天才與凡人

摘要：數學教育目標的確定應當立足于大多數學生，這也是我們為什么應當超出數學從更一般的角度進行分析的主要原因。除去與藝術的對照，文化的視角也可在這方面給我們重要的啟示：應當切實抓好“入”與“出”這樣兩個關鍵詞，努力創建好的“數學課堂文化”與“數學教學共同體”。

關鍵詞：數學教育;數學核心素養;文化視角;數學課堂文化

美國數學家保羅·洛克哈特認為，數學如同音樂、繪畫及詩歌一樣，也是一門藝術。② 保羅·洛克哈特.一個數學家的嘆息——如何讓孩子好奇、想學習、走進美麗的數學世界[M].高翠霜，譯.上海：上海社會科學院出版社，2019：12，43。相關人士對他關于我們應當如何從事數學教學的主張提出責疑：不是每個人都是當藝術家的料，那些沒有“數學天分”的孩子怎么辦？②

現實中又的確存在這樣一個明顯的差異：相對于“自己的孩子沒有數學天分”，家長似乎更加可以心平氣和地接受“自己的孩子不是當藝術家的料”，包括認同一般學校中的藝術教育應以提升學生的藝術素養為基本目標。

那么，我們究竟該如何看待數學教育中的相關現象呢？

一、 數學教育要給學生更多的探索機會，鼓勵“有指導的再創造”

事實上，保羅·洛克哈特在自己的著作中也正是以藝術教育為背景對數學教育的現狀提出了批評：“一位音樂家滿身大汗地從噩夢中驚醒。夢中，他發現自己置身于一個奇怪的社會，那里的音樂教育是強迫性的。‘我們是要幫助學生，讓他們在這個越來越多聲音的世界上，變得更有競爭力。”②③④ 保羅·洛克哈特.一個數學家的嘆息——如何讓孩子好奇、想學習、走進美麗的數學世界[M].高翠霜，譯.上海：上海社會科學院出版社，2019：23，2425，26，38。具體地說，保羅·洛克哈特所批評的主要是這樣一種教學方式：“在小學和中學階段，學校的任務就是訓練學生使用這種語言——根據一套固定的規則繞著符號打轉：‘音樂課就是我們拿出五線譜紙，老師在黑板上寫下一些音符，然后我們抄寫下來，或是轉換成其他調。我們必須確定譜號和調號的正確性，而我們的老師對于四分音符是否涂滿，要求非常嚴格……較高年級的學生，壓力就真的來了。畢竟，他們必須為標準化的測驗和大學入學考試做準備。學生必須修習音階（scales）和調式（modes）、拍子（meter）、和聲（harmony）、復調（counterpoint）等課程。‘他們得學習一大堆東西，但是等到大學他們終于聽到這些東西，他們將會很感激在高中所做的這些努力。當然，后來真的主修音樂的學生并不多，所以只有少數人得以聆聽到‘黑色豆芽菜所代表的聲音。”②以下則是洛克哈特給這一“夢境”設計的結尾：“這位音樂家一身冷汗地從夢中醒來，慶幸那只是一場瘋狂的夢境。他跟自己說：‘當然，沒有哪個社會會將這么美妙又有意義的藝術形式，分解到這么不需動腦又支離破碎;也沒有哪種文化會這么殘酷地剝奪孩子們這種展現人類情感的自然手段。這真是荒謬呀！”③

以上論述事實上對數學教師的教學提出了更高的要求：我們應給學生更多的探索機會，從而讓他們獲得創造性工作的真切體驗，并能因此喜歡上數學。

不難想到，這也是現實中人們何以對“學數學，做數學”這一主張普遍持肯定態度的主要原因，即認為我們應當讓學生通過“做數學”來“學數學”。

當然，對于所說的“學數學”，我們又不應僅僅理解成具體數學知識和技能的學習，而應將情感、態度與價值觀的培養也考慮在內，特別是，應讓學生真切地感受到數學的魅力，從而真正地愛上數學。對于“做數學”，我們也不應簡單地理解成“動手實踐”。我們不應通過使數學變得簡單、容易讓學生愛上數學，比如讓他們通過游戲來學習數學，或是完全放棄關于嚴格證明的要求。恰恰相反，我們應當幫助學生學會堅持，學會面對失敗，并由相應過程感受到更深層次的一種快樂：由探究和發現帶來的快樂，由智力滿足帶來的快樂。與此相對照，“如果你不讓學生有機會參與這項活動——提出自己的問題、自己猜測與發現、試錯、經歷創造中的挫折、產生靈感、拼湊出他們的解釋和證明——你就是不讓他們學習數學”④。

