單翼太陽帆板航天器非約束模態動力學建模及特性研究

朱尊紅, 戈新生

(北京信息科技大學 機電工程學院，北京 100192)

自1958年“探索者1號”發射成功以來，研究人員就不斷探討航天器的功能，他們成功地將復雜的航天器引向更遙遠的星空[1]。然而，未來大型空間結構的物理復雜性是需要迫切考慮的，且建模問題就成了重中之重[2]。以前航天器的功能比較簡單，撓性附件所承擔的任務較少，但隨著航天領域的發展，現有航天器的功能性大大加強，規模越來越大，撓性附件安裝的數量越來越多，就會使撓性附件在整個航天器之中所占的比重越來越大，與此同時，撓性附件的撓性問題就成為一個值得關注的問題[3]。由于外部擾動引起撓性附件振動，會影響航天器姿態穩定和姿態機動(剛柔耦合特性)，這種新特點對傳統的航天器姿態運動柔性附件振動耦合動力學提出了嚴峻挑戰。

撓性航天器中心體的運動，會引起大型撓性結構的變形，它們之間會相互耦合[4]，即航天器撓性附件的振動可能造成航天器運動失穩。現有航天器包括剛性中心體和撓性附件，對于此類航天器的振動分析，我們一般采用兩種模態：約束模態和非約束模態。約束模態：剛性中心體被固定，而附件振動，也可稱為懸臂模態或附件模態。非約束模態：不是簡單的附件振動，而是整個航天器都在振動，并且航天器各個部分產生相互作用，也可稱為載體模態。在非約束模態中，把航天器的運動分為兩部分：① 航天器的整體剛體運動，包括平動和轉動，此時把整個航天器看做剛體；② 航天器剛體和撓性附件的小尺度振動，此時其振動是同步的，且相互耦合。Hughes等[5-6]針對多體撓性航天器，創建了一般動力學方程，并討論了模態恒等式，即慣性完備性準則，描述了耦合系數與頻率之間的關系。徐小勝等[7]闡述了包括柔性核、柔性耦合系數(包括航天器的平動和轉動)、兩種模態的概念，并利用模態恒等式進行慣性完備性降階。以上研究只是闡述兩種模態的模型，并未對特征值問題進行求解。呂旺等[8]探討了一種撓性航天器模態計算方法，通過先求導約束模態下的系統方程，然后再求解航天器非約束模態。Barbieri[9]針對柔性回轉桿，導出兩種模態下的運動方程及邊界條件，并求出相關的頻率方程和振型方程，比較了約束模態和非約束模態的差異。袁秋帆等[10]采用一種全局模態，推導了全局模態下的動力學方程，并推導了非約束模態的特征值問題求解方法。

以上在求解特征值問題時，把撓性附件當做二維梁處理，并未按照實際情況當做帆板處理。李東旭[11]將撓性航天器等效為“航天器剛性主體+懸臂板模型”，進行了航天器-板式撓性結構系統剛柔耦合動力學分析。Hablani[12-13]針對大撓性結構板在約束和非約束模態下建立模型，并推導了動力學方程。程亮亮等[14]利用ANSYS軟件和試驗的方法對懸臂板進行模態分析，對相關特征值問題進行求解。杜圓等[15]提出一種基于改進傅里葉級數的方法，對任意邊界條件下的矩形板進行振動分析。Leissat[16]詳細地描述了各種特征方程解的存在性，給出全面、準確的矩形板自由振動分析結果。Bhat等[17-19]利用瑞利-里茲方法中的特征多項式或多項式計算矩形板及橢圓板的振動固有頻率。曹志遠[20]提出一種適合于求解各種邊界條件矩形板的梁函數組合法，采用雙向梁函數組合級數逼近方法對一般性邊界條件的矩形板進行固有振動分析。

