一種帶寬優化選取的ATF方法及其在齒輪故障診斷中的應用

陳向民，黎 琦，張 亢，段 萌，牛曉瑞，李錄平

(長沙理工大學 能源與動力工程學院，長沙 410015)

齒輪作為旋轉機械中廣泛應用的零部件，主要起到傳遞扭矩、改變速度、更改方向等作用。在工程實際應用中，齒輪常處于長時間重負載的工況下，極易產生磨損、疲勞剝落、齒面膠合甚至斷裂等故障，從而影響設備的安全可靠運行。目前，在齒輪的故障診斷方法中，以基于振動信號分析的診斷方法較為常用。該方法通過采集齒輪的振動信號，利用一定的信號處理方法，分析其特征能量分布與頻率成分，進而診斷齒輪故障與否。

目前常用的振動信號分析方法有頻譜分析、小波分析[1-2]、EMD/EEMD(empirical mode decomposition/emsemble EMD)[3-4]、LMD(local mean decomposition)[5-6]、VMD(variational mode decomposition)[7-8]等，這些方法對于穩態或準穩態下的齒輪故障檢測具有較好的分析效果，但在非穩態工況下也存在一定的局限性，例如旋轉設備的啟停機、風力發電機等，上述設備的工況變化會引起其轉速出現較大的改變，從而使得所測得的信號頻譜呈現一定的“頻率模糊”現象[9-10]。

針對變轉速齒輪振動信號的分析，目前以階次分析較常用[11-12]，其本質是將非穩態的時域信號轉化為穩態的角度域信號，去除了轉速變化對信號產生的“頻率模糊”影響，因而得到了廣泛的應用。在階次分析方法中，基于瞬時頻率的階次分析方法在近些年得到了較多的研究與應用。文獻[13]采用了線調頻小波路徑追蹤(chirplet path pursuit，CPP)算法進行瞬時頻率估計，進而進行階次分析，該方法可在無轉速信號的情況下，亦可根據估計出來的嚙合頻率對信號進行角度域重采樣，從而實現了故障特征的準確提取。文獻[14]提出了基于CPP的時變濾波方法，解決了變轉速下多級傳動與多個齒輪箱振動信號耦合下的齒輪故障特征提取問題，但由于濾波器的非線性相位特性，導致濾波后的信號存在一定的相移。針對相移問題，文獻[15]提出了基于零相位濾波的自適應時變濾波(adaptive time-varying filtering，ATF)方法，該方法對轉速變化下的齒輪故障特征提取具有較好的分析效果。

研究表明，在ATF方法的濾波過程中，濾波帶寬將直接影響濾波效果的優劣。目前，濾波帶寬的選取需依據經驗人為選取，具有較大的主觀性，且針對不同的信號需要選取的濾波帶寬也不同。因此，針對ATF方法中濾波帶寬的優化選取問題，提出將邊頻帶階次能量與齒輪嚙合階次能量的比值作為指標，用于衡量濾波效果的優劣，再利用該比值選取最合適的帶寬將故障信號過濾出，以達到自適應選取帶寬的目的。利用本文方法對變轉速下的齒輪局部故障信號進行了仿真和試驗分析，結果表明，該方法能夠根據不同的調制信號自適應地選取合適的濾波帶寬，具有較好的信號分析自適應性。

1 ATF方法

ATF方法是一種基于數據驅動的非平穩信號分析方法，它可根據信號的自身變化特點，自適應地改變中心頻率和帶寬，具有較好的信號分析自適應性，且非常適合于頻率變化下的非平穩調頻調幅信號分析。ATF方法主要包括兩個方面：① 信號的瞬時頻率估計；② 濾波器類型選取及其參數設置。已有文獻表明：CPP算法不僅具有較高的瞬時頻率估計精度，而且具有較好的抗噪性能。因此，本文沿用CPP算法進行瞬時頻率估計，其具體計算原理與步驟詳見文獻[16]。