從同一角度我們也可更好地理解荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾提出的“再創造”原則，即認為應當讓學生通過“重復”歷史上的發明創造來學習數學。

但從實踐的角度看，仍然存在這樣一個問題：上述主張是否真的可行？因為，畢竟大多數學生都不是數學天才，而是凡人。也正是基于這樣的考慮，弗賴登塔爾后來就將自己的主張變成了“有指導的再創造”，即認為教師應當在這方面發揮重要的指導作用。

二、 數學教師需提供必要的示范和支持，從更廣泛的角度認識數學教育的價值

那么，數學教師究竟應當如何從事指導工作呢？以下是兩個特別重要的方面：第一，必要的示范，從而幫助學生弄清努力的方向;第二，鼓勵學生積極開展探究，包括給予他們必要的支持。

我們還應從上述角度理解“作業教學”的重要性。這方面的工作絕不應滿足于簡單意義上的“問題解決”，即學生能夠順利地完成作業，而應使他們通過實際從事解題活動有更大的收獲，特別是逐步愛上數學。

為了更清楚地說明問題，我們還可從文化的視角作出進一步的分析。

就小學低年級學生而言，學習數學就像進入了一個新的國家、一個新的文化環境。顯然，在剛剛進入一個新的國家、一個新的文化環境時，新進者的首要任務就是很好地了解并努力地適應當地的風俗習慣，包括不同的語言文字、行為方式與道德規范等。這也正是教師應當幫助低年級學生較好地完成的一項任務，也就是很好地了解并努力適應這樣一種新的思維方式和工作方式：數學家的思維方式與工作方式。這主要是一個規范化的過程。

當然，數學教學不應停留于純粹的“外部規范”，從而使學生始終處于“無可奈何地適應”這樣一種完全被動的狀態，而應高度重視如何使學生由被動轉向主動，即能夠很好地理解數學思維方式與工作方式的合理性與必要性，從而能夠發自內心地欣賞，并能自覺地融入其中。容易想到，后者事實上也可被看成一個新進者是否真正融入了一個新的國家、一個新的文化環境的主要標志。

在此還應特別強調這樣一點：由“了解和適應”向“理解和欣賞”的轉變并不局限于小學低年級，而有著更大的普遍性。例如，這也是小學畢業生進入中學后必須很好地實現的一項轉變，即由“初等數學思維”轉向“高層次數學思維”。這也就是指，他們不僅應當很好地適應“概念的明確定義”與“結論的嚴格證明”這樣兩個要求，也應很好地理解這一轉變的合理性與必要性。

綜上可見，采取文化的視角確可為我們改進教學提供有益的啟示。但是，就我們目前的論題而言，仍然存在這樣的問題：并非所有的新進者都能很好地適應乃至真心喜歡新進入的國家或文化環境。

更重要的是，在此所涉及的又不只是可行性問題，還包括所說的“適應和欣賞”是否真有必要，或者說，我們是否應當要求所有的學生都真正喜歡數學。

事實上，正如先前關于藝術教育的分析所表明的，我們或許不僅應當接受“并非所有的孩子都有‘數學天分”這樣一個結論，而且根本不應要求所有的學生都愛上數學！

進而，從同一角度，我們也可更好地理解積極提倡“核心素養”的重要性，包括這樣一點，即我們應當跳出狹隘的專業視角，并從更廣泛的角度認識數學教育的價值。這也就是指，數學教育對于提升個人與社會的整體素養究竟有哪些特別重要甚至是不可取代的作用。

再者，相信大家從同一角度也可很好地認識以下主張的局限性，即認為我們應將所謂的“三會”（“會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界”）看成數學教育的終極目標。具體地說，數學思維顯然只是文學思維、藝術思維、哲學思維、科學思維等多種思維方式中的一種，它們都有一定的合理性和局限性。而且，并非所有的學生將來都要用到數學思維，數學思維也并非適用于所有的工作和場合。對于“數學語言”和“數學眼光”，我們也可作出同樣的分析。

