面向軸孔類零件圓度誤差評定的改進式最小區域圓法

宋 慈 焦 黎 王西彬 劉志兵 陳 暉

北京理工大學機械與車輛學院，北京，100081

0 引言

隨著現代裝備制造業的高速發展，高精度軸孔類零件被廣泛應用于航空、船舶、冶金和汽車等各個領域，其加工質量將對產品的幾何精度、疲勞極限和穩定性等諸多方面產生巨大影響。圓度是研究圓柱度、同軸度等其他形狀誤差的基礎以及評價軸孔類零件加工質量的重要技術指標。對于發動機氣缸等應用于嚴格軸孔配合場合的軸孔類零件，其圓度變化會導致軸孔配合不緊密，降低能量轉換效率；對于冶金輥子等非配合件，孔圓度變化會使冷卻道形狀不規則，造成其表面溫度分布不均勻，影響輥子的冷卻性能。因此，對軸孔類零件的圓度進行可靠測量與精準評定，是確保零件精度要求的重要基礎。

軸孔類零件的圓度誤差的測量過程實際上是使用測量設備獲取被測截面實際輪廓信息的過程。隨著傳感、光電、電磁、圖像等技術的快速發展，眾多學者和商業公司開發出了多種適用于圓度測量的高精度測量設備，如三坐標測量機、聲發射測頭[1]、電容測頭[2]、光電二極管[3]、激光傳感器[4-6]和CCD相機[7]等。這些新興技術和測量設備的出現確保了軸孔類零件圓度測量過程可以高效、精確地進行。

對測量得到的點集進行誤差評定是獲得形狀誤差數值的關鍵。面向同一組測量數據，使用不同的誤差評定方法會得到不同的評定結果，然而，當前大多數測量系統配備的誤差評定算法并不足以提供精確的誤差值。評定方法精度不足會將合格零件誤判為不合格零件，進而影響生產效率，加大制造成本。制造精密化的目標使得全制造業對誤差評定方法的精度要求越來越高，因此，開發符合誤差定義的、高精度的評定方法是誤差評定領域的研究重點。

圓度誤差評定的4種基本方法是：最小二乘圓(least squares circle, LSC)法、最小外接圓(minimum circumscribed circle, MCC)法、最大內接圓(maximum inscribed circle, MIC)法與最小區域圓(minimum zone circle, MZC)法。四種方法中，沒有任何一種方法具有通用性，不同的數據點集都有其適用的方法[8]。從誤差定義符合程度看，最小區域圓法是最優的評定準則，但最小區域的構建并沒有統一的方法，例如：LI等[9-11]提出最小區域線的概念，并將其作為最小區域圓的控制線；GADELMAWLA[12]通過建立凸包，利用圓弧半徑的大小關系依次去除測量點集中的無效點，在剩余的點集中循環搜索，搜索出了MZC的控制點；LEI等[13]在最小二乘圓心附近設置圓形區域，利用提出的極坐標變換算法(PCTA)，得到MZC中心點；GOCH等[14]利用改進切比雪夫算法逼近幾何元素，得到了最大內接單元和最小外接單元。但是總體來看，多數方法仍然存在計算過程復雜、效率低、最小區域不準確以及精度不足等問題。

為此，本文提出了一種面向軸孔類零件圓度誤差評定的改進式最小區域圓法。本文根據文獻[15]MCC、MIC與MZC 3種方法的控制點相互聯系的研究，將最小區域的求解問題轉換為MCC和MIC控制點的確定問題。通常來講，MCC和MIC控制點的求解分別需要構造外凸包點集和內凸包點集[8]，以簡化計算量、獲取符合要求的測量點。但該構造過程極其復雜，特別是內凸包點集的“不唯一性”會對評定結果造成很大的不確定性。本文所提出的方法以測量點間的距離為判定依據，遵循多邊形去除法則，在無需求解凸包點集的情況下，精準地確定MCC和MIC控制點，進而得到測量點集的最小區域。

1 圓度誤差評定

圓度是指回轉體零件某一橫截面的實際被測輪廓與其理想輪廓的變動量，即工件截面趨近圓的程度。圓度誤差指同一截面上包容被測輪廓的兩個最小同心圓的半徑之差[16]。如圖1所示，Mc為實際被測輪廓，Zc為最小包絡同心圓，其半徑差f即為圓度誤差。因此，圓度誤差評定的過程就是求解參考圓及其圓心的過程[17]。

