基于無跡變換的結構載荷/參數聯合識別的GDF法

王 婷，萬志敏，2

(1.南通職業大學 汽車與交通工程學院，江蘇 南通 226007；2.華中科技大學 機械科學與工程學院，武漢 430074)

結構動力學中的逆問題分為兩類，即第一類逆問題和第二類逆問題，分別對應著參數識別[1-2]和載荷識別[3-4]。參數識別是采用測量響應和結構外載荷來反求結構未知參數，而載荷識別是采用測量響應和結構系統來反求結構外載荷。然而在工程實際中，往往未知的外載荷和不確定性的結構參數同時存在，導致傳統的兩類逆問題很難適用。近十多年來，采用不確定性的方法進行結構動態載荷及參數聯合識別逐漸受到越來越多的學者關注。

從已有文獻可知，主要包括四類方法，分別為EKF-UI[5-6](extended Kalman filter-unknown input)、DKF(dual Kalman filter)[7-10]、A-DEKF(augmented discrete extended Kalman filter)[11]以及EGDF類法[12-13]。EKF-UI法首先是由Yang等提出的，核心思想是將結構狀態(速度和位移)及未知參數看成增廣狀態向量，并基于擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)法和最小二乘法來連續識別結構的未知載荷和參數。DKF法首先是由Azam等提出的，核心思想是采用兩步法來連續識別狀態/載荷/參數：第一步將未知載荷和狀態看成增廣狀態向量，構造出增廣狀態傳遞方程，結合測量觀測方程，采用卡爾曼濾波法(Kalman filter，KF)識別出狀態/載荷；第二步將未知參數和狀態看成新的增廣狀態向量，重新構造出增廣狀態傳遞方程，并基于EKF法(或者Unscented KF法)進行增廣狀態識別，從而得到未知參數。A-DEKF法是Naets等提出的，其主要思想是將結構狀態、未知載荷及參數三者一并組成一個新的增廣狀態，基于該增廣狀態構造出狀態的傳遞及觀測方程，再應用EKF法來識別增廣狀態。從算法結構上來看，該方法流程簡單，但識別的成功性大大依賴于一個數量級合適的未知載荷方差估計值。EGDF(extended Gillijns-De Moor filter)法是作者在GDF(Gillijns-De Moor filter)法的基礎上提出的。GDF法是由Gillijns等針對線性系統，并基于KF和加權最小二乘算法提出的載荷/狀態連續最小方差無偏估計濾波法。EGDF法采用EKF的一階泰勒線性近似思想解決了弱非線性系統的載荷/狀態識別問題，該狀態可以是以結構狀態和未知參數組成的增廣狀態。然而，EGDF法中僅采用部分加速度響應作為測量信號參與濾波識別，極易導致識別的載荷和位移產生所謂的低頻漂移現象，這是因為加速度信號對于輸入載荷的轉靜態分量不夠靈敏，易導致系統的低頻動態信號丟失。為了緩解低頻漂移問題，Wan等和萬志敏等采用位移或者應變與加速度測量信號一并作為測量響應來進行識別。

因EKF法僅有1階精度，故EGDF法中的算法也僅有1階精度。為了提高非線性系統的識別精度，考慮到無跡變換(unscented transformation)方法的精度至少為2階(對于高斯分布可達到3階精度)，本文基于UT算法對GDF進行拓展，并基于應變-加速度測量信號融合策略，形成GDF-UT法。另外，模態縮減法的應用可以提高計算效率，更加適用于工程實際問題。數值算例采用桁架為對象驗證了本文方法的有效性。

1 模態GDF法的非線性形式

對于含黏性阻尼的n個自由度結構動態系統，其運動微分方程可以表達為

(1)

引入模態坐標變換

p(t)=Φq(t)

(2)

式中，Φ、q(t)分別為模態振型矩陣和模態位移向量。將式(2)代入運動微分方程式(1)可得

(3)

式中，Mn=ΦTMΦ=I，Cn=ΦTCΦ=Γ，Kn=ΦTKΦ=Λ，并且存在

(4)

(5)

式中，ωi、ζi分別為第i階系統無阻尼自然頻率和模態阻尼率。那么，式(3)可寫成

(6)

(7)

系統觀測方程可以表達成

Du(t)

(8)

