含壓電分流阻尼的聲學黑洞梁振動特性研究

萬志威，朱 翔,3，李天勻,3，李 敬

(1.華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074；2.船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074；3.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

聲學黑洞結構具有無附加質量、控制頻帶寬和可設計性強等特點，在減振降噪方面提供了新的技術。在梁結構中，梁的厚度按照冪函數形式變小，梁中這種楔形結構稱作聲學黑洞結構[1]。當彎曲波傳播到此結構中時，彎曲波的波速會隨著板厚度的減小而逐漸減小。在理想的情況下，波速會減小到零，波無法進行傳播。在楔形結構敷設阻尼層，可以將傳播到楔形結構中心的能量大幅吸收，即彎曲波“陷入”了聲學黑洞結構中[2]。Mironov[3]揭示了彎曲波無法在楔形結構中傳播的機理。Krylov[4]通過幾何聲學方法分析了楔形結構局部振動，敷設阻尼層可以有效的降低反射系數[5],聲學黑洞在截止頻率以上才能實現聚波效應[6]。黃薇等[7]從時域上研究了彎曲波在聲學黑洞結構中聚集的現象。Tang等[8]通過半解析法分析了含一維聲學黑洞結構的梁振動特性。Deng等[9-10]通過半解析法分析了內嵌多個圓形聲學黑洞結構和內嵌環形聲學黑洞結構的平板振動特性。半解析法將附加阻尼作為能量的一部分，可以考慮阻尼層與聲學黑洞結構的全耦合；且可以通過彈簧來模擬實際上不同的邊界條件。

粘貼有阻尼層的聲學黑洞結構能有效的聚波和抑振，但由于聲學黑洞存在截止頻率，在截止頻率以下效果不佳[11]。近年來，由壓電片外接分流電路組成的分流阻尼，能夠通過分流電路產生電磁振蕩，與被控結構發生共振，引入局域共振機制，也得到較多關注。

Hagood等[12]分析了通過壓電片外接分流電路來耗散機械能。Behrens等[13]通過理論和試驗分析了在簡支板上連接負電容電路對振動的影響。李寧等[14]通過傳遞函數法得到了電器元件最優參數表達式。陳良[15]基于長波近似假設將分流阻尼的作用等效為一個附加的具有等效楊氏模量的材料。Wang等[16]在柔性各向同性梁中，采用分流阻尼周期陣列實現可調諧的低頻局部共振帶隙。壓電分流阻尼通過引入局域共振機制，可以通過小尺寸控制大波長彈性波傳播，在低頻振動控制方面具有顯著優勢，而這一方面是聲學黑洞存在短板[17]。因此，若能將壓電分流阻尼與聲學黑洞進行結合，發揮兩種技術的優勢，則能夠實現寬頻抑振降噪特性。

關于聲學黑洞和分流阻尼單獨的研究已經很豐富，但將兩者結合起來考慮的研究較少。Beck等[18]通過有限元法分析了外接負電容分流阻尼的聲學黑洞梁振動特性。Ji等[19]通過有限元法和試驗研究了基于復合聲學黑洞梁振動的能量收集性能。Zhao等[20]通過有限元法探討了含有壓電片的聲學黑洞結構用于能量收集，通過試驗[21]研究了含有壓電片的聲學黑洞在薄板中動態結構剪裁的性能，最后對電路電阻值優化達最大化聚能效果，并進一步通過有限元法和試驗研究了含有壓電片的聲學黑洞結構在振動領域衰減[22-23]。Li等[24]通過有限元法分析了一種寬頻有源黑洞裝置。以上研究都是基于有限元法以及試驗驗證，不便于從機理上闡釋分流電路參數變化對結構振動的影響。

結合聲學黑洞和分流阻尼的優點，本文采用半解析法研究了一種聲學黑洞梁和壓電分流阻尼的聲學黑洞壓電復合結構。首先通過半解析法求解了聲學黑洞梁的振動特性，并與有限元結果吻合較好，驗證了半解析法的有效性。引入分流阻尼，通過等效介質法將分流阻尼等效為具有等效楊氏模量的附加材料，分析了含分流阻尼的聲學黑洞梁振動特性，并通過調整電阻電感值對結構第一階共振峰值進行抑振。分析了電阻電感值對局域共振的影響，從理論上給出了確定局域共振頻率近似方法。為聲學黑洞結構的低頻振動控制提供了新思路。

1 理論部分

1.1 哈密頓原理

一個帶有聲學黑洞的歐拉梁，如圖1所示。梁由厚度按照冪函數變化的聲學黑洞部分h(x)=εxm,x∈[x0,xb1]，厚度均勻的主體部分hb,x∈[xb1,xb2]和阻尼層部分hd(x),x∈[xd0,xd1]構成。厚度變化的一端為自由端，厚度均勻的一端由平動彈簧k和旋轉彈簧q連接以模擬彈性邊界。通過調節k和q的大小可以實現不同的邊界條件的模擬。在梁xf處施加一點激勵f(t)。

