反平面波在一維液體飽和多孔聲子晶體中的傳播特性

2022-05-16 11:08:30張書燕王艷鋒

振動與沖擊 2022年9期

張書燕，王艷鋒

(1.北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044；2.天津大學機械工程學院，天津 300350)

聲子晶體[1]是空間周期排列的人工復合材料，其獨特特征是產生帶隙[2-3]，在帶隙內彈性波的傳播會受到抑制。帶隙有兩種產生機制：Bragg散射和局域共振[4]。基于帶隙特性，Thota等[5]利用一種圓柱夾雜物和折紙結構設計了可重構的聲屏障，它可以有效的屏蔽交通噪音；Yoo等[6]利用平面柔性聲子晶體實現了小單元在低頻域的完美吸聲；Dong等[7]利用拓撲優化設計了窄頻聲子晶體濾波器；Brule等[8]用試驗的方法驗證了在土體里面插入周期性的材料可以屏蔽地震波。此外，還可通過引入線缺陷設計波導[9]，使彈性波沿著缺陷傳播。

盡管聲子晶體的研究已經受到許多學者的關注，但已有研究大都考慮單相介質，較少涉及兩相或多相介質。實際上液體飽和多孔介質(兩相介質)也是很常見的材料。探索波在多孔介質中的傳播對土木工程和地震工程等領域起到重要的理論指導[10-11]。近年來，一些研究者對彈性波在液體飽和多孔聲子晶體中的傳播進行了研究。Weisser等[12]計算了具有周期性共振夾雜多孔彈性層的聲響應；Alevizaki等[13]將多層散射方法推廣到浸沒在流體介質的孔隙彈性球的聲子晶體；Wang等[14-15]研究了縱波和面內混合模態在一維和二維液體飽和多孔聲子晶體中的傳播特性；Meng等[16-18]分析了飽和土中放置多排混凝土樁對彈性波的減振效果；徐長節等[19]研究了飽和土夾水混凝土混合式屏障對彈性波隔振效果。Zhang等[20]研究了彈性波在部分開口界面一維液體飽和多孔聲子晶體中的波動特性。

以上研究主要關注縱波或面內混合模態在液體飽和多孔聲子晶體中的傳播，并未涉及反平面波。因此本文重點關注反平面波在一維層狀液體飽和多孔聲子晶體中的傳播特性。首先利用傳遞矩陣方法計算了反平面波的復能帶結構；然后用剛度矩陣法計算了聲子晶體的傳輸譜；最后分析了液體黏性、孔隙率和材料組分比對反平面波傳播特性的影響。這些結果為液體飽和多孔材料的實際應用提供理論參考。

1 計算模型

考慮一維層狀由n個單細胞組成的聲子晶體，每個單胞有兩個子層，分別由兩種不同的液體飽和多孔介質A和B組成，單胞的長度可以表示為a=a1+a2，其中a1和a2分別為A和B兩個子層的長度,如圖1所示。本文考慮反平面波以角度θ0∈(0,π/2)入射聲子晶體。

圖1 一維液體飽和多孔聲子晶體示意圖

2 反平面波波動方程的求解

根據Wang等的研究，一維液體飽和多孔介質反平面波的波動方程可以寫為

(1)

(2)

對于簡諧波，反平面波的位移場可以假設為

(3)

將式(3)代入式(1)得

(4)

若式(4)存在非零解，則相應的系數為零，即

(5)

求解式(5)可得

(6)

這里正值表示波的傳波方向，正值表示x方向，負值表示x負向。

利用疊加原理，可以得到位移的通解

(7)

(8)

3 傳遞矩陣

對于一維聲子晶體，傳遞矩陣法計算能帶結構和傳輸，是常用的方法[21]。傳遞矩陣法是利用界面位移、應力等連續性條件，得到兩個相鄰單胞的傳遞矩陣；進而通過引入Bloch理論求解特征值問題得到能帶結構。

假設第d個單胞的狀態向量為V=[uz,σxz]T。根據位移和應力的通解，第j子層左右兩個界面的狀態向量可以表示為

(9)

在第d個單胞子層間的界面以及第d-1和第d個單胞的界面處，狀態向量應保持連續

(10)

將式(9)代入式(10)可得

(11)

根據Bloch定理，狀態向量有如下關系

(12)

式中，kx為Bloch波矢在x方向的分量。聯立式(11)和式(12)可以得到

(13)

從式(13)可得到標準的特征值問題

|T-eikxaI|=0

(14)

式中,I為2×2的單位矩陣。任意給定一個頻率，復能帶結構可以通過求解方程式(14)得到。

4 剛度矩陣

當聲子晶體的層數較多時，用傳遞矩陣法計算位移響應的解是不穩定的[22]。因此一些研究者提出了穩定的求解方法，如剛度矩陣法[23]和散射矩陣法[24-25]。本文利用剛度矩陣法計算結構的透射系數。

