基于MFC的地鐵軌道振動能量收集研究

謝偉平，陳 謠，王先鋒

(武漢理工大學 土木工程與建筑學院，武漢 430070)

隨著城市化進程的加快，地鐵已經逐漸成為各大城市市內交通的主要形式。地鐵線路的發展也加大了對地鐵監測設施和傳感器的需求。而傳感器網絡的電池能量耗盡后更換困難、維護成本高，克服其缺點的一種方案是采用替代能源，而地鐵過往車輛引起的振動能就是一種可持續利用能源。如果能將這些振動能收集和儲存，為地鐵監測系統供能將很有意義。目前，從環境振動中獲取能量的方式主要有三類，分別是靜電、壓電和電磁式[1]。其中壓電式體積小、結構簡單具有高效的力電轉化特性，更加適用于振動能量收集。

隨著制作工藝及壓電理論的成熟，世界范圍內的學者開始將壓電陶瓷材料用于軌道振動能量俘獲。Wischk等[2]比較了鐵路隧道內各個位置振動的時程和頻譜。設計了一套壓電式振動俘能裝置，并對該套裝置進行了現場測試。為了克服壓電俘能裝置在激勵頻率接近其固有頻率較窄的頻帶內才有較高功率的缺點。Lynch等[3]設計了一種壓電陣列俘能器。現場測試表明，壓電陣列的電壓高于單個壓電片，功率反而減小。高鳴源[4]設計了一種梁式壓電俘能裝置，將鋼軌振動位移作為激勵仿真計算了其發電響應。并通過室內試驗驗證其可行性。Wang等[5]研制了一種適用于低頻重載的新型彎-壓型俘能單元，建立了埋置俘能單元的軌道結構在移動荷載作用下的理論分析模型，并給出其理論電學輸出。然而由于壓電陶瓷本身脆性大、極限受拉承載力弱，導致基于傳統壓電陶瓷材的俘能器具有耐久性差等缺陷，與持續供能的初衷相違背。

針對現有壓電材料的不足，NASA Langley研究中心研制出了壓電纖維復合材料(macro fiber composite，MFC)[6]。這是由壓電陶瓷纖維、叉指電極、聚合物和聚酰亞胺構成的周期排列的復合材料。根據電極的極化方向不同，MFC主要分為d31和d33型，其中d33型壓電常數較高，有更高的能量轉換效率[7]。此外，MFC不僅保留了壓電材料的原有的優異的機電耦合性能，同時又具有低頻、柔韌性好、輕質等眾多優點，而且壓電纖維橫向排列使得MFC局部的損壞，也不會影響其的整體性能，這為MFC用于軌道振動能量俘獲提供了良好的基礎。

另外基于振動的能量收集裝置選擇主要取決于激發源的振幅和頻譜，懸臂式壓電俘能器多以收集環境低頻振動為主[8]，以MFC材料為基礎的懸臂型俘能器在地鐵軌道低頻振動能量俘獲中的應用鮮有報道，其俘能機理、能量輸出特性、俘能器優化手段鮮有研究。

鑒于此，本文將MFC材料用于的地鐵軌道低頻振動能量收集進行研究。研究MFC俘能器在各種材料結構參數及車輛荷載等參數條件下的發電性能，模擬驗證了MFC俘能器作為地鐵軌道監測傳感的自供能電源的可行性，為地鐵軌道振動能量收集研究及智能軌道交通的發展提供重要的參考價值。

1 車輛-軌道耦合動力學模型

MFC懸臂型俘能器發電的機理為輪軌相互作用激發鋼軌底部MFC壓電懸臂梁產生相對運動，導致壓電材料內部電偶極矩發生變化，在其表面積累正負電荷，對外顯示電性。因此對于MFC俘能器的設計而言，首先需要得到激勵源即鋼軌的動力特性。