1.1 ATF

ATF是依據經典濾波器設計改進而來，其基本原理是在每一時刻均設計一個經典濾波器(主要包括濾波中心頻率和濾波帶寬)。與傳統濾波器不同的是：在不同時刻，自適應時變濾波器的中心頻率和濾波帶寬均隨時間發生變化，如圖1所示。圖中的灰色部分表示通帶，黑色部分為阻帶，中間黑色線條表示中心頻率。

ATF中的濾波器設計主要包含濾波器類型和濾波器參數的選取。對于信號的濾波，一般要求濾波器具有盡可能陡的過渡帶，以有效濾除截止頻率以外的頻率成分，而chebyshev Ⅱ型濾波器具有較為陡峭的過渡帶，且在阻帶內具有等波紋特性，比較滿足非平穩調制信號的濾波要求。因此，本文以chebyshev濾波器為原型濾波器，并選用其Ⅱ型濾波器來設計時變濾波器。除幅頻特性外，濾波器的另一個重要的方面就是相頻特性，為使信號不失真地通過濾波器，則要求濾波器在通帶內具有較好的線性相位，而chebyshev濾波器的低階濾波器接近于線性相位，因此，本文中選取濾波器的階數為4，阻帶波紋為20 dB。

ATF的主要設計步驟如下：

步驟1對于非平穩調幅調頻信號s(t)，假設其載波頻率為fz(t)，調制頻率為fr(t)，t={t0，t1，…，tN-1}，N為信號長度。

步驟2對于任一時刻t=ti(0≤i≤N-1)的時變濾波器設計為：以fz(ti)為中心頻率，fr(ti)的n倍頻為半帶寬，以chebyshevⅡ型濾波器為原型濾波器，選用MATLAB中自帶函數cheby2.m來設計時變濾波器H(ti,f)。

(1)

步驟4對于所有時刻t={t0，t1，…，tN-1}的濾波，重復步驟2～步驟3，即可得到所有時刻的濾波信號點s′(ti)，ti=0,1,…,N-1。將所有時刻信號點按時間順序排列即可得到自適應時變濾波后的信號s′(t)={s′(t0),s′(t1),…,s′(tN-1)}。

1.2 能量階次比K

對于濾波器設計來說，濾波帶寬的選取對濾波結果具有較大影響：濾波帶寬過寬，容易使噪聲信號混入，降低信噪比；濾波帶寬過窄，又可能削弱有用信號，增大濾波誤差，因此，合理的濾波帶寬選取對提高濾取信號的信噪比，減少濾波誤差具有重要意義。在1.1節步驟2中涉及了濾波帶寬的選取，傳統時變濾波器的濾波帶寬是根據人為經驗來設置濾波帶寬，具有較大的主觀性。因此，如何降低濾波帶寬的人為主觀性，并根據信號的自身特點自適應地選取濾波帶寬是本文的主要研究目標。

齒輪出現局部故障時，其嚙合頻率周圍會產生調制邊頻帶，邊頻帶的能量大小可在一定程度上反應故障的嚴重程度。而不同的調制頻率需設置不同的濾波帶寬。因此，可依據嚙合頻率能量與其調制邊頻帶的能量比值來設置濾波帶寬。由于變轉速下的齒輪故障信號為非平穩調幅調頻信號，要計算其嚙合頻率及其調制邊頻帶的能量需將各個分量準確提取，計算量較大且比較難以精確提取，因此，本文提出以齒輪故障信號的階次譜中嚙合頻率所在階次與其相鄰階次(即邊頻階次)的能量比作為濾波帶寬選取的依據，階次能量比K的計算公式見式(2)。

(2)

