機械傳動系統運動精度優化分配新方法

李 健 冉 琰 張根保 王勇勤

重慶大學機械與運載工程學院，重慶， 400044

0 引言

精度是數控機床等機電產品的主要性能指標之一，通過精度設計可以保證機械產品的精度。精度設計包括精度分析和精度分配，二者互為相反的過程。國內外學者對精度分配技術進行了大量的研究。余治民等[1]利用多體系統理論和坐標變換方法，建立了龍門導軌磨床幾何誤差的傳遞模型，并在此基礎上對磨床精度進行了優化分配。王海艷等[2]利用統計方法建立了螺旋銑孔專用主軸單元的精度分配模型，并綜合考慮權重影響系數和精度儲備系數等因素，實現了主軸單元的精度分配。CHENG等[3-4]利用多體系統理論建立了數控機床的體積精度模型，并在此基礎上實現了多軸機床幾何精度的優化分配。ZHANG等[5]利用多體系統理論建立了數控機床的體積誤差模型，給出了機床各部件的誤差與體積誤差之間的耦合關系，提出一種同時考慮幾何誤差和熱誘導誤差的零件幾何精度分配方法。呂程等[6]基于多體運動學理論建立了機械系統裝配體誤差模型，并結合裝配體精度要求進行了結合面精度的優化分配。武劍[7]利用齊次坐標變換方法建立了三軸加工中心的誤差模型，并在此基礎上建立了精度優化分配模型，實現了整機-部件-零件的逆向精度分配。徐彥偉等[8]提出了一種面向零件加工精度要求的弧齒錐齒輪銑齒機主動精度設計方法，通過建立零件加工精度要求和機床數控軸重復定位精度之間的映射關系，實現了精度的合理分配。

上述方法實現了數控機床等復雜機電產品精度的優化分配，但誤差建模和分析均基于靜態誤差建模方法。數控機床等復雜機械系統的運動誤差是通過零部件的相對運動產生的，靜態誤差建模方法無法反映機械系統精度的形成機理。因此，宋江波等[9]通過研究影響數控機床傳動精度的主要因素，建立了機床傳動系統精度可靠性的分析模型，并提出了提高傳動系統精度可靠性的措施。吳鳳和等[10]建立了雙擺角銑頭傳動鏈的運動誤差模型，并提出一種考慮靈敏度與加權分配的運動精度定量分配方法。上述分析方法從傳動鏈誤差形成機理出發，實現了運動精度的分析和優化分配，但這些方法需要對整條傳動鏈進行建模，分析過程比較繁瑣，在實際應用中存在很大的局限性。

因此，本文結合元動作理論，提出一種機械傳動系統運動精度優化分配新方法。首先利用“功能-運動-動作”(function-motion-action, FMA)分解樹將機械傳動系統進行結構化分解，得到元動作鏈和基本的元動作；然后，將元動作鏈的運動精度分配給各個元動作，得到元動作運動精度，最終實現機械傳動系統運動精度準確合理的分配。

1 元動作理論介紹

1.1 FMA結構化分解樹

筆者所在團隊利用元動作理論對復雜機電產品的可靠性、精度等質量特性進行研究[11-14]。通過元動作理論的FMA結構化分解樹可對復雜機械系統進行結構化分解，得到各個串聯的元動作，如圖1所示。整機的性能通過各個元動作以及元動作之間的連接性能來實現，因此，以元動作為基本單元對復雜機電產品的質量特性進行研究，實現機械系統的模塊化分析，降低分析的難度和復雜性。

圖1 機電產品FMA結構分解樹Fig.1 Schematic of the FMA decomposition tree

1.2 元動作分類及其單元結構組成

元動作根據運動形式的不同分為兩類：①轉動元動作，如蝸桿轉動元動作、齒輪轉動元動作等；②移動元動作，如齒條移動元動作、直線導軌移動元動作等。

元動作單元主要由動力輸入件、中間件、支撐件、緊固件和動力輸出件組成，其結構模型如圖2所示。上游元動作單元通過動力輸出件將動力傳遞給當前元動作單元的動力輸入件，然后經本單元的中間件傳遞給動力輸出件，再由本單元的動力輸出件傳遞給下游元動作單元的動力輸入件，從而實現動力在機械系統中的傳遞。