1.1 列車及軌道模型

帶MFC俘能裝置的車輛-軌道模型及相互作用關系如圖1所示。其中車輛系統模型視為勻速地在軌道上移動的10自由度多剛體系統。車輛模型選用6節編組的地鐵B型車。軌道模型選用彈性支承塊式無砟軌道結構。軌道子系統軌道下部結構近似模擬成離散支承在連續彈性基礎上的無限長Euler-Bernoulli梁，車輛和軌道結構模型的主要參數[9-10]如表1所示。

圖1 帶MFC俘能裝置的車輛-軌道相互作用模型

表1 車輛軌道模型參數

1.2 動力學方程建立

根據Euler梁模型，鋼軌的運動方程表示為[11]

(1)

式中:Pj(t)為車輪的輪軌力；Zr(x,t)為鋼軌振動位移；Frsi(t)為軌枕支點反力；N為扣件總數；δ(x)為Dirac函數。利用Hertz非線性彈性接觸理論將耦合系統的車輛模型和軌道模型耦合起來，成為一個完整的系統。輪軌垂向作用力p(t)表示為

(2)

式中:G為輪軌接觸常數；δZ(t)為輪軌間的彈性壓縮量；Z0(t)為軌道不平順位移。綜合考慮車輛、鋼軌、扣件及彈性支撐塊，采用Ritz法對系統進行簡化處理，車輛-軌道耦合運動方程可以表示為

(3)

1.3 軌道不平順與振動響應求解

軌道不平順是車輛與軌道系統產生隨機振動的主要根源，并不能用確切數學表達式來表示。軌道不平順的功率譜密度是描述軌道不平順的有效手段，國內外對于城市軌道交通車輛軌道振動相關研究采用的軌道不平順譜也不一致[12-13]。由于美國軌道譜分級明確，本文選取美國五級線路軌道譜進行計算，采用逆快速傅里葉變換法將軌道的不平順功率譜轉換為時域的激擾信號，得到的軌道時域樣本如圖2所示。

圖2 軌道高低不平順幅值

利用預測-校正積分方法在MATLAB軟件中編寫計算程序。計算出地鐵車輛以70 km/h速度通過時地鐵軌道鋼軌動力響應如圖3、圖4所示。

圖3 鋼軌豎向振動時程圖

圖4 鋼軌豎向振動頻譜圖

由圖3、圖4可知鋼軌豎向振動加速度幅值大多在0～50 m/s2，列車動態荷載激發的明顯的鋼軌振動主頻集中在低頻范圍，振動卓越頻段為60～75 Hz計算結果與文獻[14]的實測結果接近)，與某些周期運動的機械設備的振動相比[15]，地鐵軌道車輛引起的振動的帶寬及幅值并不固定，而是隨著車輛類型、車速、載質量等的變化而變化。

2 MFC俘能器的理論模型

MFC的力電耦合模型基于分布參數模型,首先使用混合規則來均勻化MFC的壓電層材料性質并使用代表體積元(representative volume element,RVE)構建MFC的周期結構，然后應用模態展開將力電耦合的偏微分方程轉換為常微分方程，最后求解方程以獲得MFC俘能器的輸出響應。

2.1 代表體積元與混合規則

由于d33型的MFC為沿壓電纖維長度方向的極化電場以及其上下表面為正負交錯排列的叉指電極，導致其內部電場分布極不均勻[16](如圖5(a)所示)。主要分為兩個區域：遠離電極的區域“電場活區(電場較為均勻)”、電極正下方的區域“電場死區(無電場)”。其力電耦合系數和等效電容并不能直接得到，而是通過代表體積元來求得。如圖5(c)所示。MFC片在長寬方向上分別由N×M個等效體積元組成，其中N和M分別為電極對數和壓電纖維條數。構成的d33型MFC壓電懸臂梁遵從以下線性本構方程[17]

圖5 MFC懸臂梁式能量收集器示意圖

T3=YpS3-e33,pE3

(4)

(5)

E3≈±V(t)/Le

(6)

式中:V(t)為叉指電極的電壓；Le為叉指電極之間的間距；對于MFC來說，其壓電纖維與聚合物的彈性和壓電參數等并不相同，利用RVE的混合規則[18]，通過重新排列線性壓電本構關系均勻化壓電層，使壓電纖維和聚合物均質成等效壓電層，有以下關系式