式中:N為齒輪齒數；EN為齒輪嚙合階次所對應的能量；Ei為階次i所對應的能量；j為最大調制階次，即計算能量時的分析階次為1倍～j倍轉頻調制階次，本文中j取3。

1.3 最優帶寬的確定

由式(2)可知，K值反映了邊頻帶與嚙合頻率的能量比大小。若K值越大，則表明邊頻帶與嚙合頻率的能量比值大，邊頻帶也越突出。但對于某一確定的調制信號而言，當濾波器的帶寬很窄時，濾波器會將處于通帶中心的嚙合頻率保留，而將未處于通帶內的邊頻帶去除，此時邊頻能量接近于0，故K值接近于0；但隨著濾波帶寬的逐漸增加，當通帶能將邊頻帶保留時，K值會瞬間增大，因此，K值會在邊頻帶所對應的半帶寬之后產生一個明顯漲幅，隨后K值會趨于平穩，如圖2所示。同時，考慮噪聲及其濾波器通帶和阻帶內的波紋等影響，實際分析中的K值曲線會出現一定程度的波動。

為有效濾取邊頻帶信號，濾波器的帶寬需滿足兩點要求：① 邊頻帶信號需處于濾波通帶內；② 濾波帶寬不宜過寬。因此，可選取K值明顯漲幅后、剛至平穩處的交界點所對應的半帶寬作為最佳半帶寬(見圖2中BPopt所對應的半帶寬)，此時的帶寬能在有效保留邊頻帶信號的前提下而不降低信噪比。

圖2 最優帶寬選取示意圖

為自適應選取最優帶寬，即BPopt所對應的半帶寬，對于實際信號的分析，其具體實現步驟如下：

2 最優帶寬下的齒輪故障診斷步驟

齒輪嚙合頻率及其邊頻帶攜帶了齒輪故障的重要信息，該信息可在一定程度上反映齒輪的故障類別及其故障程度，因此，對其進行精確提取可為齒輪故障的準確識別提供重要支撐。ATF方法是一種自適應非平穩信號分解方法，可有效提取轉速變化下的齒輪故障信號。但傳統的ATF方法需根據先驗知識來設置濾波帶寬，具有人為主觀性。因此，針對ATF方法中的自適應帶寬選取問題，本文以邊頻帶階次與齒輪嚙合階次的能量比為指標，提出了一種基于帶寬優化選取的ATF方法，并將其應用于轉速變化下的齒輪故障信號分析中。該方法的基本步驟如下：

步驟1假定傳感器拾取的變轉速下的齒輪故障振動信號為s(t)，t={t0，t1，…，tN-1}，N為信號長度；齒輪齒數為T。

步驟2采用CPP法對信號s(t)進行頻率估計，獲取齒輪的嚙合頻率fz(t)；用齒輪嚙合頻率fz(t)除以齒數T便可得到其轉頻fr(t)，即fr(t)=fz(t)/T。

步驟3選擇原型濾波器，初始化最大調制階次j(如式(2)所示)，并設置濾波器半帶寬的變化步長。本文中選取chebyshevⅡ濾波器作為原型濾波器；設定最大調制階次設置為3，即所需分析的調制階次為1倍～3倍轉頻階次；濾波器半帶寬的變化步長為0.1，即步長為0.1倍轉頻。

步驟4根據步驟3中的參數，以及估計出的嚙合頻率fz(t)、轉頻fr(t)設計自適應時變濾波器H(t,f)，并用時變濾波器H(t,f)對齒輪故障振動信號s(t)進行濾波，便可得到降噪后的包含齒輪故障特征的濾波信號s′(t)。

步驟5利用轉頻fr(t)對濾波信號s′(t)進行等角度重采樣，得到其角域信號s(ω)。

步驟6對角域信號s(ω)進行傅里葉變換，得到其階次譜，并根據階次譜計算階次能量比K值。

步驟7改變濾波半帶寬(即改變濾波步長)，重復步驟4～步驟6，即可得到濾波半帶寬與階次能量比K之間的變化關系。

步驟8選取最佳K值(即Kopt)所對應的半帶寬作為最優半帶寬(即BPopt)來設計時變濾波器，并對信號s(t)進行分析；同時根據最優帶寬下階次譜中的調制邊頻帶來診斷變轉速下的齒輪故障。

