手腦并用、做好標記.對閱讀材料中的每一個字每一個公式要充分注意，并對重點的地方進行標注，以便引起重視.像閱讀題6 第（2）問時，可以對“維修費用的平均數”用線或點標記，這樣既可以清楚地理解問題中的重要信息，又可以培養符號意識.再如，分段理解、整體把握.閱讀篇幅較長的材料時，可以采取分散難點的策略，通過分段閱讀、分層分步的操作，內化局部信息，在充分理解每段材料的含義后，將閱讀獲取的信息梳理形成提綱或圖表，使之以網絡的形式有條理地呈現出來，便于整體加工和靈活應用.