能量等效大跨屋蓋結構三分量多目標等效靜力風荷載

李玉學，馮勵睿，李海云，田玉基

(1.石家莊鐵道大學 土木工程學院，石家莊 050043；2.河北省風工程與風能利用工程技術創新中心，石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學 道路與鐵道工程安全保障省部共建教育部重點實驗室，石家莊 050043；4.北京交通大學 結構風工程與城市風環境北京市重點實驗室，北京 100044)

等效靜力風荷載是聯系風工程師和結構工程師的橋梁和紐帶，其實質是將結構的脈動風致動力效應轉化為靜力問題進行分析，此概念由Davenport[1]提出以來便得到了廣泛關注，經過不少學者的完善和發展，目前針對高層、高聳結構的等效靜力風荷載分析方法已經逐步成熟，包括陣風荷載因子法[2-3]、慣性力法[4-5]以及荷載響應相關法[6-7]等，上述分析方法在不同國家建筑結構荷載規范中也多有體現[8-12]。

與高層、高聳結構相比，大跨屋蓋結構節點數目眾多、自振頻率分布密集，其風振響應具有多模態參與的特點，脈動風荷載作用下不同位置的節點不能在同一時刻達到極值，使得該類結構需要針對多個響應控制目標分別求解其等效靜力風荷載，所得多組等效靜力風荷載給結構工程師使用帶來諸多不便，為解決這一問題，需要研究能夠兼顧多個響應控制目標的等效靜力風荷載分析法，即求解多目標等效靜力風荷載，對此國內外許多學者進行了探索。段旻等[13]提出了包絡多目標等效靜力風荷載的概念，即針對多個關鍵目標響應求解得到的多組等效靜力風荷載，采用對其取包絡線的處理方法得到包絡多目標等效靜力風荷載。Tamura等[14]則針對多個關鍵目標響應求解得到的多組等效靜力風荷載，對其取平均值作為多目標等效靜力風荷載。Zhou等[15]根據各等效靜力風荷載在其他響應上的等效精度對其分組，基于分組結果，采用數值方法求解對應的一致等效靜力風荷載，以實現用較少的靜風荷載分布等效多個目標響應。Patruno等[16]和Katsumura等[17]分別將多組脈動風荷載本征表皮模態和本征正交模態作為等效靜力風荷載的基本分布模式，并采用最小二乘法計算其最優組合系數，以得到多目標等效靜力風荷載。Yang等[18]針對大跨屋蓋結構脈動風振背景響應和共振響應，分別以多組脈動風荷載本征正交模態和主要參振模態的慣性力作為基本分量，構造并數值求解多目標等效靜力風荷載方程。李玉學等[19]根據結構風振響應特性，分別推導了構造多目標等效靜力風荷載方程的背景、共振及其二者耦合項分量，由最小二乘法求解得到了具有統計意義的多目標等效靜力風荷載?？梢姡壳按罂缥萆w結構多目標等效靜力風荷載求解，多數基于多個關鍵目標響應所得多組等效靜力風荷載或其它荷載分布模式，采用數值處理方法得到統計意義上能夠最大程度兼顧多個響應目標的等效靜力風荷載，其優點是思路簡單、處理方便，缺點是此數值處理方法缺乏明確的物理意義，僅為了實現多個響應目標數值等效，且有時所得多目標等效靜力風荷載會出現局部突變，無法與結構自重等進行荷載組合。

大跨屋蓋結構風致振動可以看作脈動風荷載對結構的做功過程，結構能量的改變綜合反映了其風致動力效應，同時與能夠較好反映風荷載作用機理的脈動風振背景響應、共振響應及其二者耦合項(簡稱三分量)相對應，基于能量等效，從保證結構安全角度，分別研究大跨屋蓋結構三分量多目標等效靜力風荷載，不僅能夠較好地兼顧多個目標響應，而且相比于現有數值處理方法，物理意義更明確。因此，本文將分別推導基于能量等效的大跨屋蓋結構三分量多目標等效靜力風荷載，在此基礎上，定義各分量能量貢獻系數，據此系數對結構進行三分量響應層次劃分，根據劃分結果，實現大跨屋蓋結構多目標等效靜力風荷載的分層組合計算。

1 風振響應背景、共振及其耦合項三分量

大跨屋蓋結構在脈動風荷載作用下的運動方程為

(1)

選取風振響應貢獻較大的m階主要參振模態[20]，由模態疊加原理可得結構位移響應

Xd(t)=K-1LPd(t)+[ΦQ(t)-ΦH0ΦTLPd(t)]

(2)

根據脈動風振背景、共振響應的概念[21]，式(2)右邊第一項為背景響應Xd,b(t)，表示脈動風荷載的準靜力效應，中括號項為共振響應Xd,r(t)。

根據隨機振動理論，由式(2)可得結構某一節點k上總位移響應方差

(3)