本文方法流程如圖3所示。

圖3 本文方法流程

3 算法仿真

當齒輪發生故障時，齒輪的嚙合頻率會被轉頻或倍頻所調制。因此，為了檢驗本文方法的有效性，且限于篇幅，以單一倍頻調制信號(分別為：1倍轉頻調制信號、2倍轉頻調制信號、3倍轉頻調制信號)為例進行分析，設置的原始信號s0(t)如式(3)所示，模擬齒數為29，并且在原始信號s0(t)中加入-7 dB高斯白噪聲n(t)，得到合成信號s1(t)。

(3)

式中，m分別取1、2、3。

1倍、2倍和3倍轉頻調制時合成信號的時域波形圖,如圖4所示。從圖4可知，合成信號s1(t)基本被噪聲所淹沒，無明顯的周期性時域特征。

(a)1倍轉頻調制

采用本文方法對合成信號s1(t)進行分析，其中濾波半帶寬以0.1倍轉頻為分析步長，半帶寬范圍從0.3倍～10.0倍轉頻，可得到濾波效果指數——階次能量比K關于半帶寬的變化曲線；同時，采用均方誤差(濾波后的信號與原始信號的均方差值，MSE(main squared error))作為指標以檢驗濾波效果，可得到MSE關于半帶寬的關系曲線。調制頻率分別為1倍、2倍、3倍轉頻時，濾波效果指數K和MSE關于濾波半帶寬的變化曲線，如圖5所示。

通過圖5可知，當半帶寬接近最優半帶寬時，K值將出現峰值拐點，此時，所對應的MSE值也最小，因而，此處K值(即豎虛線BPopt所在位置)所對應半帶寬即可作為最優半帶寬。

關于階次能量比K和MSE隨著半帶寬的變化趨勢，需要說明的有：① 半帶寬小于且遠離調制頻率時，此時，由于濾波器未能有效將調制信號提取出來，因而，K值變化平穩且值較小，而MSE值較大；② 半帶寬小于且逐漸接近調制頻率時，此時，所對應的調制信號會逐漸被濾波器所保留下來，故濾波后的邊頻能量會增加，從而導致階次能量比K增大，而所對應的MSE值減小；③ 半帶寬大于調制頻率時，由于噪聲以及濾波器通帶和阻帶內的波紋等影響，因而其K值會出現一定程度的波動；而隨著帶寬的增加，保留的噪聲成分會逐漸增加，因而，MSE值會呈現上升的趨勢。

由圖5可知，調制頻率分別為1倍、2倍、3倍轉頻時，自適應選取的半帶寬分別為2.6倍、3.7倍、5.1倍轉頻。若采用經驗帶寬，以1倍、3倍、5倍、7倍轉頻為半帶寬與自適應選取帶寬進行比較，計算后其結果與原信號的MSE分別為如表1所示。

(a)1倍轉頻調制

表1 經驗帶寬與自適應選取帶寬濾波的MSE值

由表1可知，在1倍頻調制情況下，自適應選取濾波半帶寬雖然比3倍轉頻的濾波半帶寬的均方差值略大，但兩者之間的帶寬較為接近；而在2倍、3倍轉頻調制情況下，其MSE值均低于經驗帶寬，表明該方法能夠根據不同的調制倍頻自適應選取帶寬以達到最優濾波的效果。

調制頻率為1倍、2倍和3倍轉頻調制、自適應選取半帶寬為2.6倍、3.7倍、5.1倍時的階次譜圖,如圖6所示。從圖6可知，采用自適應選取的帶寬進行分析，其階次譜中整體噪聲水平較低，齒輪嚙合階次及其邊頻階次幅值突出，易于識別。

圖6 不同調制頻率及其優選半帶寬下的階次譜

為增加對比，采用EEMD方法對合成信號進行分析，并選取包含故障信息的IMF1進行階次譜分析，1倍、2倍和3倍轉頻調制時的階次譜，如圖7所示。對比圖6可知，經EEMD方法分析的階次譜中，其齒輪嚙合階次與邊頻階次幅值較低，整體噪聲水平相對較大，且部分邊頻帶不易識別。