圖2 元動作單元結構組成Fig.2 Structure composition of meta-action unit

1.3 元動作鏈介紹

元動作鏈(meta-action chain, MC)定義如下[15-16]：將元動作按照運動傳遞順序進行有序鏈接，用來表示系統將運動由動力源傳遞到特定執行機構的元動作組合，其建立對象是一個單一的運動傳遞關系。

如圖3所示，元動作鏈包含動力源、中間元動作和執行部件，中間的各個元動作相互串聯，通過齒輪副、蝸輪蝸桿副等機械傳動副將動力源的動力傳遞給執行部件。

圖3 元動作鏈結構Fig.3 The structure of meta-action chain

1.4 元動作鏈運動精度機理分析

元動作鏈中，上游元動作的動力輸出件和下游元動作的動力輸入件構成傳動副，將動力源的動力和運動傳遞給執行部件,因此，元動作執行部件的運動誤差是由各個相鄰元動作之間的傳動副運動誤差造成的。傳動副的運動誤差是由相互運動的動力輸入件和動力輸出件的安裝位置偏差和本身固有誤差造成的，其中，動力輸入件和動力輸出件的安裝位置偏差僅與自身所在單元的內部零件幾何誤差和裝配誤差有關。通過上述分析可以明確元動作鏈的運動精度形成機理：首先，元動作單元內部的零件幾何誤差、裝配誤差等因素導致動力輸入件和動力輸出件的安裝位置偏差；然后，動力輸入件和動力輸出件的安裝位置偏差與本身固有誤差導致相鄰元動作之間傳動副的運動誤差；最后，傳動副的運動誤差導致元動作鏈的運動誤差，形成元動作鏈運動誤差，即機械傳動系統的運動精度。

2 元動作鏈運動精度優化分配

2.1 元動作鏈運動誤差建模

元動作鏈作為典型的機械傳動系統，在綜合分析其運動精度時，需要考慮各個傳動副傳動比的影響。元動作鏈的運動誤差為各個傳動副的運動誤差折算到執行部件后的綜合誤差。圖4所示為包含n個元動作的元動作鏈系統，第k-1個元動作單元的動力輸出件與第k個元動作單元的動力輸入件的傳動比為ik,k-1。

圖4 元動作鏈動力傳動系統Fig.4 Power transmission system of meta-action chain

因此，元動作鏈系統的運動誤差為[9,17]

(1)

式中，φm-1,m為第m-1個元動作單元的動力輸出件和第m個元動作單元的動力輸入件組成的傳動副的運動誤差。

各項運動誤差均為隨機變量，假設各項誤差均服從正態分布且相互獨立，因此綜合運動誤差的均值μ(φMC)和標準差σ(φMC)分別為

(2)

式中，σ(*)為各誤差項的標準差。

若取置信概率為99.7%，則元動作鏈運動誤差的最大值、最小值分別為

(3)

2.2 元動作單元綜合裝配復雜度的計算

由元動作鏈運動精度機理分析可知，元動作單元中的動力輸入件和動力輸出件的運動誤差主要由零件本身的固有誤差和安裝位置偏差保證。對于不同的元動作，單元組成零件的數目、結構復雜程度的不同導致生產成本具有顯著差異。元動作單元結構復雜、生產制造成本較高時，如果分配的精度較高，則會極大增加生產制造的難度，導致高昂的生產成本。元動作鏈運動精度分配過程中，需要綜合考慮元動作單元的制造難度等因素，因此，為比較不同元動作單元的制造難度，利用元動作單元綜合裝配復雜度對元動作單元的生產制造難度進行表征。

2.2.1綜合裝配復雜度分析

ELMARAGHY等[18]考慮零件材料、結構設計和規格等因素并結合機械產品裝配過程特點，提出了機械產品裝配復雜度模型。該模型考慮了零部件裝配預處理屬性和裝配操作屬性，先通過裝配過程經驗數據，得到零件裝配預處理屬性和裝配操作屬性的平均復雜度，再通過加權求得單個零件的裝配復雜度，然后利用機械產品裝配復雜度模型，求得整個產品的裝配復雜度[19]。