圖1 圓度誤差示意圖Fig.1 Schematic diagram of roundness error

1.1 改進式最小區域圓法

最小區域圓法以測量點集的最小區域圓的圓心來評定圓度誤差。測量點集的最小區域圓指滿足以下條件的兩個同心圓：①所有測量點都在兩同心圓上或在兩者之間；②兩同心圓半徑差最小。其判定準則為：由兩同心圓包容測量點集時，至少有內、外相間的四點與同心圓接觸，并且外圓上兩點連線與內圓上兩點連線相交，稱為相交準則。根據最小外接圓、最大內接圓與最小區域圓之間的關系[15]，最小區域圓的控制點可通過最小外接圓與最大內接圓的控制點進行求解。

最小外接圓和最大內接圓的構建過程遵循銳角三角形或對徑準則，即：在求解圓上有三點與測量點集接觸，該三點組成銳角三角形；或只有兩點與測量點集接觸，此時兩點的中點為求解圓的圓心。因此，最小區域圓的兩個外控制點可以從最小外接圓的控制點中選取，兩個內控制點可以從最大內接圓的控制點中選取。

1.2 最小區域圓法評定圓度誤差的評定過程

1.2.1確定最小外接圓控制點

對于給定測量點集Pi(xi,yi),i=1,2,…,n，按下式計算點集的中心點Ooch(xoch,yoch)：

(1)

依次計算點集Pi中各點與Ooch的距離，得到與Ooch相距最遠的點P1，連接直線P1Ooch；分別搜索該直線兩側與直線距離最大的點P2和P3，對應距離分別為d1max和d2max，如圖2a所示。點P2、P3與P1共同組成一個三角形，按下式判斷所構成三角形是否為鈍角三角形：

(2)

若為鈍角三角形，則以三角形最長邊為直徑、最長邊的中點為圓心作外接圓。如果所作外接圓包容凸包點集，那么所作外接圓為測量點集的最小外接圓；如果所作外接圓不能包容凸包點集，那么求解最長邊兩側與其相距最遠的兩點，與最長邊構成四邊形。在四邊形中，依次計算過相鄰三點的圓弧半徑，去除最大圓弧半徑值對應的點，構成新三角形。重復上述步驟，直至所構成的三角形外接圓能包容凸包點集，此時所作外接圓即為測量點集的最小外接圓。

若為銳角三角形，則按下式計算經過三點的外接圓的圓心O′(cx,cy)與半徑Rr：

(3)

A=x1(y2-y3)-y1(x2-x3)+x2y3-x3y2

如果所作外接圓包容凸包點集，那么所作外接圓為測量點集的最小外接圓；如果所作外接圓不能包容凸包點集，那么求解與圓心最遠距離的點，并與三角形三個頂點組成四邊形。如圖2b所示，某次計算過程中，△P1P2P3為銳角三角形且有測量點在所作外接圓外部，則搜索與圓心距離最大的點P4，對應距離為dismax。P4和△P1P2P3三個頂點構成四邊形P1P2P4P3，如圖2c所示。在四邊形中，依次計算相鄰三點的圓弧半徑，去除最大圓弧半徑值對應的點，構成新三角形。重復上述步驟，直至所構成的三角形外接圓能包容凸包點集，此時所作外接圓即為測量點集的最小外接圓，圓心為Omcc，半徑為rmcc。

所求最小外接圓對應的三角形頂點P′1、P′2和P′3即為最小外接圓的控制點，如圖2d所示。

1.2.2確定最大內接圓控制點

對于同樣一個測量點集Pi(xi,yi),i=1,2,…,n，按式(2)計算測量點集的中心點Op，依次求解點集中各點與Op的距離，得到與Op距離最小的點P5，連接直線P5Op。然后，分別搜索該直線兩側與直線距離最小的點P6和P7，對應距離分別為d1min和d2min，如圖3a所示，與點P5共同組成三角形。按式(2)判斷所構成三角形是否為鈍角三角形。

(a)搜索P1Ooch兩側與其距離最大點P2和P3(b)搜索與外接圓圓心O′距離最大點P4

(c)將點P4加入三角形組成四邊形(d)最小外接圓的控制點P′1、P′2和P′3圖2 最小外接圓控制點的搜索過程Fig.2 Search process of control points of minimumcircumscribed circle

若為鈍角三角形，則以三角形最長邊為直徑、最長邊的中點為圓心作外接圓。如果所有測量點均在所作外接圓上或外部，那么所作外接圓為測量點集的最大內接圓；如果有測量點在所作外接圓內部，那么求解最長邊兩側與其距離最小的兩點，與最長邊兩點構成四邊形。如圖3b所示，某次計算過程中，△P5P6P8為鈍角三角形且有測量點在所作外接圓內部，則求解最長邊P6P8兩側與其距離最小的兩點P5和P9，對應距離分別為dis3min和dis4min。點P5和P9與最長邊P6P8構成四邊形P5P6P9P8，如圖3c所示。在四邊形中，依次計算過相鄰三點的圓弧半徑，去除最小圓弧半徑值對應的點，構成新三角形。重復上述步驟，直至所有測量點均在所構成的三角形外接圓上或外部，此時所作外接圓即為測量點集的最大內接圓，圓心為Omic，半徑為rmic。