考慮過程噪聲，系統的模態狀態傳遞方程式(7)以及觀測方程式(8)可以分別寫成如下的非線性時間離散形式

zk+1=fk(zk,uk)+wk，k=1,2，…，T

(9)

yk=hk(zk)+Dkuk+vk,k=1,2,…,T

(10)

式中：下標k為第k個采樣時刻；y為加速度測量響應，wk為系統噪聲，其均值和方差分別假定為0和Gk；vk為觀測噪聲，其均值和方差分別假定為0和Rk。

因為式(9)和式(10)為非線性方程，傳統GDF法無法適用，本文下面將推導GDF法的非線性形式，其實質為最小方差無偏估計，共包含三步識別：時間更新步、載荷識別步、測量更新步。

1.1 時間更新步

(11)

(12)

1.2 載荷識別步

(13)

其中

ek=h(zk)-E[h(zk|k-1)]+vk

(14)

(15)

E[h(zk|k-1)])(h(zk)-E[h(zk|k-1)])T]+

Rk≠cI

(16)

可知，式(13)不滿足方差一致性，即ek不是一致的方差值，根據Gauss-Markov理論[14]，式(15)不可能達成最小方差無偏估計。

(17)

那么存在

(18)

(19)

由式(19)可得，式(15)優化為

(20)

由式(13)和式(19)可得載荷的無偏估計誤差為

(21)

(22)

1.3 測量更新步

基于上述的狀態估計值，定義下式

(23)

式中：Lk為假定的增益，需要后解來滿足狀態的最小方差無偏估計。狀態估計誤差為

(24)

LkDk=0

(25)

基于式(25)存在，那么可得

(26)

其中

(27)

最小化Pz,k|k并考慮到式(25)，得出優化的結果，參考Dertimanis等的研究

Lk=Kk(I-DkJk)

(28)

式中：Kk=Pze,k|k-1(Pe,k)-1。將式(28)代入式(23)得到

(29)

另外，根據Dertimanis等的研究可推導出

(30)

(31)

綜上所述，式(14)、式(16)、式(19)、式(20)、式(22)為載荷估計步，式(27)～式(31)為測量更新步，式(11)～式(12)為時間更新步，結合上述三步即為模態GDF的非線性形式。

2 基于無跡變換的模態GDF方法

EGDF法是基于EKF的GDF法，其中不可避免保留了EKF法的缺陷，即：對非線性系統方程及觀測方程進行泰勒展開并保留其1階近似項，存在線性化誤差。本文采用無跡變換來處理系統的非線性傳遞問題。

2.1 無跡變換

無跡卡爾曼濾波是Julier等[15-16]提出的一種非線性濾波方法。與EKF不同的是，它并不對非線性方程f和h在估計點處做線性化逼近，而是利用無跡變化在估計點附近確定采樣點，用這些樣本點表示的高斯密度近似狀態的概率密度函數。

UT實現方法為：在原狀態分布中按某一規則選取一些采樣點，使這些采樣點的均值和協方差等于原狀態分布的均值和協方差；將這些點代入非線性函數中，相應得到非線性函數值點集，通過這些點集求取變換后的均值和協方差。這樣得到的非線性變換后的均值和協方差精度最少具有2階精度(Taylor序列展開)。對于高斯分布，可達到3階精度。其采樣點的選擇是基于先驗均值和先驗協方差矩陣的平方根的相關列實現的。

(1)計算2L+1個Sigma點，即采樣點，L指的是狀態的維數。

(32)

(2)計算這些采樣點相應的權值為

(33)

式中，下標i為第幾個采樣點，m為均值，c為協方差。待選參數β≥0是一個非負的權系數，它可以合并方程中高階項的動差，這樣就可以把高階項的影響包括在內，一般對于高斯分布時，取β=2。

2.2 基于UT的模態GDF方法

基于UT，可以將GDF法拓展到非線性結構系統中，并能夠實現狀態/參數/載荷聯合識別。下面將依據第2章推導出基于UT的模態GDF算法。

初始化

(35)

2.2.1 載荷估計步

(36)

πi,k|k-1=h(zi,k|k-1)

(37)

(38)

ek=h(zk|k-1)-E[h(zk|k-1)]+vk

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

2.2.2 測量更新步

(44)

Kk=Pze,k|k-1(Pe,k)-1

(45)

Lk=Kk(I-DkJk)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

2.2.3 時間更新步

(51)

(52)

(53)