對于元動作單元，影響生產制造過程復雜程度的因素包括單元零件屬性、零部件配合特性、緊固件數量、裝配操作、產品檢測、輔助資源等因素，因此從零件預處理屬性裝配復雜度和零件裝配操作屬性復雜度進行分析[19]。

零件預處理屬性裝配復雜度的分析屬性包括尺寸、厚度、質量、對稱性、抓取難度和輔助動作。零件裝配操作屬性復雜度的分析屬性包括對齊、插入阻力、視線、機械緊固工藝、質量檢測、操作人員要求、輔助操作設備和一次裝配成功率。表1、表2所示分別為裝配操作屬性和零件預處理屬性平均復雜度。

2.2.2單元裝配復雜度的建模與計算

元動作單元的裝配過程復雜度指數需要綜合考慮單元零部件數量、零件裝配預處理屬性、零件裝配操作屬性以及緊固件數量的影響，其計算模型為

Ca=NpCailog2Ns

(4)

式中，Ca為元動作單元的裝配復雜度；Np、Ns分別為元動作單元中零件和緊固件的總數量；Cai為元動作單元的裝配復雜度指數。

2.2.3單元綜合復雜度指數的計算

計算元動作單元裝配復雜度指數，首先需要對單元中零件的裝配預處理屬性和裝配操作屬性進行分析，計算得到零件的綜合裝配復雜度；然后將零件綜合裝配復雜度進行加權，利用式(4)得到元動作單元的綜合裝配復雜度。圖5所示為元動作單元綜合裝配復雜度的計算流程。

表1 零件裝配操作屬性復雜度

表2 零件預處理屬性裝配復雜度

元動作單元裝配復雜度具體計算步驟如下：

(1)根據表1、表2中的數據確定元動作單元中零件的裝配預處理屬性復雜度和裝配操作屬性復雜度。

(2)分別計算零件k裝配預處理屬性的平均復雜度CM,k和裝配操作屬性的平均復雜度CO,k：

(5)

式中，CM,k,f、CO,k,f分別為零件k第f個特征的裝配預處理屬性復雜度和裝配操作屬性的特征屬性復雜度；p、q分別為零件k的裝配預處理屬性和裝配操作屬性的數量。

(3)由CM,k和CO,k計算元動作單元零件k的綜合裝配復雜度：

Cai,k=CM,k+CO,k

(6)

(4)由元動作單元零件的裝配復雜度計算單元的裝配復雜度指數：

(7)

式中，np為單元特征零件的數量。

(5)將元動作單元裝配復雜度指數Cai、零件總數量Np和緊固件數量Ns代入式(4)，計算得到元動作單元的綜合裝配復雜度Ca。

2.3 運動精度優化分配

元動作鏈的運動精度受元動作鏈各個元動作運動誤差的影響。各個元動作運動誤差形成元動作鏈的綜合運動誤差，即元動作鏈運動精度。元動作鏈精度分配的目的是將元動作鏈的運動精度分配給各個元動作，得到各個元動作單元的動力輸入件和動力輸出件的運動誤差。

元動作鏈運動精度的分配包括綜合運動精度的分配和傳動副運動精度的分配。綜合運動精度的分配是將元動作鏈末端執行部件的運動精度分配給相鄰元動作間的傳動副。傳動副運動精度的分配是指將上一步分配得到的傳動副運動誤差分配給上游元動作單元的動力輸出件和下游元動作單元的動力輸入件。

通過分配元動作鏈的綜合運動精度，得到單個元動作單元中動力輸入件和動力輸出件的運動誤差，為元動作運動精度的優化分析奠定基礎。

2.3.1元動作鏈綜合運動精度分配

為對元動作鏈運動精度進行優化分配，需要綜合考慮各個傳動副的綜合制造成本、運動精度靈敏度等因素，因此，建立的元動作鏈運動精度優化分配模型不僅包括設計變量和目標函數，還包括成本函數和魯棒函數[20]。