Yp=vYf+(1-v)Ym

(7)

(8)

(9)

式中:v為壓電纖維的體積分數；下標p、f和m分別為等效壓電層、纖維和聚合物；上標S及T為恒定應變和恒定應力下。

2.2 MFC壓電懸臂梁力電耦合模型

對于帶端部質量塊的微幅彎曲振動和線性化壓電效應的MFC懸臂單晶片振動和電學輸出如下[19]

(10)

(11)

式中:wrel(x,t)為梁中性軸相對于固定參考系的橫向位移；wb(x,t)為固定端激勵所引起的位移；ca為黏性空氣阻尼系數；cs為應變率阻尼系數；m為梁的單位長度質量；Mt為端部質量；L為梁長；R為外接電阻。d33型MFC材料的等效壓電層的力電耦合系數?、等效電容Cp以及電勢Φ(x)在空間的分布為表示為

?≈Md33,pYpAehpc/Le

(12)

(13)

(14)

式中:N和M分別為電極對數和壓電纖維條數；hpc為等效壓電層中心到中性軸的距離；Ae=μbehp為RVE等效截面面積；be為RVE的寬度；系數μ是用來等效電場在厚度上的不均勻分布；H(x)為Heaviside函數；由層合梁的內部應力平衡[20]解得等效抗彎剛度YI為

(15)

式中:Ys、Yk分別為基板層和聚酰亞胺(PI)板-電極層的楊氏模量;ha、hb和hc分別為中性軸距離底面、彈性基板層上邊緣以及頂面的距離，可以用壓電層hp、基板層hs和PI板-電極層的厚度hk表示如下(如圖6所示)

圖6 MFC俘能器在XZ平面示意圖

(16)

2.3 動力響應求解

根據模態疊加法，懸臂梁的橫向偏轉wrel(x,t)可用一系列特征函數表示

(17)

式中:φr(x)為質量歸一化的第r階模態函數；ηr(t)為第r階模態坐標。對于帶端部質量的懸臂梁，其模態函數表示如下[21]：

φr(x)=Ar{cos(λrx/L)-cosh(λrx/L)+

ζr[sin(λrx/L)-sinh(λrx/L)]}

(18)

式中:λr為對應于不同模態的特征值；Ar為通過振型正交性求得的模態振幅常數；系數ζr可表示為

ζr=

(19)

將式(18)代入式(10)、式(11)，兩邊同乘以φr(x)并沿梁長積分。考慮振型正交性和Dirac函數積分性質，忽略空氣阻尼及梁微小偏轉的影響。可得到由模態坐標表示下的俘能器振動和電學方程為

(20)

(21)

(22)

3 輸出電能影響因素分析

為了探索在地鐵軌道振動下MFC結構、材料和地鐵車輛荷載參數對俘能器輸出電能的影響規律。將上文模擬的鋼軌動力響應作為輸入激勵，代入MFC俘能器的力電耦合模型中得到其電能輸出，分析MFC壓電活性層結構與材料參數、端部質量、外接負載及車輛的運行速度、載質量等因素對收集能量影響。MFC俘能器主要幾何和材料參數如表2所示。

表2 MFC俘能器的材料結構參數(ε0=8.854p F/m)

3.1 壓電活性層結構與材料參數影響

研究壓電活性層的長度、纖維含量影響時，活性層長度取72.5～85.0 mm，纖維體積含量變化范圍為1%～100%。研究基板的彈性模量變化、壓電層厚度對輸出電能的影響時，取基板層與壓電層的彈性模量之比β為1.5～4.0，壓電纖維含量為50%，纖維厚度和梁總厚度(保持為1 mm不變)比α取0.01～0.85，無特殊說明外其他參數取值見表2。輸出電能及諧振頻率如圖7～圖10所示。