本文討論中心剛體-單翼大撓性結構的航天器模型，這里的撓性結構為板式模型，即中心剛體帶單側矩形薄板簡化模型。著重討論板式撓性航天器在非約束模態下的動力學建模及特性，首先利用哈密頓原理推導單側帆板航天器的運動方程，方程表述了中心剛體和撓性附件之間的耦合，然后分別在兩種模態下進行了模態離散化，分別研究相關的特征值問題，比較兩種模態下頻率和振型，求解單翼板式撓性航天器的特征值問題，比較了約束模態與非約束模態之間的差異。

1 動力學建模及方程的建立

將撓性航天器等效為“航天器剛性主體+單翼撓性帆板模型”，不考慮板間連接鉸鏈的影響，且航天器主體考慮為不變形的剛體，模型如圖1所示。

圖1 單翼帆板航天器

為更好地描述航天器中心剛體與撓性附件的變形及剛柔耦合作用，從X-Z和Y-Z兩個視圖描述變形情況。撓性航天器沿Z軸的平動z0、繞Y軸的轉動θy和繞X軸的轉動θx，如圖2、圖3所示。圖2中中心剛體上方的小長方形是由于撓性航天器繞X軸的轉動θx才能看到，而圖3中中心剛體下方的的小長方形是由于撓性航天器繞Y軸的轉動θy才能看到。

圖2 撓性航天器X-Z視圖

圖3 撓性航天器Y-Z視圖

設撓性航天器由主剛體R和撓性帆板ε組成，剛體平臺是邊長為a的立方體。其中OXYZ為慣性坐標系，O點位于變形前系統的質心位置，X軸水平向右，Y軸垂直向里，Z軸垂直向上，Og為變形后系統質心，Or為中心剛體質心。定義坐標系O0X0Y0Z0為浮動坐標系，O0點位于中心剛體與撓性帆板連接處的中點，X0軸沿板伸展方向，Y0軸垂直向里。由于中心剛體和撓性板在沿X軸和Y軸方向上以及繞Z轉動方向幾乎不發生耦合，所以只考慮沿Z軸的運動位移z0和繞X軸的轉動角θx以及繞Y軸的轉動角θy。

假定航天器姿態角θx,θy很小，得到

sinθx=θx,sinθy=θy,cosθx=1,cosθy=1

(1)

則浮動坐標系O0X0Y0Z0轉換到慣性坐標系OXYZ的矩陣C0p為

(2)

P點位移向量Rp

(3)

式中，u為P點沿Z軸的位移，帆板變形后P點的位置向量R0為

(4)

其中初始位置向量

(5)

變形后中心剛體相對于慣性坐標系的位置向量為

(6)

則點P在慣性坐標系中的向量R為

R=r+C0pR0=

(7)

剛體平臺是邊長為a的立方體，繞X軸轉動慣量為Jrx，繞Y軸轉動慣量為Jry,航天器系統動能為

(8)

式中，μ為太陽能帆板的面密度。

考慮太陽能帆板，則航天器系統勢能為

(9)

通過哈密頓原理

(10)

得到航天器系統動力學方程

(11)

(12)

(13)

(14)

2 模態離散化

此過程中，采用兩種模態即約束模態和非約束模態進行模態離散化。

2.1 約束模態

約束模態下相當于把撓性帆板當做懸臂板處理，此時z0=0,θx=0,θy=0,式(14)為

(15)

對于此模態的特征值問題求解，本文運用康特洛維奇法。

設u(x,y,t)=U(x,y)sin(ωt+φ)，代入式(15)，得

?4U=α4U

(16)

其中

(17)

邊界條件

x=0:U=0,Ux=0

(18)

x=l:Uxx+νUyy=0,Uxxx+(2-ν)Uxyy=0

(19)

y=0:Uxx+νUyy=0,Uxxx+(2-ν)Uxyy=0

(20)

y=b:Uxx+νUyy=0,Uxxx+(2-ν)Uxyy=0

(21)

得到相應的振型變分方程

(22)

設振型函數為在X方向上的未知函數X(x)乘以在Y方向上滿足邊界條件的已知函數Yn(y)