(1)設計變量。元動作鏈包括n個傳動副，以每個傳動副的運動誤差(最小值為0，最大值通過元動作鏈運動精度的標準差確定)的標準差為設計變量，即

(8)

式中，σ[φMC]為元動作鏈運動誤差的標準差；σ(φ′m-1,m)為元動作單元之間傳動副的運動誤差的標準差。

(2)目標函數。將各個傳動副運動誤差的分配值代入元動作鏈運動誤差模型，計算得到元動作鏈的運動誤差，然后將計算得到的元動作鏈運動誤差與設計值的差值作為目標函數：

(9)

(3)成本函數。元動作鏈運動精度優化分配過程中，生產成本主要是各個元動作單元的綜合裝配成本。每個元動作單元的結構、組成零部件的數目和種類等均不相同，因此用單元綜合裝配復雜度對成本進行度量，則成本函數為

(10)

(11)

式中，Ca,m-1、Ca,m-1分別為第m和m-1 個元動作單元的綜合裝配復雜度；ρm-1,m為傳動副裝配成本加權系數，通過各個單元的綜合裝配復雜度計算獲得。

(4)魯棒函數。為將各個傳動副運動誤差的不確定性對元動作鏈運動精度的影響最小化，通過靈敏度分析，設計了如下魯棒函數：

(12)

Δ[σ(φm-1,m)]=0.2σ(φm-1,m)

優化模型以成本和魯棒性為目標，是多目標優化問題，為降低問題分析的難度，將多目標優化問題轉化為單目標優化問題，即將成本和魯棒性進行歸一化處理：

(13)

通過式(8)～式(13)得到元動作鏈綜合運動精度優化分配模型：

(14)

式中，β1、β2為權重系數，表示決策者對成本和魯棒性的偏好程度，0≤β1，β2≤1，β1+β2=1。

式(14)為典型的單目標優化問題，利用多島遺傳算法[21]進行求解，可得到各個傳動副的運動誤差的分配值。

2.3.2傳動副運動精度優化分配

傳動副中的零件屬于不同的元動作單元，因此需要將傳動副的運動精度再次進行分配，得到相鄰元動作單元中動力輸入件和動力輸出件的運動誤差。設第m-1個元動作單元和第m個元動作單元之間的傳動副的運動誤差為φm-1,m，相互配合的上游元動作動力輸出件和下游元動作動力輸入件的運動誤差分別為φm-1和φm，則通過綜合精度分配可得

φm-1,m=φm-1+φm

(15)

傳動副的運動誤差的均值和標準差分別為

(16)

同樣，以傳動副的運動誤差為分配目標，得到上游元動作單元動力輸出件和下游元動作單元動力輸入件的允許運動誤差。考慮各個元動作單元制造裝配成本和靈敏度等因素，建立傳動副運動精度優化分配模型，該模型同樣包括設計變量、目標函數、成本函數和魯棒函數。

(1)設計變量。傳動副中，上游元動作單元的動力輸出件和下游元動作單元的動力輸入件的運動誤差(最小值為0，最大值為傳動副允許最大運動誤差的標準差)的標準差為設計變量：

(17)

(2)目標函數。以傳動副最大允許運動誤差的標準差為分配目標，根據式(16)得到的目標函數為

(18)

(3)成本函數。動力輸出件和動力輸入件的運動誤差受元動作單元內部零件誤差和裝配誤差的影響，因此用單元裝配復雜度對相鄰元動作單元的成本進行度量，則成本函數為

(19)

(20)

式中，ηm-1、ηm分別為元動作單元Am-1和Am的成本加權系數。

(4)魯棒函數。為減小上游元動作單元的動力輸出件和下游元動作單元的動力輸入件運動誤差的不確定性對傳動副運動精度的影響，通過靈敏度分析，設計了魯棒函數：

(21)

Δ[σ(φ′m-1)]=0.1σ(φ′m-1)Δ[σ(φ′m)]=0.1σ(φ′m)

采用式(13)的方法，對成本函數和魯棒函數進行歸一化處理：

(22)

通過式(17)～式(22)，得到傳動副運動精度優化分配模型：

(23)