式(3)為結構脈動風振響應三分量完全組合結果，即背景、共振及其二者耦合項組合。

2 能量等效三分量多目標等效靜力風荷載

與式(3)表示的脈動風振響應三分量完全組合相對應，結構第k節點上多目標等效靜力風荷載也應由背景分量Feq,b,k、共振分量Feq,r,k及其耦合項分量Feq,br,k組成。本章將基于能量等效對此三分量多目標等效靜力風荷載分別推導。

2.1 背景分量多目標等效靜力風荷載

根據式(2)，脈動風荷載作用下結構瞬時能量背景分量可以表示為

(4)

式中,∑diag[·]為矩陣的對角線元素求和。

定義由風洞試驗測壓點轉換到結構第k、第l節點上的脈動風荷載分別為pk(t)和pl(t)，即荷載向量LPd(t)中元素，則式(4)可以進一步表示為

(5)

式中:fkl為結構柔度矩陣K-1T相應位置的元素；n為結構節點總數。

根據方差定義，由式(5)可得結構瞬時能量背景分量方差

(6)

式中:pkl(t)為結構第k、第l節點上脈動風荷載pk(t)、pl(t)相應元素的乘積；prs(t)為結構第r、第s節點上脈動風荷載pr(t)、ps(t)相應元素的乘積。

根據協方差定義，由式(5)可得結構瞬時能量背景分量Wb(t)和脈動風荷載乘積pkl(t)的協方差

(7)

由式(6)和式(7)，可以將結構瞬時能量背景分量Wb(t)的均方根表示為

(8)

式中,ρPkl(t),Wb(t)為脈動風荷載乘積pkl(t)與結構瞬時能量背景分量Wb(t)的相關系數。

由式(8)可得結構能量背景分量極值

(9)

式中,gWb為由極值超越理論計算得到的結構能量背景分量峰值因子。

根據式(5)結構能量背景分量定義，由式(9)可以得到保證結構能量背景分量等效的結構第k節點上多目標等效靜力風荷載為

(10)

2.2 共振分量多目標等效靜力風荷載

(11)

式中:qr,j(t)為結構第j階廣義模態坐標的共振分量；Xd,r,j(t)和Pd,r,j(t)分別為結構第j階模態位移響應共振分量及其對應的恢復力列向量。

定義Pd,r,j(t)在結構第k、第l節點上對應元素分別為pr,j,k(t)和pr,j,l(t)，則式(11)進一步表示為

(12)

為表示方便，令

(13)

按照2.1節背景分量多目標等效靜力風荷載推導過程，參照式(5)～式(10)可以得到保證結構第j階模態能量共振分量等效的結構第k節點上多目標等效靜力風荷載為

(14)

式中：gWr,j為由極值超越理論計算得到的結構第j階模態能量共振分量峰值因子；ρPr,j,kk(t),Wr,j(t)為Pr,j,kk(t)和Wr,j(t)的相關系數，其中Pr,j,kk(t)為第j階模態位移響應共振分量對應的恢復力列向量在結構第k節點上相應元素的自乘積；σPr,j,kk(t)為Pr,j,kk(t)的均方根。

考慮m階主要參振模態，組合得到結構能量共振分量等效的結構第k節點上多目標等效靜力風荷載

(15)

式中，λr,j為第j階模態能量共振分量多目標等效靜力風荷載的權重系數，表達式為

(16)

(17)

式中,Pr,j,kl(t)為第j階模態位移響應共振分量對應的恢復力列向量在結構第k、第l節點上相應元素的乘積。

2.3 背景、共振耦合項分量多目標等效靜力風荷載

(18)

式中:qbr,j(t)為結構第j階廣義模態坐標的背景、共振耦合項分量；Xd,br,j(t)和Pd,br,j(t)分別為結構第j階模態位移響應背景、共振耦合項分量及其對應的恢復力列向量。

定義Pd,br,j(t)在結構第k、第l節點上對應元素分別為pbr,j,k(t)和pbr,j,l(t)，則式(18)進一步表示為

(19)

為表示方便，令

(20)

同樣，按照2.1節背景分量多目標等效靜力風荷載推導過程，參照式(5)～式(10)及式(15)可以得到保證結構能量背景、共振耦合項分量等效的結構第k節點上多目標等效靜力風荷載

(21)

式中,Feq,br,j,k和λbr,j分別為保證結構第j階模態能量背景、共振耦合項分量等效的結構第k節點上多目標等效靜力風荷載及其相應的權重系數，表達式分別為式(22)和式(23)。

(22)