圖7 不同梁長下輸出電能隨壓電纖維體積含量變化

圖8 不同梁長下諧振頻率隨壓電纖維體積含量變化

圖9 不同基板彈性模量下輸出電能隨壓電層厚度變化

圖10 不同基板彈性模量下諧振頻率隨壓電層厚度變化

由圖7、圖8可知，梁的諧振頻率隨壓電纖維含量的增加而不斷升高。對于壓電活性層長度在72.5～85.0 mm的MFC俘能器來說，輸出電能隨壓電纖維含量的增加，先升高后下降，存在峰值輸出電能。隨著壓電活性層長度的增加，輸出電能峰值處的最優壓電纖維含量由低向高偏移，峰值處的諧振頻率逐漸減小。在輸出電能峰值附近10%～20%壓電纖維體積含量的MFC俘能器都有較高的輸出能量，且諧振頻率都處于軌道振動能量較高的卓越頻帶(65～75 Hz);這是因為MFC俘能器的發電性能在很大程度上取決于其激勵頻率與諧振頻率的一致性。當激勵頻率接近于其諧振頻率時，輸出能量可以顯著提高。

由圖9、圖10可知，梁的諧振頻率隨厚度比的增加而降低。對于基板彈性模量不同的MFC俘能器來說，均存在一個最佳厚度比，使得其輸出電能達到最大值，且最佳厚度比α的值隨著彈性模量比β的增大而升高。當1.5≤β≤2.5時，隨基板彈性模量的增大，輸出電能峰值增大，峰值處諧振頻率升高；當β>2.5時，隨基板彈性模量的增大，最優厚度比、峰值輸出電能及峰值處的諧振頻率基本不變，分別為0.75 mJ、0.84 mJ及68 Hz左右。因此在選用基板時，要綜合考慮基板彈性模量對輸出電能的影響。

3.2 端部質量的影響

研究端部質量的影響時，假設端部質量塊的質量大小按整個懸臂梁質量比例選取，即Mt=K×m×L，比例系數K取0～0.5。取壓電纖維體積含量為50%(壓電纖維體積總不變)，基板厚度分別取0.35～0.60 mm的6種MFC壓電懸臂梁，梁長為70 mm,其他參數取值見表2。其輸出電能及諧振頻率隨質量比例系數K如圖11、圖12所示。

圖11 不同基板厚度下輸出電能隨端部質量變化

由圖11、圖12可知，梁的諧振頻率隨著端部質量的增加降低。隨著端部質量的增加，輸出電能先增大后減小。峰值處的俘能器的諧振頻率保持68 Hz附近，接近軌道振動能量的峰值頻率(71.2 Hz)。且在峰值諧振頻率較寬的頻帶內都有較好的輸出電能。增加端部質量后MFC俘能器最大電能輸出相較于無端部質量的MFC俘能器分別提高升82%、161%、193%、185%、188 %和237%。這表明可以通過適當地增加端部質量塊的質量降低其的諧振頻率來匹配環境的激勵頻率，提高壓電能量采集裝置電能輸出能力。

圖12 不同基板厚度下諧振頻率隨端部質量變化

3.3 負載電阻的影響

取壓電纖維體積含量從15%到90%、壓電層厚度比從0.15到0.40、端部質量比從0到0.5變化的6種MFC俘能器，得到不同負載下輸出能量變化如圖13～圖15所示。

圖13 不同纖維壓電纖維含量下輸出電能隨電阻變化

圖14 不同壓電層厚度下輸出電能隨電阻變化

圖15 不同端部質量比下輸出電能隨電阻變化

由圖13～圖15可知，輸出電能隨負載變化的趨勢為先增后減，不同壓電纖維含量、厚度及端部質量的MFC俘能器均存在一個最優電阻值，使其輸出電能達到極大值；隨著纖維體積含量、厚度增加，最優處的電阻逐漸減小，由高負載向低負載移動。當壓電纖維體積含量為定值時，端部質量改變時，峰值電阻均為35 kΩ，即增加端部質量只會改變其峰值電能，不會改變其峰值電阻。