3 應變及加速度響應融合下的EGDF法

加速度傳感器因其體積小、易安裝，且對結構系統特性影響很小，因而廣泛應用于工程實際中來測量結構的振動響應。然而，僅采用加速度測量信號來識別結構系統的GDF算法具有本征的不穩定性，識別出的位移及載荷值會產生明顯的虛假低頻漂移現象。究其原因是因為加速度信號對于輸入載荷的準靜態分量不夠靈敏。研究表明在部分加速度響應信號的基礎上融合個別位移響應信號作為測量信號來聯合識別結構的未知外載荷/狀態/參數能夠極大地緩解虛假低頻漂移問題，原因是加速度信號和位移信號中分別包含了高、低頻振動特性。然而，位移傳感器一般來說體積較大，安裝測量時容易造成結構系統的動態特性改變，影響實際測量結果，而且價格也相對較貴。考慮到應變計體積小巧，易于安裝，價格便宜，測量響應還包含位移信息，本文將同時應用應變響應和加速度響應來識別未知載荷和結構參數。

應變和位移的數學關系[17]可以表示成

ε=Hεp=HεΦq

(54)

式中，Hε為應變-位移傳遞矩陣。將式(54)應用于EGDF算法中，則觀測方程式(10)變換成

(55)

式中，vεk為應變觀測噪聲向量，并假設均值為零，方差為Rεk。那么，式(55)中的載荷影響矩陣Dk變換為

(56)

式中，下標s、udof分別為測量應變以及未知載荷的數量?？紤]到應變測量與加速度測量響應的數據融合，式(47)變換為

(57)

綜上所述，本文提出的改進算法仍然包括三步：載荷識別步、測量更新步、時間更新步，如2.2節所示。不同的是載荷影響矩陣Dk如式(56)所示。式(47)變換為式(57)。為了滿足工程中實時識別的要求，可以僅選取結構的前r階主導模態參與計算即可達到工程精度，而其余的n-r階非主導模態可以不考慮。

4 數值算例

u1=40 sin(10πt)+30 sin(20πt)

(58)

而載荷u2采用隨機激勵形式。圖1中的黑方格代表加速度傳感器布置的位置。

(a)平面桁架結構

本例中6個桿單元5、7、10、14、15和17的剛度值是不確定的需要與外載荷進行聯合識別，假設其初始值分別為759.5 N/m、633.0 N/m、1 342.5 N/m、1 163.5 N/m、759.5 N/m、633.0 N/m。通常而言，模態縮減法在滿足工程精度的同時，能夠有效地減小整個計算量有利于整個計算量。本算例采用前7階主導模態來進行結構的載荷/狀態/參數識別。選取7個加速度測量信號以及2個應變來參與識別計算，分別為節點2、3、5、7、8、10的豎直加速度響應信號、節點9的水平加速度響應信號以及單元6、17的豎直應變響應。5%的環境噪聲加在了所有測量響應中。兩個外載荷的識別結果分別如圖2、圖3所示。從圖可知，載荷識別值曲線與真實值接近。所有節點的狀態值(位移及速度響應)也被識別出。節點6的豎直位移及速度的理論值與識別值對比圖，如圖4所示。從圖4可知，位移、速度識別值的結果很好，相對誤差較小，沒有出現僅采用加速度測量響應來識別時導致載荷和位移出現的虛假低頻漂移現象。另外，GDF-UT(含應變測量)、GDF-UT(不含應變測量)如表1所示。EGDF(含應變測量)3種方法的相對誤差值(relative error, RE)，其計算方法為

圖2 載荷u1的準確值和估計值

(a)載荷u2的準確值和估計值

(a)節點6豎直位移的理論值及識別值

(59)

式中：s為識別的物理量，如載荷、位移、參數等。從表1可知：① 不含應變的GDF-UT法產生低頻漂移現象，載荷和位移識別值的誤差值很大；② 含應變測量的GDF-UT法避免了低頻漂移現象，識別精度高；③ 相對于EGDF法，GDF-UT法的精度較高。

表1 3種方法的識別相對誤差

5 結 論

本文針對非線性識別系統，引入UT方法處理識別系統中的非線性傳遞問題，提出了傳統GDF法的改進形式，即GDF-UT算法，能夠很好地進行增廣狀態/未知載荷的聯合識別，從而得到結構未知外載荷以及不確定性結構參數。核心創新點是融入的UT變換對 于非線性系統具有至少2階識別精度的優勢，為后續強非線性結構系統的載荷/參數聯合識別打下堅實的基礎。