式中:gWbr,j為由極值超越理論計算得到的結構第j階模態能量背景、共振耦合項分量峰值因子；ρPbr,j,kk(t),Wbr,j(t)為Pbr,j,kk(t)和Wbr,j(t)的相關系數，其中Pbr,j,kk(t)為第j階模態位移響應背景、共振耦合項分量對應的恢復力列向量在結構第k節點上相應元素的自乘積；σPbr,j,kk(t)為Pbr,j,kk(t)的均方根。

(23)

(24)

式中,Pbr,j,kl(t)為第j階模態位移響應背景、共振耦合項分量對應的恢復力列向量在結構第k、第l節點上相應元素的乘積。

2.4 三分量多目標等效靜力風荷載

至此，綜合考慮平均風荷載以及由式(10)、式(15)和式(21)所得能量等效三分量多目標等效靜力風荷載，結構總等效靜力風荷載可以表示為

βbrFeq,br,k)

(25)

(26)

工程實際中，若能根據背景、共振及其二者耦合項三分量對總響應的貢獻程度，對式(25)所示多目標等效靜力風荷載進行分層次求解，便可有效兼顧多目標等效靜力風荷載的計算效率和計算精度。

3 三分量多目標等效靜力風荷載分層計算

3.1 三分量響應層次劃分指標

本節將根據背景、共振及其二者耦合項三分量對總響應的貢獻程度，對結構三分量響應進行層次劃分，由于脈動風荷載作用下結構能量能夠綜合反映結構所有節點的響應，因此選取并定義三分量能量貢獻系數ηi作為結構三分量響應層次劃分指標，統一表示為

(27)

式中,符號含義同式(26)。

由式(27)計算所得各分量能量貢獻系數ηi值，并根據工程經驗綜合考慮工程精度要求確定相應的誤差限值εi，將結構三分量響應劃分為I～VI層次，如表1所示。

3.2 等效靜力風荷載分層計算

根據表1結構三分量響應層次劃分結果，由第2章所得三分量多目標等效靜力風荷載，可以給出大跨屋蓋結構多目標等效靜力風荷載分層計算方法。

對于I層次弱耦合柔性結構，需要計及共振分量，可以忽略背景分量及其背景、共振耦合項分量，據此由式(25)可得此層次結構總等效靜力風荷載

(28)

式中,組合系數βr需要根據取舍以后的三分量由式(26)計算得到。

對于II～VI層次結構，同樣根據表1描述結果，將式(25)中相應的等效靜力風荷載分量進行取舍，便可得到其總等效靜力風荷載組合結果，具體如表2所示。

表1 大跨屋蓋結構三分量響應層次劃分表

表2 三分量多目標等效靜力風荷載分層計算表

4 本文所提方法的主要分析步驟

本文所提基于能量等效三分量組合大跨屋蓋結構多目標等效靜力風荷載分層分析方法，主要步驟包括：

步驟1進行大跨屋蓋結構風荷載同步測壓風洞試驗，得到屋蓋表面平均和脈動風荷載數據，同時借助有限元軟件進行結構動力特性分析，得到各階模態分布、自振頻率等動力特性信息。

步驟2利用步驟1所得屋蓋表面風荷載數據和結構動力特性信息，進行結構脈動風振響應計算，根據風振響應計算結果由式(27)分別得到各分量能量貢獻系數ηi，同時根據工程經驗綜合考慮工程精度要求確定相應的誤差限值εi，由此誤差限及表1綜合判定結構三分量響應層次。

步驟3根據步驟2確定的結構三分量響應層次，合理取舍其三分量，相應的分別選擇式(10)、式(15)和式(21)計算需要計及的等效靜力風荷載分量，在此基礎上，按照表2組合得到結構總等效靜力風荷載。

5 算例分析

根據本文所提能量等效大跨屋蓋結構三分量多目標等效靜力風荷載分層分析方法，以北京奧林匹克公園網球中心賽場屋蓋結構為例，對其三分量響應層次進行劃分，根據劃分結果組合計算結構總等效靜力風荷載及其該總等效靜力風荷載作用下結構靜力響應，并與基于隨機振動理論的頻域分析所得目標響應進行對比，以驗證方法的有效性。

5.1 工程概況

北京奧林匹克公園網球中心賽場屋蓋結構新穎，整體形如“蓮花”造型，由12個“Z”字形單元圍繞圓心對稱布置而成，如圖1所示?！癦”字形單元懸挑長度21.6 m，最高點標高23.0 m，水平傾角約3°，以方便屋頂排水。此屋蓋屬于重要且體型復雜的結構，對風荷載敏感，需要借助同步測壓風洞試驗獲取結構表面風荷載數據以進行風效應分析。