三、 一個重要的啟示：要突出“入”，也要重視“出”，努力創建好的“數學課堂文化”與“數學教學共同體”

我們究竟應當如何把握數學教育的基本目標，或者說數學核心素養的具體內容呢？除去已提到的“可行性”和“必要性”以外，筆者以為，相關主張還應很好地實現這樣一個要求，即論述上簡單明了、實踐中切實可行。

相信大家由以下兩個實例可在這方面獲得直接啟示，盡管它們所論及的都只是語文教育，是關于語文核心素養的實踐性解讀：“‘培養終身閱讀者，培養負責任表達者，是我校歷經多年錘煉并在2012年最終確立的語文學科宣言，是我們堅定的學科信念、行動指針。今天，這也是用我們自己的句子表述的語文核心素養。”唐江澎.培養終身閱讀者，培養負責任表達者[J].人民教育，2017（3/4）：69。

“學科的育人價值是什么？基于學科特質學生需要的核心又是什么？對這兩個問題的追問，是核心素養落地的關鍵。

“2009年，重慶市巴蜀小學提出了‘愛讀書、善思考、會表達9個字的語文學科核心價值追求。2015年，學校開始研究學科核心素養，并對巴蜀小學的育人特質進行了再次修改和校本化解讀。”丁小彥.是什么決定了教室的尺度？[J].人民教育，2017（3/4）：106。以下再對數學教育與語文教育的基本目標做統一分析。

這是臺灣作家林清玄先生關于“什么是幸福”的論述：“要通過生命不斷的轉彎，發現多元的樣貌，而不要生活在一元的狀態下”;“今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧，今天比昨天快樂，這就是成功”。筆者以為，這里所說的“今天比昨天慈悲”就涉及語文教育的目標：“什么是重要的事情呢？一是愛，能愛，能表達愛;二是美，懂美，追求美;三是情，有愛，有情感;四是義，正義的義;五是感動，美好的情感能被激發。”林清玄.“幸福，是打開內心的某個開關”[N].新華日報，20140917（15）。這也就是指，語文教育應讓學生具有滿滿的愛心！

與此相對照，數學教育的主要任務則是讓學生一天比一天更加智慧，一天比一天更加聰明，即我們應當通過數學教育努力促進學生思維的發展，特別是努力提升他們的思維品質，并由理性思維逐步走向理性精神。

簡言之，如果說“用詩意的語言感染學生”是語文教師應當努力實現的一個境界，那么，數學教師的主要責任就是“以深刻的思想啟迪學生”。

為了清楚地說明問題，在此特別轉引著名數學家、“問題解決”現代研究的主要倡導者波利亞的論述：“一個教師，他若要同樣地去教他所有的學生——未來用數學和不用數學的人，那么他在教解題時應當教三分之一的數學和三分之二的常識。對學生灌注有益的思維習慣和常識也許不是一件太容易的事，一個數學教師假如在這方面取得了成績，那么他就真正為他的學生們（無論他們以后是做什么工作的）做了好事。能為那些70%的在以后生活中不用科技數學的學生做好事當然是一件最有意義的事情。”喬治·波利亞.數學的發現（第二卷）[M].劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.呼和浩特：內蒙古人民出版社，1981：182。這段論述不僅清楚地表明了我們應當如何把握數學教育的基本目標，以此為依據，我們也可更清楚地認識到簡單地提倡“三會”的錯誤性。

還應強調的是，上述論述中所提到的“思維習慣和常識”可被看成這一論述的核心。當然，我們所提倡的并不是重新回到人們由日常生活和工作所已形成的思維習慣和常識，而是它們在更高層次的重構。

在筆者看來，從同一角度，我們也可清楚地認識到“整合教學”的局限性：如果過早地提倡“不同學科的整合”，乃至“基礎學科的去學科化”，包括完全脫離專業學習去談論“個人品質與氣質”等一般性素養的養成，這在很大程度上就是回到了孔子的教育思想，并將導致教育事業的嚴重倒退。也就是說，我們不僅未能很好地實現對于“專業化”的必要超越，而且，如果缺乏自覺性的話，反而會由初步的“專業化”重新回到“無專業”這一原始狀態，即只是“高級狀態”的一種庸俗化。恰恰相反，我們所提倡的應是“專業化”基礎之上的“去專業化”。