U(x,y)=X(x)Yn(y)

(23)

Yn(y)一般可取自由-自由單向板第n階振型函數(梁函數)，即

Y1=1

(24)

(25)

Y3=(coshαny+cosαny)-an(sinhαny+

sinαny),n>2

(26)

表1 自由-自由邊界單向板頻率與振型系數

而未知函數X(x)將通過變分方程滿足，將式(23)代入式(22)，然后通過變分運算，得到常微分方程

(27)

及邊界條件

(28)

(29)

其中

(30)

常微分方程式(27)滿足邊界條件式(29)的一般解為

(31)

其中

(32)

將式(31)代入邊界條件式(28)，可得關于系數A，B的二階線代方程組。從而可得頻率方程

(33)

上述兩式中

(34)

將式(32)及式(17)代入式(33)，對應每個n值，即可求得一系列頻率值ωmn(m=1,2,3，…)。

2.2 非約束模態

非約束模態下，此時涉及中心剛體運動，則航天器上任意一點P的振動位移為

w(x,y,t)=z0e(t)+yθxe(t)-xθye(t)+

(35)

式中：b為撓性附件的寬度；x∈[-a+r0,r0+l]，引入模態坐標，將z0e(t),θxe(t),θye(t),u(x,y,t)表示為

(36)

(37)

(38)

(39)

則航天器上任意一點P的振動位移w(x,y,t)為

(40)

非約束模態表示航天器在無外力作用下的自由振動，則非約束模態振型為

wm(x,y)=z0m+yθxm-xθym+

(41)

則采用非約束模態時，整個航天器的運動為

(42)

式中，z0r,θxr,θyr為將整個撓性航天器看為剛體時，航天器的平動和繞X軸、Y軸的轉動位移。當式(15)中約束模態下的位移換作非約束模態下的振動位移時，得到非約束模態下特征值問題

(43)

3 非約束模態頻率計算

本文選用瑞利里茲法，用特征正交多項式簇作為基振型，設模態基振型X方向為一端固定一端自由，Y方向為兩端自由，撓性板長度為1。

首先進行X方向的正交多項式函數，設多項式簇第一項基函數表示為

X1(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4

(44)

邊界條件為

(45)

將式(45)代入式(44)，得

X1(x)=a4(6x2-4x3+x4)

(46)

式中，a4可取任意值，對第一階多項式函數進行模態歸一化，設

(47)

則后續正交基可式(48)得出

(48)

每一階正交基模態歸一化，即

(49)

當撓性板長度為l時，正交基為

(50)

然后進行Y方向的正交多項式函數，設多項式簇第一項基函數表示為Y1=1，后續正交基由式(51)求出

(51)

每一階正交基模態歸一化，即

(52)

當撓性板寬度為b時，正交基為

(53)

選取第m階非約束模態

w(x,y,t)=[z0m+yθxm-xθym+um(x,y)]ηm(t)

(54)

式中，ηm(t)=sin(ωmt)，根據式(8)和式(9)，得到航天器第m階系統動能Km和航天器第m階系統勢能Pm

2z0 m[um+yθxm-(r0+x)θym]-2(r0+

(55)

(56)

(57)

(58)

4 仿真分析

本文采用中心剛體加撓性帆板結構進行仿真分析，中心剛體為邊長為2 m的立方體，中心剛體密度為300 kg/m3。撓性板長度l分別為4 m,8 m,12 m，寬度b為2 m，厚度h為0.02 m，撓性板材料密度為2.8×103kg/m3，彈性模量E為6.89×1010Pa，泊松比ν為0.33。

4.1 頻率求解

在此過程中取X、Y方向正交基個數分別為4，因為只包括一側帆板，所以并不會有正對稱和反對稱變形，求得前5階非約束模態頻率，約束模態亦考慮前5階模態。注意非約束模態下剛體模態頻率均為0，所以不考慮。然后通過有限元軟件計算非約束模態頻率，與解析法計算求得的非約束模態比較，并與約束模態作比較分析，其中利用有限元軟件計算過程中節點選擇2 604，單元為433。C為約束模態的數值解，CFEM為約束模態的有限元軟件解,UC為非約束模態的數值解，UCFEM為非約束模態的有限元軟件解。頻率對比如表2、表3、表4所示。