3.4 列車載質量及車速的影響

由于地鐵車輛的載質量與車速會影響鋼軌豎向振動的時程與頻譜特性。從而影響MFC的俘能效果。保持壓電材料總體積不變(即纖維含量、長、寬及厚度不變)，取不同的厚度鋁基板使得梁諧振頻率在60～80 Hz變化的5種MFC俘能器，其他參數取值見表2。研究載質量影響時，列車車速保持65 km/h不變，載質量分別為分別處于空載(MC=22 t)到超載(MC=42 t)之間變化[22]。研究車速影響時，列車載質量為32 t不變，車速為50～80 km/h變化時，5種MFC俘能器在不同載質量、車速下輸出電能如圖16、圖17所示。

圖16 不同諧振頻率MFC俘能器下載質量對輸出電能的影響

由圖16、圖17可以看出，輸出電能隨著載質量增加而增加，這是由于載質量增加導致鋼軌豎向加速度幅值增大，導致輸出電壓幅值增大，從而影響輸出能量。但車速增加不一定會增加MFC俘能器的輸出電能，隨著車速的改變，鋼軌豎向振動的頻帶會偏移及拓寬。而鋼軌振動的頻帶改變會降低MFC俘能器輸出電能，這是因為基于MFC壓電懸臂的俘能器帶寬較為固定，無法有效地完全覆蓋地鐵軌道的峰值頻帶。同時，當動能在一系列具有不同頻率的振動中分散時使得任何單頻振動中的能量都較小。因此，俘能器的輸出電能不一定隨車速的增加而增加。

圖17 不同諧振頻率MFC俘能器下車速對輸出電能的影響

4 俘能電路設計

采用表2所示的結構及材料參數，建立MFC俘能器的模型得到地鐵列車經過時，MFC俘能器的輸出電壓時程及均方根輸出電壓如圖18所示。

圖18 輸出電壓時程圖

由圖18可知，地鐵列車車輪經過安裝有MFC俘能器的鋼軌時，帶動MFC俘能器產生非連續、非穩態、高電壓的交流電，其電壓大小與列車載質量和車速相關，且只有當列車經過的較短的時間內才有電能。需要設計俘能電路將其整流、濾波、穩壓成直流電進行存儲及輸出控制，才能給例如傳感器等用電設備供電。

4.1 等效電路模型

MFC俘能器的等效電路參數可以通過力學量和電學量的類比關系[23]得到(如表3所示)，等效電路模型可以看作代表前r階模態的r個電路分支組成。能量收集器的主要貢獻頻率為一階共振頻率。因此，取前幾個階甚至一階模態即可較為準確地預測能量收集器的能量收集性能。本文僅考慮前三種模態的影響。外部電路和電子設備簡化為負載電阻，等效電路模型如圖19所示。

表3 機電參數的類比關系

圖19 等效電路模型

4.2 試驗驗證

為了驗證MFC俘能器理論模型及等效電路模型的準確性，分別在MATLAB中計算理論值和在LTspice建立等效電路模型然后與掃頻試驗的結果做對比,試驗試件基板尺寸為65.0 mm×10.0 mm×0.5 mm，MFC薄片的尺寸為65.0 mm×10.0 mm×0.3 mm，壓電材料為PZT-5H，聚合物為環氧樹脂，含量各占50%，端部質量塊質量為1.8 g。試驗平臺如圖20所示，主要由MFC懸臂梁結構、臺式萬用表、激光位移傳感器、加速度傳感器、振動臺及數據采集端等組成，掃頻試驗的加速度為固定為10 m/s2，其試驗結果與理論值和仿真值對比如圖21所示。

1.激光位移傳感器；2.MFC壓電俘能器；3.加速度傳感器；4.端部質量塊；5.振動臺；6.數據采集端；7.臺式萬用表。

由圖21可知，理論計算和等效電路仿真計算得到的MFC俘能器輸出電壓隨頻率的變化結果一致。理論值及仿真值的輸出電壓隨頻率變化趨勢與實測值基本一致，而實測值在一階諧振頻率和輸出電壓峰值上略小于理論及仿真結果，誤差分別為3.6%和20.4%。誤差產生的原因主要與MFC的制作工藝有關，例如加工過程中填充的聚合物含量過高，導致其內部阻抗變大、上下叉指電極沒有對齊或者與壓電纖維接觸不充分等，這些都會導致實測值和理論值有一定的誤差。