若為銳角三角形，則按式(3)計算經過三點的外接圓的圓心與半徑。如果所有測量點均在所作外接圓上或外部，那么所作外接圓為測量點集的最大內接圓；如果有測量點在所作外接圓內部，那么求解與圓心距離最小的點，與三角形三個頂點組成四邊形。依次計算四邊形相鄰三點的圓弧半徑，去除最小圓弧半徑值對應的點，構成新三角形。重復上述步驟，直至所有測量點均在所構成的三角形外接圓上或外部，此時所作外接圓即為測量點集的最大內接圓。

所求最大內接圓對應的三角形頂點P″1、P″2和P″3即為最大內接圓的控制點，如圖3d所示。

(a)搜索P5Op兩側與其距離最小的點P6和P7(b)搜索最長邊P6P8兩側與其距離最小點P5和P9

(c)點P5、P6與P9、P8構成四邊形(d)最大內接圓的控制點P″1、P″2和P″3圖3 最大內接圓控制點的搜索過程Fig.3 Search process of control points of maximuminscribed circle

1.2.3確定最小區域圓控制點

如圖4a所示，對于點集Pi(xi,yi),i=1,2,…,n，將最小外接圓控制點P′1、P′2、P′3存入外控制點集Cmax中，將最大內接圓控制點P″1、P″2、P″3存入內控制點集Cmin中，從Cmax與Cmin中各任意選擇兩點構建同心圓。

設每次從Cmax中選擇的點坐標為Pα1(x1,y1)，Pα2(x2,y2)，從Cmin中選擇的點坐標為Pβ1(x3,y3)，Pβ2(x4,y4)。按下式計算同心圓圓心坐標(xx,yy)：

(4)

其中，k1為直線Pα1Pα2的斜率;k2為直線Pβ1Pβ2的斜率;x1mid、y1mid分別為點Pα1與Pα2中點的橫坐標和縱坐標;x2mid、y2mid分別為點Pβ1和Pβ2中點的橫坐標和縱坐標。

計算每種情況下構建的兩同心圓能否包容Cmax與Cmin中所有的測量點。如圖4b所示，當構建的兩同心圓可以包容全部Cmax與Cmin中的測量點時，選擇半徑差最小的兩同心圓對應的Pα1、Pα2、Pβ1與Pβ2進行后續計算。將Pα1、Pα2存入點集Dmax中，Pβ1、Pβ2存入Dmin中。計算同心圓的半徑rout、rin與測量點集Pi(xi,yi)中各點到同心圓圓心的距離di。如圖4c所示，若dmax>rout，則dmax對應的測量點加入Dmax中；若dmin

(a)內外控制點集 (b)包容內外控制點

(c)dmin對應測點加入Dmin (d)圓度誤差評定圖4 最小區域圓控制點的搜索過程Fig.4 Search process of control points ofminimum zone circle

1.2.4誤差評定

最小區域圓法評定的圓度誤差

fmzc=rout-rin

(5)

2 控制點有效性分析

為驗證所提出的MCC和MIC控制點求解方法以及MZC控制點構建模式的有效性與準確性，分別使用LSC、優化的MCC、優化的MIC和改進式MZC等方法對文獻[15]中表3、表5和表7的點集數據進行評定，結果如圖5～圖7所示。

圖5 文獻[15]中表3數據評定結果Fig.5 Evaluation results of tab.3 in literature [15]

圖6 文獻[15]中表5數據評定結果Fig.6 Evaluation results of tab.5 in literature [15]

圖7 文獻[15]中表7數據評定結果Fig.7 Evaluation results of tab.7 in literature [15]

最小二乘圓有2個控制點，最小外接圓有3個控制點，最大內接圓有3個控制點，最小區域圓有4個控制點。該結果與理論相符，LSC法需要內、外2個極限距離的控制點，MCC與MIC法需要3個(或2個)頂點構建最小外接圓或最大內接圓，MZC法需要內、外各2個控制點確定同心圓。