圖1 含有聲學黑洞的歐拉梁

基于歐拉梁理論，梁的位移場可以表示為

(1)

式中，{u,w}為在梁或者阻尼層上某一點沿x和y方向的位移。將位移函數w(x,t)表示成一系列型函數與廣義坐標之積的形式

(2)

通過哈密頓原理，可得到如下的拉格朗日方程[25]

(3)

式中，L為拉格朗日函數

L=Ek-Ep+W

(4)

式中：Ek為系統的動能;Ep為系統的勢能;W為外力對系統做功。對于歐拉梁，它們可以表示為

(5)

(6)

W=f(t)·w(xf,t)

(7)

將式(2)和式(4)～式(7)代入式(3)可得方程組的矩陣形式

(8)

式中：M為質量矩陣;K為剛度矩陣;a(t)和f(t)分別是由響應和激勵力組成的向量。

a(t)=Aeiωt

(9)

f(t)=Feiωt

(10)

因此，式(8)可以化為

(K-ω2M)A=F

(11)

對于自由振動，向量F為零，因此式(11)可以寫為

(K-ω2M)A=0

(12)

由此可以得到系統的固有頻率ω和對應的振型A。

1.2 墨西哥帽狀小波函數

在半解析模型中，最為關鍵的是需要尋找一個合適的型函數來表達位移場。盡管在現有對非均勻結構的研究中，多采用冪函數或者多項式作為形函數[26-27]，但是因在厚度減小處型函數會逐漸衰減而對于聲學黑洞結構而言難以適用，且存在隨位置急劇變化的“奇異”現象。墨西哥帽狀小波函數(Mexican hat wavelet，MHW)可以描述幾何中的重要信息[28]，適于描述在聲學黑洞尖端急劇變化的波群。

因此，本文選取MHW作為型函數，它的表達式為

(13)

通過對自變量進行縮放和平移，可以將式(13)定義的函數擴展為一系列MHW的子函數

(14)

1.2.1 確定縮放因子

當梁的范圍為[0,1]時，要使小波函數有效寬度恰好能覆蓋梁的整個長度，則有：2×5/2j=1，即2j=10。為了構建一系列的小波函數，必須保證每個小波的有效半徑都要落到梁的范圍內。可以取更大的j，于是有

j≥ceil(log210)=4

(15)

式中，ceil(x)為最小的整數，ceil(x)≥x。

1.2.2 確定平移因子

要讓有效寬度[-5/2j+k/2j,5/2j+k/2j]至少有部分落在[0,1]內。同時為了避免矩陣的奇異性，可以將k的范圍[29]取為

(16)

式中，floor(x)為最大的整數，floor(x)≤x。

例如，當x0=1 cm，xb2=10 cm時，將梁的長度進行單位化后，取j=4，則k∈[-2,18]，此時MHW的子函數的分布如圖2所示。

圖2 墨西哥帽狀小波函數縮放和平移后的分布

2 模型驗證

考慮含有聲學黑洞的歐拉梁(見圖1)。對于邊界條件，梁一端處于自由狀態，另一端處于固支狀態，取平動彈簧k值為1×1010N/m，旋轉彈簧q的值為1×106N·m/rad。考慮梁的左端x=1 cm處存在加工精度造成的截斷。在COMSOL5.4中建立對應的有限元模型，并進行模態分析。梁的尺寸參數和材料屬性如表1所示。

表1 梁的尺寸參數和材料屬性

采用本文提出的半解析法計算了含有對稱聲學黑洞的歐拉梁的固有頻率，并提取了前5階振型，將共振頻率和對應的振型與有限元方法進行對比，分別如表 2、圖 3所示。兩種方法前5階固有頻率最大誤差不超過1.0%，且前5階振型圖非常吻合。

圖3 有限元法與半解析法前五階振型圖

表2 有限元與半解析法共振頻率比較

在xf=8 cm處施加F=F0eiωt，幅值F0=1 N的激勵力。研究10～5 000 Hz內輸出點xout=6 cm處位移幅值隨頻率變化關系。分別用有限元法和半解析法得到的振動加速度級隨頻率變化曲線，如圖4所示。從圖4可知，兩條曲線在所計算頻率段內十分吻合。因此當選取墨西哥帽狀小波作為型函數，設置合適的縮放因子和平移因子時，本文提出的半解析法可有效的模擬梁的橫向自由振動和強迫振動，驗證了半解析法的有效性。