式(23)同樣為單目標優化問題，可以利用多島遺傳算法進行求解，最終得到相鄰元動作單元動力輸出件和動力輸入件的允許運動誤差。

2.4 元動作鏈運動精度優化分配流程

元動作鏈的運動精度優化分配如圖6所示。具體如下：

(1)分析元動作鏈結構，確定元動作鏈運動精度指標，建立運動誤差模型。

(2)確定設計變量，建立優化分析模型的目標函數、約束函數和設計變量。

(3)利用優化算法進行分析計算，得到元動作鏈中各個傳動副的運動誤差分配值。

(4)以φm-1,m為分配目標，進行優化分配。

(5)建立φm-1,m的優化分配數學模型，該模型包括確定目標函數、約束函數和設計變量。

(6)利用優化算法進行分析計算，得到元動作單元Am-1的動力輸出件和元動作單元Am的動力輸入件的運動誤差的分配值，最后得到元動作運動精度。

圖6 元動作鏈運動精度優化分配Fig.6 Optimal allocation of meta-action chainkinematic accuracy

3 實例分析

利用FMA結構化分解方法對某型號數控磨床進行結構化分解，如圖7所示。以C軸數控回轉工作臺為主進行運動分解，得到了2個分運動以及分運動包含的元動作和元動作鏈[22]。

圖7 數控磨床FMA結構化分解Fig.7 FMA structured decomposition for a CNCgrinding machine

數控回轉工作臺主要由箱體、電機齒輪、輸入齒輪、蝸桿、蝸輪、工作臺和剎緊機構等部分構成，是數控磨床重要的功能部件，其回轉定位精度對數控磨床的加工精度有重要影響，因此利用所述方法對數控回轉工作臺傳動系統的運動精度進行優化分配。

3.1 數控回轉工作臺結構分析

對數控回轉工作臺的轉動元動作鏈進行運動精度優化分配，首先需要明確該元動作鏈的結構組成，以及數控回轉工作臺的工作過程。

工作臺回轉運動工作過程：電機軸輸出的轉矩帶動電機齒輪轉動，通過電機齒輪與蝸桿右端輸入齒輪的嚙合實現蝸桿的轉動，通過蝸桿與蝸輪的嚙合實現蝸輪的轉動，工作臺與蝸輪固連在一起，最終實現工作臺的回轉運動。

工作臺剎緊工作過程：工作臺后端安裝剎緊片，工作臺剎緊腔通入壓力油后，活塞壓緊剎緊片，實現工作臺的剎緊。工作臺剎緊腔的壓力油卸壓后，活塞在彈簧的作用下，由壓緊位置回到脫開位置，松開工作臺。

3.2 工作臺回轉元動作鏈

通過數控磨床FMA分解和工作臺回轉運動過程的分析，并結合元動作鏈的概念，得到轉臺回轉元動作鏈，如圖8所示。該元動作鏈動力傳遞路徑為電機齒輪轉動元動作-蝸桿轉動元動作-工作臺轉動元動作，動力源為電機，執行部件為工作臺。

圖8 工作臺回轉運動元動作鏈Fig.8 Meta-action chain of worktable rotary element

電機齒輪轉動元動作的動力輸入件為齒輪軸，動力輸出件為電機齒輪；蝸桿轉動元動作的動力輸入件為輸入齒輪，動力輸出件為蝸桿；工作臺轉動元動作的動力輸入件為蝸輪，動力輸出件為工作臺。建立該元動作鏈動力傳動系統，如圖9所示，其中i2,1=90，i3,2=2。

圖9 轉臺回轉元動作鏈動力傳遞圖Fig.9 Power transfer process of meta-actionchain of turntable

3.3 數控轉臺運動精度優化分配

由數控回轉工作臺的設計要求可知，工作臺的回轉定位精度為30″，將此指標作為數控回轉工作臺的運動精度指標進行優化分配。

分析轉臺回轉元動作鏈中各個元動作單元的結構特點和零件組成，利用2.2節所述方法，計算得到電機齒輪轉動元動作單元、蝸桿轉動元動作單元和工作臺轉動元動作單元的綜合裝配復雜度，即Ca,A1=71.21，Ca,A2=205.86，Ca,A3=802.85。