(a)1倍轉頻調制

4 應用實例

為檢驗本文方法在實測齒輪故障信號分析中的有效性，在齒輪箱上進行試驗，采用LMS(Leuven measurement & system)數據采集儀同步采集振動加速度信號和主動軸轉速信號。試驗的齒輪為正齒輪，主動軸齒輪與從動軸齒輪均為37，斷齒故障設置在主動軸齒輪上。采樣頻率為4 096 Hz，采樣時長為0.5 s。

變轉速下拾取的齒輪斷齒故障振動信號的時域波形圖，如圖8所示。從圖8可知，信號中存在一定的沖擊成分，但沖擊成分之間的幅值差距較大，且無明顯規律性，因而無法有效識別故障。

圖8 齒輪斷齒故障振動信號

利用CPP算法所估計出的齒輪嚙合頻率，如圖9中的實線所示，虛線為根據轉速傳感器計算得到的實際齒輪嚙合頻率，圖9中兩曲線基本接近。

圖9 實測信號下估計的嚙合頻率與實際嚙合頻率對比

根據估計的嚙合頻率曲線，采用本文方法對圖8所示信號進行分析，階次能量比K與半帶寬的變化關系如圖10所示。依據自適應帶寬優化選取原則，計算可得最優半帶寬約為4.2倍轉頻。

圖10 實測信號下的階次能量比

根據已獲取的最優半帶寬對齒輪故障振動信號進行自適應時變濾波分析，然后再進行階次分析，得到的階次譜如圖11所示。從圖11可知，在階次36.93處出現明顯峰值，與齒輪齒數37所對應；在邊頻階次35.91、38.01處也存在較為明顯的峰值，故通過該階次譜可判斷齒輪存在一定的局部故障。

圖11 實測信號下自適應選取帶寬的階次譜

同時，為對比經驗帶寬下的分析效果，分別采用1倍、5倍、7倍轉頻為半帶寬對信號進行自適應時變濾波分析。若采用1倍轉頻為半帶寬，其分析后的階次譜如圖12(a)所示。由于帶寬過窄，其邊頻信號大部分被過濾掉，使得其邊頻階次無明顯幅值，容易導致誤診斷。若采用5倍或7倍轉頻為半帶寬，其分析后的階次譜分別如圖12(b)和圖12(c)所示。雖然邊頻階次存在較為明顯的峰值，但隨著濾波帶寬變大，越來越多的噪聲信號未被有效過濾，導致邊頻信號與噪聲信號混合。

(a)1倍轉頻為半帶寬

為增加與其他方法的對比，采用EEMD方法對圖8中的齒輪故障信號進行分解，并對分解得到的包含故障信息的IMF3進行階次譜分析。IMF3的時域波形如圖13所示。從圖13可知，存在一定的沖擊成分，但周期性不明顯。IMF3的階次譜如圖14所示。從圖14可知，在階次36.93處存在一定的峰值，該階次與齒輪齒數37相對應，但其邊頻階次不明顯，且其他干擾階次和噪聲較多，不利于故障的識別與診斷。

圖13 IMF3的時域波形

圖14 IMF3階次譜

5 結 論

針對ATF法中的自適應帶寬選取問題，提出以邊頻帶階次與齒輪嚙合階次的能量比——階次能量比K為指標，用于ATF法濾波帶寬的自適應選取，并將帶寬優化選取的ATF法用于變轉速下的齒輪故障診斷。本文主要結論如下：

(1)ATF中通帶的寬度將直接影響最終的濾波效果，信號的調制情況不同，所需要的濾波帶寬也不相同。本文采用的階次能量比K能有效分辨不同的倍頻調制情況，從而可實現帶寬的自適應優化選取。

(2)將帶寬優化選取的ATF法用于變轉速下的齒輪故障信號分離，并將分離有的信號成分進行階次譜分析，分析結果表明，本文方法可有效凸顯齒輪故障特征，提高分析精度。

(3)本文方法只選取了chebyshev濾波器作為原型濾波器，并利用階次能量比作為指標研究了其帶寬的自適應選取，而對于其他類型的濾波器(如Butterworth、Bessel)的濾波效果亦可作對比研究。