圖21 掃頻下電壓輸出實測值與理論值和仿真值對比

4.3 俘能電路設計與仿真

相比于分立元器件，集成電路芯片其體積小、功能多、線路組合標準化，能夠極大程度的避免電路損耗。Linear公司推出LTC3588-1是集整流橋、DC-DC降壓轉換器等功能一體的專為微能量收集和電流降壓設計的能量管理芯片[24]。以LTC3588-1芯片為基礎，進行俘能電路設計，并在LTspice軟件中進行仿真，仿真模型如圖22所示。

注：互感(K)語句“K L4 L5 L6 L7 1”表示為L4 L5 L6 L7變壓器繪制一個電感器，并對其實施耦合，“1”表示沒有漏電感。

以武漢地區的地鐵線路為例，高峰時間段的行車間隔約為4 min，隨機取不同車速在55～75 km/h，載質量在28～36 t的15趟車。將LTC3588-1的輸出電壓設置為1.8 V，模擬1 h內列車經過時電容的充電曲線如圖23所示。

(a)單趟列車

由圖23可知，0.5 mF的電容兩端的電壓在1個小時15趟列車經過后上升為8.07 V，因此儲存在電容中的能量為16.28 mJ。無線加速度傳感器的功耗最低為0.35 mW，追蹤1趟列車經過時所需時間為10 s，15趟車所需能量為52.5 mJ。考慮實際電容能量并不能全部利用，電容放電至1.8 V時，電能輸出為9.83 mJ，當無線傳感器網絡節點間歇工作時，6個并聯的MFC俘能器即可滿足無線傳感功能。

5 結 論

本文基于d33型的MFC材料，設計了一款適用于地鐵低頻振動能量收集的懸臂式俘能裝置，通過分析MFC結構、材料和車輛荷載等參數對俘能器輸出電能的影響規律，并基于LTC3588-1芯片進行了能量收集-存儲模擬，探究MFC俘能器所收集的地鐵軌道振動能量用于無線傳感器供能的可行性，得到以下結論：

(1)壓電纖維體積尺寸、基板材料屬性及端部質量大小均對MFC俘能器電能輸出有影響，存在最佳壓電纖維體積含量、壓電層厚度比及端部質量比使其輸出電能最大。且在地鐵軌道振動卓越頻帶的帶寬內都有較好的能量輸出。壓電活性層越長，輸出電能峰值處壓電纖維含量由低向高偏移，峰值處的諧振頻率逐漸減小。基板的彈性模量越大，輸出電能峰值處壓電層厚度比越大，當β>2.5時，隨基板彈性模量的增大，最優厚度比、峰值輸出電能及峰值處的諧振頻率基本不變。適當增加端部質量可以降低MFC俘能器諧振頻率來匹配環境的激勵頻率，對其電能輸出能力有較大提升。

(2)MFC俘能器在負載阻抗匹配的情況下才能實現最佳電能輸出，隨著壓電纖維體積含量、厚度增加峰值電阻逐漸減小，由高負載向低負載移動，當壓電纖維體積固定時，峰值處電阻不受端部質量的改變影響。

(3)列車載質量和車速對能量的俘獲有明顯影響，在針對地鐵軌道振動能量收集時，MFC壓電俘能器設計時要考慮鋼軌低頻振動時車速及載質量影響的引起加速度幅值及頻率分布，俘能器的諧振頻率要與鋼軌振動的卓越頻帶相匹配。

(4)本文設計的單個MFC俘能器在地鐵運行情況下一個小時可收集能量為16.28 mJ，6個并聯的MFC俘能器即可滿足無線傳感器的最小供能需求。