圖4 有限元法與半解析法諧響應分析結果

3 含有分流阻尼的聲學黑洞梁振動特性分析

含有分流阻尼的聲學黑洞梁由基體梁、壓電片和分流電路三部分組成，如圖5所示。利用等效介質法，將分流阻尼等效為一個均質材料，分析含有分流阻尼的聲學黑洞梁振動特性。

圖5 含有分流阻尼的聲學黑洞梁

3.1 等效介質法

壓電晶體在彈性限度范圍內，應變和電位移可以由應力和電場兩方面產生。因此以應力張量T和電場強度張量E為自變量，應變張量S和電位移張量D為因變量，得到壓電方程為[30]

(17)

式中：sE為恒電場彈性柔順常數矩陣；εT為恒應力介電常數矩陣；dT為壓電應變常數矩陣d的轉置。

壓電片僅受x軸方向的約束，即T1≠0，T2=T3=T4=T5=T6=0。本文所采用的壓電片，其極化表面垂直于z軸，即僅考慮z軸方向的電場作用，即E1=E2=0，E3≠0。根據這些條件，壓電方程可以化簡為

(18)

式中：sE,11為短路彈性柔順系數;εT,33為恒應力介電常數;d31為壓電應變常數。

根據亞波長近似假設，電位移D3在面積為A3的電極上幾乎不變，那么電極上的電荷Q可以寫為

Q=?A3D3ds=D3A3

(19)

因此根據基爾霍夫電流定理和戴維南等效電路，分流電路中的電流可以表示成

(20)

式中:s為拉普拉斯常數;hp為壓電片厚度;Z為分流電路的復阻抗。

將式(19)和式(20)代入式(18)可得

(21)

式中,Cp為壓電片恒應變電容

(22)

從式(21)可知，外接分流電路的壓電片在整體結構中表現為一個均質材料[31]，其密度為壓電材料密度，楊氏模量為等效楊氏模量Em

(23)

式(23)表明等效彈性模量會隨著分流電路的阻抗變化，因此可以通過改變分流電路的阻抗來調整材料屬性從而調整局域共振頻率。

選取PZT-5H壓電陶瓷作為壓電片材料，相應的參數值如表3所示。在理論上，壓電陶瓷的尺寸大小和位置與普通阻尼材料保持一致。

表3 PZT-5H壓電陶瓷參數

3.2 分流電路參數

通過壓電材料本構方程和分支電路方程，可以得到系統的廣義傳遞函數，由傳遞函數表達式可知，對被控結構，由壓電元件和分支電路組成的子系統類似于一個調諧質量阻尼器。通過觀察包含諧振分流壓電材料(resonant shunt piegoelectric，RSP)的系統與包含質量阻尼器(proof mass damper,PMD)的系統之間的相似性，可以解決分支電路參數優化問題。通過類似于PMD分析中傳遞函數優化方法，可以得到電感L和電阻R最佳值，采用LR串聯電路時如圖6所示。此時電感電阻的最佳取值為

圖6 LR串聯電路

(24)

(25)

機電耦合系數K31為反映壓電材料的機械能與電能之間相互耦合關系的物理量，對于壓電效應，從電邊界條件的頻率改變得到廣義的機電耦合常數[32]。

(26)

式中:ωD,n為分支電路為開路時的模態頻率;ωE,n為分支電路為短路時的模態頻率。

3.3 數值分析

聲學黑洞尺寸與阻尼材料等參數與表1相同。對敷設阻尼層的聲學黑洞梁、連接分流阻尼電路(LR串聯)的聲學黑洞梁和不含阻尼層的聲學黑洞梁進行諧響應分析。通過式(24)～式(26)，可算出取第一階模態頻率時，最佳電阻值為794.36 Ω，最佳電感值為4.68 H。在xf=8 cm施加單位激勵力，輸出點xout=6 cm處振動加速度級隨頻率變化關系如圖7所示。粘貼有阻尼層的模型，因為阻尼材料自身損失因子的作用，降低了共振處的峰值。帶有分流電路的模型此時并未表現出優異吸能減振的作用。

(a)

與普通阻尼層相比，分流電路可通過改變楊氏模量來改變等效的剛度。因此下面針對低頻處的第一階共振頻率對應的峰值，探討改變電阻R和電感L的值，使第一階共振頻率處的峰值削減。

3.3.1 分流電路中電感作用

保持電阻值R=50 Ω一定，嘗試著調整電感值。電感值減小時，局部共振頻率向高頻移動。當電感值L=5.35 H時，與電感值L=4.68 H相比，峰值處衰減了4.14 dB，如圖8所示。從圖8可知，這是因為當局部共振頻率與結構共振頻率接近時，兩個共振峰相互影響，結構振動能量分攤在兩個共振峰處，因此結構振動最大響應會下降；僅通過調整電感值使局域共振與結構共振發生耦合可以使振動最大峰值產生衰減。