對于MCC和MIC法，優化前后獲得的誤差值基本保持一致；在面向某些點集數據時，優化后的方法甚至獲得了更小的誤差值。更小的誤差評定值對應的評定方法被視作更好的方法，這是因為該方法獲得了更小的符合圓度誤差定義的最小區域。因此，優化后的方法在求解MCC和MIC控制點方面展現出了更好的競爭力。同樣地，與文獻[15]中的MZC法相比，使用本文提出的改進式最小區域圓法獲得了相同或更小的誤差值，這意味著該方法在測量截面上搜索到了更好的最小區域。由此表明，構建MZC控制點的模式以及搜索得到的最小區域圓是有效的。

3 測量數據的隨機誤差對誤差結果的影響

軸孔類零件圓度誤差的獲取分為數據測量和數據評定兩個過程。改進式最小區域圓法每一步搜索得到的幾何值均為確定極值，因此，在面向同一測量數據點集時，由該評定方法計算的誤差結果具有唯一性。然而，由于數據測量過程具有不可避免的隨機誤差，因此在對某一確定測量截面進行采樣時，每次獲得的數據點集在空間中的分布情況都是不同的。最小區域圓定義為包絡所有數據點集的兩個最小同心圓，這導致所有基于最小區域圓原理的誤差評定方法均會受到樣點分布情況的影響。換言之，測量數據的隨機誤差會給評定結果造成一定的不確定性，使其在一定數值范圍內波動。

為探究測量數據的隨機誤差對評定結果的影響規律，在MATLAB 2018b軟件平臺上對直徑100 mm的理想圓線進行離散化處理，分別獲得n為50、100、200、500和1000個理想離散數據點，并依次對不同數量的數據點集引入均值為0、標準差σ為0.1、0.01或0.001的正態分布隨機變量，以模擬測量數據的隨機誤差。在某一樣點數量和某一標準差的狀態下，連續運行10次，獲取10組不同的數據點集，使用改進式最小區域圓法進行誤差評定，評定結果如圖8所示。分別對10組誤差結果進行統計學分析，平均值A和方差V如圖9所示。

圖8 誤差評定結果Fig.8 Evaluation results of errors

(a)σ=0.1

(b)σ=0.01

(c)σ=0.001圖9 誤差結果的平均值和方差Fig.9 Average and variance of error results

隨機誤差的標準差主要取決于采樣設備的測量精度。在相同的標準差下，樣點個數的增加會使誤差結果的方差減小；在相同的樣點個數下，隨機誤差標準差的減小會使誤差結果的平均值顯著減小。這說明，通過增加采樣點個數以及提高測量設備精度的方式，可以有效降低隨機誤差對誤差測量、評定過程的影響。

4 誤差測量與評定實驗

由于本文提出的圓度誤差評定方法是面向軸孔類零件的，故使用Hexagon Global Advantage三坐標測量機對管狀零件的內外表面進行測量，并分別將其內外表面的測量樣點作為孔、軸類零件直線度誤差評定的數據基礎。該三坐標測量機行程范圍為500 mm×700 mm×500 mm，測量精度為(2.5+3.0L/1000)μm，其中L為測量范圍。測量環境溫度為20 ℃，相對濕度為70%，無冷凝，供氣壓力為0.5 MPa。采用的測頭型號為TIP2BY球形，其校正誤差為0.0008 mm。對內徑85 mm、外徑100 mm、高200 mm的管狀零件的下底面做磨削處理，以保證該底面具有較好的平面度。然后，將零件置于三坐標測量機的大理石平臺上，以其下底面為oxy平面，構建測量坐標系，采樣現場如圖10a所示。如圖10b所示，在零件內外表面沿z軸方向等間距確定11個測量截面，在每個測量截面進行等間隔采樣。采樣路徑如圖10c所示，遵循路徑最短原則，保證測量效率。

(a)采樣現場 (b)采樣模式 (c)采樣路徑圖10 測量實驗示意圖Fig.10 Schematic diagram of measurement experiment

分別使用LSC方法、文獻[15]中的MZC方法與改進式MZC方法對管狀零件內外表面的圓度誤差進行評定，評定結果見圖11與圖12。

圖11 內表面圓度誤差評定結果Fig.11 Evaluation results of roundness errors of inner surface

圖12 外表面圓度誤差評定結果Fig.12 Evaluation results of roundness errors of outer surface

可以看出，相較于最小二乘圓法，最小區域圓法在處理不同數據時，均能保持最優的評定精度，這主要是由于后者最符合圓度誤差標準中的最小區域原則。而與文獻[15]中的MZC法相比，改進式最小區域圓法均獲得了相同或更小的誤差值，具有更好的評定精度。這說明改進式最小區域圓法適用于軸孔類零件圓度誤差的評定過程，且具有良好的準確性。