表2 頻率對比(l=4 m)

表3 頻率對比(l=8 m)

本文模型為中心剛體加大撓性單翼帆板，該模型的有限元解作為參考標準解，約束模態與非約束模態數值解可通過與UCFEM有限元解進行對比。由表2～表4可知，瑞利里茲法求得的非約束模態頻率與有限元軟件求得的非約束頻率接近，而約束模態頻率一般小于非約束模態頻率。隨著太陽能帆板長度的增加，即剛柔慣性比、質量比的減小，撓性附件在整個航天器所占的比例越來越大，非約束模態頻率相比于非約束有限元之間差別較小，而約束模態頻率相對于非約束有限元頻率會出現偏差，因此，對于小中心剛體與大撓性結構的撓性航天器構型非約束模態動力學模型要更加精確。

表4 頻率對比(l=12 m)

與雙翼帆板不同的是，由于只有一側帆板，本文中并不存在正對稱和反對稱變形，所以非約束模態頻率一般均比約束模態頻率高，這說明在任何模態下帆板振動與剛性中心體運動都產生耦合，并不會出現雙翼帆板中一階扭轉反對稱下約束模態與非約束模態頻率幾乎相同的情況。

4.2 振型求解

圖4 一階外彎曲(UCFEM)

圖5 二階外彎曲(UCFEM)

圖6 一階扭轉(UCFEM)

圖7 三階外彎曲(UCFEM)

圖8 二階扭轉(UCFEM)

圖9 一階外彎曲(UC)

圖10 二階外彎曲(UC)

圖11 一階扭轉(UC)

圖12 三階外彎曲(UC)

圖13 二階扭轉(UC)

圖中振型為撓性附件與剛性中心體運動的耦合，其中一階外彎曲、二階外彎曲體現了在Z方向上平移運動的耦合和繞Y軸的姿態運動耦合，一階扭轉則體現了繞X軸的姿態運動耦合，值得注意的是，在以往雙翼帆板振型求解中，耦合只會發生在單一情況中，即每階振型所體現的耦合作用只能是Z方向上平移運動的耦合或者繞Y軸的姿態運動耦合，又或者繞X軸的姿態運動耦合。但是單翼帆板卻不同，單翼帆板會同時出現沿Z方向上平移運動的耦合和繞Y軸的姿態運動耦合，這是由于單翼帆板并不存在正對稱或者反對稱，所以某些平移運動或者姿態運動無法抵消。

通過比較圖中表示的利用有限元法和瑞利里茲法求得的非約束模態振型可知，瑞利里茲法求得的非約束模態振型與有限元軟件求得的非約束振型接近，當中心剛體在整體中所占的比重比較大時，約束模態振型能夠準確描述實際情況，但是隨著撓性附件在整體中占的比重越來越大時，非約束模態與約束模態之間差異就會比較明顯，與約束模態相比，非約束模態更貼近實際情況。

5 結 論

本文針對中心剛體-單翼大撓性結構的航天器，提出了航天器太陽能帆板的板式簡化模型，建立了一種非約束模態動力學模型，探討了板式撓性航天器非約束模態的動力學建模及動態特性，分別在約束模態和非約束模態下研究相關的特征值問題，對兩種模態的頻率和模態振型進行比較，求解了單翼板式撓性航天器的特征值問題，比較了約束模態與非約束模態之間的差異。結果說明在單翼帆板情況下，當中心剛體在整體中所占的比重比較大時，約束模態能夠準確描述實際情況，但是隨著撓性附件在整體中占的比重越來越大時，非約束模態與約束模態之間差異比較明顯，與約束模態相比，非約束模態更貼近實際情況。