圖8 改變電感值對輸出點振動加速度級的影響(R=50 Ω，L=5.29 H，L=5.35 H，L=5.41 H,L=4.68 H)

3.3.2 分流電路中電阻作用

保持電感值L=5.35 H一定，電阻在電路中作為耗能元件，電阻過小會使局域共振處的振動變得劇烈，類似于結構振動的欠阻尼情況，如圖9所示。從圖9可知，電阻較小，耗能較慢，以致電感和電容之間進行往復的能量交換。增大電阻值會使分流電路局域共振產生的振蕩效應消失。為抑制振動峰值為最低水平，電阻取值不宜太大。隨著阻尼參數的增大，兩個不同的系統模態合并成一個單一的模態，當阻尼參數趨于無窮大時，這兩個不同的系統模態會合并成一個單模態，并收斂到具有開路壓電元件的系統響應。

圖9 改變電阻值對輸出點振動加速度級的影響(L=5.35 H，R=10 Ω，R=50 Ω，R=100 Ω，R=1 000 Ω，開路R=∞)

3.3.3 局域共振頻率

圖10 電阻值為100 Ω電感值為5.35 H時等效楊氏模量實部

3.3.4 分流阻尼結構特性

結合以上關于電阻和電感的討論，選擇電阻值為100 Ω，電感值為5.35 H，將阻抗值優化后的分流電路接入聲學黑洞梁。帶有分流阻尼電路的聲學黑洞梁、粘貼有阻尼層的聲學黑洞梁與無阻尼層的聲學黑洞梁第一階共振峰值，如圖11所示。普通阻尼層對振動峰值消減作用有限，且無法對指定頻率處的振動進行抑制。分流阻尼能通過調整電感值調諧到機械系統的一個模態附近，能連接電阻抑制局部振蕩,從而大大提高可達到的模態阻尼比，其效果類似于經典的質量阻尼器或共振減振器。

圖11 3種模型第一階共振峰值

質量阻尼器是一個點阻抗，因此只吸收可用的動能。分流壓電阻尼在使用中為多端口阻抗，其耗散來自于兩個系統節點的相對運動。當基體受到外界激勵會產生振動，從而產生形變獲得機械能。而壓電片由于其正壓電效應，受到變形時會在其表面產生電荷，將振動的機械能轉換為電能。電能在分流電路中一部分可以被電阻元件轉換成熱量耗散掉，另一部分由于電感元件和壓電片固有電容的相互作用而產生電磁諧振，形成局域振子。因此，分流壓電阻尼可以被認為是耗散結構應變能。對于基體結構不同變形處，連接分流阻尼耗散能量的能力也存在差異。這種差異可以反映實際分流阻尼的最佳位置。

在本模型中，通過調整電感電阻值，可以對指定頻率處的振動進行衰減，與含阻尼層聲學黑洞梁相比，在第一階振動加速度級峰值可以衰減4.92 dB，具有良好的抑制共振峰的效果。分流阻尼與聲學黑洞結合后，在整體結構中表現為粘貼了一層均質材料，其等效楊氏模量既與外接電路的阻抗有關也與頻率有關。當調整電感值使楊氏模量在某一頻率處發生突變時，結構就會在此頻率附近處產生局域共振，當基體結構共振與局域共振發生耦合時，結構振動能量分攤在兩個共振峰處，因此結構振動最大響應會下降，而適當的阻值又會有效的抑制振蕩，兩者結合作用從而可以使結構振動在指定頻率處進行有效衰減。

4 結 論

本文通過哈密頓原理，選用墨西哥帽狀小波作為型函數，采用能量法對含有聲學黑洞的懸臂梁自由振動和受迫振動進行求解，與有限元法結果吻合較好，驗證了半解析法的可靠性。將傳統阻尼層替換為分流阻尼，通過等效參數法求出了分流阻尼結構的等效彈性模量，討論了分流電路參數對結構振動特性的影響，得出以下結論：

(1)通過調整電感值使局域共振與結構共振發生耦合使振動響應峰值產生衰減，另一方面適當的阻尼可以使振蕩效應消失，電阻值增加到無窮大時結構振動收斂到具有開路壓電元件的系統響應。本文通過調整電感電阻值，可以對指定頻率處的振動進行衰減，與無阻尼層聲學黑洞梁相比，第一階共振峰處振動加速度級衰減4.92 dB。

(2)可以通過壓電片等效彈性模量實部突變對應頻率確定局域共振頻率。

目前，大量研究表明聲學黑洞在截止頻率以上能實現聚波能力。本文將聲學黑洞和壓電分流阻尼結合，改善了聲學黑洞在低頻振動控制方面的缺陷，為聲學黑洞結構的低頻振動控制提供了新的思路。后續可以進一步開展不同電路形式的分析以及優化參數實現振動綜合控制。