5 相關特性分析

5.1 不確定度

由式(5)可知，改進式最小區域圓法計算得到的圓度誤差可進一步表示為

(6)

其中，(xout,yout)、(xin,yin)分別為位于最小區域圓上的外控制點、內控制點。

根據GPS標準給出的不確定度理論[18]，確定圓度誤差模型中各元素(xout、yout、xin、yin、xx、yy)的不確定度、傳遞系數以及彼此間的相關系數，是求解圓度誤差值不確定度的基礎。各元素的傳遞系數由誤差值對各元素的偏導數表示，則圓度誤差的不確定度uf為

(7)

其中，u0、ux、uy、uxy分別為樣點坐標值的單點不確定度、x向圓心坐標的不確定度、y向圓心坐標的不確定度以及x向與y向圓心坐標間的相互不確定度；ρxy為x向與y向圓心坐標間的相關性系數。

將存在相關性的參數xx和yy視作一個統計向量ξ，通過對同一次采樣過程中得到的樣點進行分組擬合得到其協方差矩陣Cov(ξ)，該矩陣可用來表示參數的不確定度和相互不確定度[19]。在得到協方差矩陣后，還可以按下式計算獲得參數間的相關性系數：

(8)

測量數據的單點不確定度u0主要取決于測量設備的示值誤差、重復性、溫度敏感性以及測量接觸力引起的變形等。由式(7)可知，圓度誤差的不確定度與測量數據的單點不確定度存在正比例關系，因此，測量設備精度的提高可有效增加誤差結果的可靠性。

5.2 評定效率

圖5～圖7統計了最小二乘圓法、最小外接圓法、最大內接圓法和改進式最小區域圓法在面向相同測量數據點集時的評定時間t。最小二乘圓法計算簡便，時間最短，但精度最差；而改進式最小區域圓法的搜索過程較為復雜，且時間最長，這是因為它是建立在最小外接圓法與最大內接圓法所獲控制點的基礎上進行求解的。但對于評定精度，最小區域圓法具有明顯優勢。

此外，使用改進式最小區域圓法對不同數量的點集數據進行了測試，表1所示為不同數量點集下最小區域圓法的評定時間。當點集數量為1000時，改進式最小區域圓法的評定時間也能保持在0.1 s左右，具有良好的評定效率，足以滿足實際的工程需求。

表1 不同數量點集下最小區域圓法評定時間

5.3 穩健度

改進式最小區域圓法基于最小區域圓原理，在評定過程中構建包絡所有樣點的兩個最小同心圓；而最小二乘圓法是通過最小化各樣點與圓心間的誤差值實現的。從評定原理上分析，改進式最小區域圓法對測量數據本身的敏感性要大于最小二乘圓法，因此，在面對奇異測量點時，改進式最小區域圓法的穩健度要略低于后者。

為有效改進這一劣勢，在獲取測量數據點集時，基于測量設備自身的良好重復性，在某一確定測量截面上進行多次采樣，去除奇異測量點，并對每個位置處的多組樣點取平均值，以降低隨機誤差的影響，提高測量數據的準確性以及評定方法的穩健度。

6 結論

針對軸孔類零件圓度誤差的精準評定，本文提出了一種簡單有效的改進式最小區域圓法,避免了凸包求解給評定算法造成的復雜性和不確定性。基于點間距離和多邊形去除法則優化了最小外接圓控制點和最大內接圓控制點的搜索過程，最小區域圓控制點依次從兩者的控制點集中進行選取，以點間距離為優化目標，逼近點集的最小區域圓。

面向同樣的測量點集，相較于優化前，優化后的最小外接圓法、最大內接圓法和最小區域圓法均獲得了相同或更小的誤差值，搜索到了更優的目標圓線，這證明了所提出評定算法控制點的有效性。通過仿真實驗分析了測量數據的隨機誤差對誤差結果的影響，隨著數據點個數的增加以及測量設備精度的提高，隨機誤差的影響明顯降低。

最后，對管狀零件內外表面圓度誤差進行了測量與評定實驗，研究了改進式最小區域圓法的相關特性:

(1)該方法在評定精確性上展現出了與其他方法等同甚至更優的競爭力，足以在測量點集空間范圍內建立更好的包絡圓。

(2)算法的不確定度取決于測量設備的精度以及使用條件，測量設備精度的有效提升可以有效提高結果的可靠性。

(3)算法在面向較多數量的測量點時仍表現出了良好的評定效率，滿足實際的工程使用需求。

(4)測量設備依賴自身重復性在同一位置多次采樣，去除奇異點并取平均值，可以有效提高算法的穩健度。這說明了改進式最小區域圓法適用于軸孔類零件圓度誤差的評定過程。