假設聲子晶體兩側是兩個半無限大均勻結構(液體飽和多孔介質A)，反平面波從左側半空間以角度θ0入射到聲子晶體中，那么入射半空間的波場為

(15)

(16)

(17)

式中，σ0=τxz0,u0=ux0,和us=uxs，剛度矩陣KR詳見附錄B。將式(15)和式(16)代入式(17)可以得到

(18)

5 數值結果和討論

已有研究表明，反平面波斜入射和垂直入射的結果在低頻時基本一致[26]，因此本文只分析反平面波垂直入射(θ0=0)時液體飽和多孔聲子晶體的波動特性。令上述推導中的ky=0即可得到垂直入射時的傳遞矩陣和剛度矩陣。本文中材料A為飽和土(a1=1.3 m)，B為混凝土(a2=0.7 m)。其他相關材料參數參考Wang等的研究，在本文計算中αj(∞)=1.02。首先考慮無黏性液體飽和多孔聲子晶體，計算的復能帶實部如圖2(a)所示。圖中橫坐標為歸一化波數ka/(2π)，縱坐標為歸一化頻率fa。復能帶的虛部，如圖2(b)所示。計算50個單胞的聲子晶體得到的傳輸譜，如圖2(c)所示。從圖2可知，在考慮頻率范圍內，反平面波有兩個Bragg帶隙，傳輸結果與能帶結果吻合較好。

(a)Re(ka/2π)

接下來考慮液體黏性對反平面波傳播特性的影響，結果如圖3所示。作為比較，圖中虛線是無黏性的結果。從圖3可知，當引入黏性后(η=1×10-6Pa·s),復能帶的實部在邊界處由尖角變為光滑，通帶的虛部值變大，帶隙內對應的虛部幾乎沒有變化。因此，反平面波在通帶內的傳輸減弱，帶隙內的衰減幾乎沒有發生改變。當黏度系數增大到η=1×10-5Pa·s時,上述現象變得更加明顯。然而，當黏度系數增大到η=1×10-3Pa·s時,在整個頻率范圍內反平面波的虛部變小、衰減減弱，復能帶的實部在布里淵的邊界由光滑又變為尖角。這和快縱波隨黏性的變化是一致的。這個現象可以來利用泰勒展開式來解釋，首先將ω(k)在復指數k的區域邊界k0=π/d處進行泰勒展開[27]，即

(a)Re(ka/2π)

Δω=ω(k)-ω(k0)≈ζRe((Δk)2)=

ζ(g2-h2)

(19)

式中：ζ為一個與能帶二階導數有關的常量；Δk=g+ih。對于相同的Δω>0和不同的黏度，能帶的衰減是先增大后減小的，并且其相應的虛部也是先增大后減小的，式(19)中的h和g也是有著相同的變化。所以隨著黏性系數的增大布里淵邊界處尖角先變光滑再變尖銳。

不同孔隙率下液體飽和多孔聲子晶體中反平面波的復能帶實部、復能帶虛部、傳輸譜以及帶隙上下邊界位置和帶隙寬度變化，如圖4所示。為了做對比，圖4還給出了孔隙率φ=0(單相介質)的復能帶和傳輸，如虛線所示，第一條帶隙和第二條帶隙的簡約頻率范圍分別為[624,754]和[1 286,1 490]。與單相介質的結果相比，當孔隙率增大到φ=0.1時，兩條帶隙上下邊界向上移動，帶隙內對應的最大虛部增大并且相應的衰減增強，從圖4(d)可知，此時帶隙也稍微變寬。這是因為質量密度比能影響帶隙產生[28]，并且當基體和散射體密度相差較大時更容易產生帶隙[29]。多孔介質A孔隙率的增大會導致其平均密度減小，因此多孔介質A與多孔介質B的平均密度之差也變大。當孔隙率增大到φ=0.3和φ=0.4時，上述現象變得更加明顯。與快縱波不同，在高頻范圍內反平面波通帶對應的虛部值為零，這是因為反平面波的波動方程與流體壓力無關，即反平面波和慢縱波之間不存在相互作用。從圖4(d)可知，隨著孔隙率的增大，帶隙邊界向上移動與快縱波正好相反，帶隙逐漸變寬。

(a)Re(ka/2π)

當單胞長度不變時，不同組分比(Q=a1/a2)對反平面波傳播特性的影響。不同組分比的復能帶和傳輸,如圖5所示。當組分比較大時Q=9/1，第一條布拉格帶隙和第二條布拉格帶隙的簡約頻率范圍為[644,686]和[1 290,1 380]。當組分比稍微變小Q=13/7時，兩條帶隙增大，帶隙內虛部值和衰減也顯著增大。當組分比減小到Q=3/7時,反平面波的相速度增大，第一條帶隙變得更寬，帶隙內的衰減進一步增強。但是第二條帶隙變窄，帶隙內的衰減減弱。帶隙的這種變化是由于布拉格散射引起的，因此可以估計出帶隙的中心頻率。帶隙中心頻率可以用下式來估計[30]