根據式(9)建立工作臺回轉定位精度與齒輪副和蝸輪蝸桿副的運動誤差的計算模型：

(24)

以齒輪副和蝸輪蝸桿副的運動誤差的標準差為設計變量，其取值范圍由式(8)計算得到：

(25)

通過式(14)建立數控轉臺回轉元動作鏈運動精度優化分配模型：

(26)

對式(26)進行分析求解，得到各個傳動副運動誤差的標準差分配值，然后根據式(3)得到傳動副的運動誤差。分配過程中，成本和魯棒性決定了元動作鏈的綜合制造成本和運動精度的穩定性，因此決策者通過選擇不同的權重系數(β1,β2)對精度分配結果進行綜合權衡。為分析不同決策對元動作鏈運動精度分配結果的影響，分析計算了β2取不同值時齒輪副運動誤差φ1,2和蝸輪蝸桿副運動誤差φ2,3的分配情況。

蝸桿轉動元動作單元和工作臺轉動元動作單元的結構比較復雜，綜合裝配復雜度較大，而電機齒輪轉動元動作單元的綜合裝配復雜度較小,因此，提高蝸輪蝸桿副的運動精度需要花費的成本比提高齒輪副的運動精度花費的成本高很多。蝸輪蝸桿副的運動誤差會直接傳遞給工作臺，其靈敏度較高；齒輪副的運動誤差受蝸輪蝸桿副的傳動比(i=90)的影響，其靈敏度較低。

因此，若重點考慮綜合成本，則蝸輪蝸桿副應該分配較大的運動誤差，齒輪副分配較小的運動誤差；若重點考慮魯棒性因素，則蝸輪蝸桿副應該分配較小的運動誤差，齒輪副分配較大的運動誤差。

圖10所示為齒輪副和蝸輪蝸桿副的分配誤差隨決策者偏好的變化。當決策者比較重視成本即β2較小時，φ2,3取值較大，φ1,2取值較小。當決策者比較重視魯棒性即β2較大時，φ2,3取值較小，φ1,2取值較大。

(a)φ1,2隨決策偏好的變化

(b)φ2,3隨決策偏好的變化圖10 決策者偏好對元動作鏈精度分配的影響Fig.10 Influence of decision maker’s preference onprecision allocation of meta-action chain

以φ1,2和φ2,3(其標準差分別為σ(φ1,2)和σ(φ2,3))為分配對象，利用式(17)分別得到電機齒輪、蝸桿右端輸入齒輪、蝸桿以及蝸輪運動誤差的標準差范圍：

(27)

(28)

根據式(23)分別建立齒輪副和蝸輪蝸桿副的運動精度優化分配模型：

(29)

(30)

計算式(29)、式(30)，并考慮決策者對成本和魯棒性的偏好程度，求解得到電機齒輪、蝸桿右端輸入齒輪、蝸桿和蝸輪的運動誤差的標準差，然后計算得到其運動誤差的分配值。

(a)φ′1隨決策偏好的變化

(b)φ′2-1隨決策偏好的變化

(c)φ′2-2隨決策偏好的變化

(d)φ′3隨決策偏好的變化

4 結論

(1)從機械傳動系統運動精度形成機理出發，對機械傳動系統運動誤差進行分析，建立了運動精度優化分配模型。該模型以機械傳動系統運動誤差的形成過程為基礎，分析結果更加合理。

(2)通過分析元動作單元的綜合裝配復雜度，建立了成本函數；通過元動作鏈運動精度的靈敏度分析，建立了機械傳動系統運動精度的魯棒函數。分析并得到成本和魯棒性對分配結果的影響規律。

本文方法提高了運動精度分配的合理性，但在成本函數建模分析過程中，僅僅考慮了元動作單元的綜合裝配復雜度。實際工程中，元動作單元的維修性以及維修過程的成本對運動精度的分配也有重要影響。因此，在今后的研究中，需要綜合考慮設計、制造和維修等因素，建立面向全生命周期的成本函數模型，使機械傳動系統的運動精度分配更加合理，對實際生產過程提供更好的指導作用。