圖1 北京奧林匹克公園網球中心賽場屋蓋

5.2 風荷載測壓試驗及自振特性分析

屋蓋結構模型風荷載同步測壓試驗在北京大學力學與工程科學系低速風洞中進行，采用有機玻璃和ABS板按照1∶120制作了屋蓋結構縮尺模型，并保證滿足風洞測壓試驗所需的模型強度和剛度要求?？紤]到結構對稱性，僅在模型第3和第4單元的上、下表面對應布置風荷載測點，測點總數156個，每個測點采樣數據3 900個，采樣頻率400 Hz，風場按照B類粗糙度設置，測試時在0°～360°內間隔7.5°轉動模型一次并采集數據，其中屋蓋模型、風向角定義、單元編號及測點布置如圖2所示。

圖2 屋蓋模型、風向角定義、單元編號及測壓點布置

利用有限元軟件建立屋蓋結構計算模型，進行自振特性分析，計算并提取了前100階模態的模態分布向量和自振頻率，圖3所示為前100階自振頻率分布，可見該屋蓋屬于典型的頻率分布密集型結構，風致動力效應分析需要考慮多階參振模態。

圖3 前100階模態自振頻率分布

5.3 結構三分量響應層次劃分及等效靜力風荷載組合

由5.2節結構自振特性分析可知，該屋蓋風致動力效應分析需要計及多階參振模態，因此，按照李玉學等所述方法，從前100階模態中共選定了17階主要參振模態，分別為第1、第2、第4、第3、第6階等。

利用5.2節所述屋蓋模型同步測壓風洞試驗所得0°風向角下結構表面風荷載數據，按照本文所提方法，由所選定的17階主要參振模態，計算了屋蓋結構背景、共振及其二者耦合項三分量能量貢獻系數ηb、ηr和ηbr，分別為0.433、0.521和0.046，誤差限εb、εr和εbr統一取0.05，根據表1將該屋蓋三分量響應劃分為第V層次，即結構三分量等效靜力風荷載組合時可以舍去背景、共振二者耦合項分量。

按照上述該屋蓋三分量響應第V層次劃分結果，分別由式(10)和式(15)計算了其背景、共振分量多目標等效靜力風荷載，并依據表2組合得到結構總等效靜力風荷載，將其表示為無量綱的風壓系數形式，如圖4所示。

由圖4可知，本文方法所得總等效靜力風荷載風壓系數在屋蓋結構絕大部分區域數值為負，表現為風吸力。在來流方向上第1、第7號單元，其負風壓系數絕對值較兩側單元要大，比如7號單元的懸挑端迎風前緣負風壓系數絕對值達到1.5，且對同一單元來說，懸挑端負風壓系數絕對值較其它區域要大。

圖4 本文方法所得總等效靜力風荷載風壓系數

5.4 結構靜力響應計算結果分析

根據屋蓋結構總等效靜力風荷載風壓系數求解結果(見圖4)，計算了該總等效靜力風荷載作用下的結構靜力響應，并與基于隨機振動理論的頻域計算結果(目標響應)進行比較，其中典型節點位置及編號如圖5所示。選取屋蓋內環各個單元懸挑端(此處負風壓系數絕對值較大，為風敏感位置)共48個典型節點對比結果如圖6所示。

圖5 典型節點位置及編號

圖6 總等效靜力風荷載作用下靜力響應與目標響應對比

由圖6可知，根據本文方法所得總等效靜力風荷載作用下屋蓋結構靜力響應，與基于隨機振動理論的頻域計算所得目標響應總體吻合較好，誤差稍大的幾個節點(如15號、38號)其響應數值相對較小，對結構整體抗風設計不起控制作用，據此可以認為本文所得總等效靜力風荷載能夠滿足實際工程需要。

6 結 論

本文針對大跨屋蓋結構等效靜力風荷載求解中的多響應目標問題，同時兼顧計算效率和計算精度，提出基于能量等效的三分量多目標等效靜力風荷載分層分析方法，主要結論有：

(1)基于能量等效推導的大跨屋蓋結構三分量等效靜力風荷載，不僅能夠較好地反映風荷載作用機理，與脈動風振背景響應、共振響應及其二者耦合項完全對應，而且能夠綜合考慮結構全部節點的響應，有效實現了兼顧多個響應目標。

(2)根據三分量響應對總響應能量的貢獻程度，定義三分量能量貢獻系數，據此實現了大跨屋蓋結構三分量響應層次劃分，根據劃分結果，合理對相應三分量等效靜力風荷載進行取舍，從而有效兼顧了總等效靜力風荷載的計算效率和計算精度。

(3)以北京奧林匹克公園網球中心賽場屋蓋結構為算例，采用本文所提方法，對其三分量響應層次劃分，并根據劃分結果進行結構總等效靜力風荷載組合計算，通過比較所得總等效靜力風荷載作用下結構靜力響應與頻域分析所得目標響應，說明所提方法能夠滿足工程應用要求。