也正因此，從文化的視角看，我們就應引出這樣一個進一步的結論：就數學教學而言，我們不僅應當突出“入”這樣一個關鍵詞，即從一開始就特別重視幫助學生很好地了解和適應數學家的思維方式和工作方式，而且應當高度重視“出”這樣一個關鍵詞，即跳出數學并從更大的范圍認識數學教育的價值，特別是幫助學生通過數學學會思維，努力提升他們的思維品質，包括由理性思維逐步走向理性精神。

當然，所說的“出”并不排斥對數學家思維方式和工作方式的“適應和欣賞”，只是我們所提倡的已不是單純的“融入”或“追隨”，而是“以我為主，為我所用”，也即我們應當通過數學學習努力促進自身的發展，很好地實現自我的不斷完善。

簡言之，我們應幫助學生在數學學習中實現更大的自覺性：不只是“愛上數學”，也不只是在數學學習中取得較好的成績，而是通過數學學習不斷地完善自我。

例如，從這一角度，我們可更好地理解努力幫助學生學會“長時間思考”的重要性，盡管這對于學生在各類考試中取得更好的成績似乎并無明顯的效果。具體地說，這正是人類思維的一個重要特點，即“快思”占據主導地位。但是，盡管“快思”對于人們的工作和生活具有十分重要的作用，但也有明顯的局限性，特別是，常常會導致各種規律性的錯誤。也正因此，作為自覺的努力，我們就應十分重視如何能夠逐步地學會“長時間思考”，從而切實提高自身的思維與認識能力，包括有效克服與糾正“快思”所可能導致的各種錯誤。鄭毓信.“數學與思維”之深思[J].數學教育學報，2015（1）：15。

更一般地說，相信大家也可更好地理解筆者對于“數學深度教學”的提倡。這就是指，數學教學必須超越具體知識和技能深入到思維的層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般性思維策略與思維品質的提升。我們并應幫助學生由在教師（或書本）的指導下學習逐步轉變為學會學習，包括善于通過同學間的合作與互動學習，從而真正成為學習的主人。參見：鄭毓信.數學深度教學的理論與實踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020。

綜上可見，相關分析對于我們做好數學教學有重要的啟示意義，特別是，這可被看成我們真正做好數學教學的關鍵，即很好地弄清自己應在哪些方面作出切實的努力，又如何才能使學生有更大的收獲，從而就可在教學中表現出更大的自覺性。

值得指出的是，這事實上也正是教師所應經常思考的兩個問題，并直接關系到了教師工作的“初心”與“使命”：“‘你為什么要當教師？才當教師的時候，我可能只是想以此謀生。隨著時間的推移，現在的我愿意這樣回答：‘我當教師，是想讓一些人有所改變。

“‘你準備當什么樣的教師？這是為自己的教育人生確立方向和目標。我的回答是：準備成為當下學生不那么討厭、若干年以后學生還樂于談論的教師。……我能想到‘最浪漫的事，就是在教師生活中有一些超越和創造，一路上收藏點點滴滴的創造，退休以后坐在搖椅上跟自己的子孫們慢慢聊。千萬不要在別人問起自己的教師生活時，什么也說不出來。”陳大偉.當教師，需要想好幾個問題[J].教育研究與評論，2021（5）：125。進而，這也可被看成教育工作為什么應當高度重視“文化的視角”的主要原因：“從過程看，文化的實質就是找到美好的、值得追求的東西，然后用這樣的東西去影響人，改變人，使人變得美好。”陳大偉.觀課議課的“以人為本”[J].教育研究與評論（課堂觀察），2021（6）：6。

最后，也正是從文化的視角分析，我們可清楚地認識創建好的“數學課堂文化”與“數學學習共同體”的重要性。因為，從文化的視角看，學習主要是一個文化傳承的行為，而所謂的“潛移默化”則又具有特別重要的作用。也就是指，這在很大程度上是通過特定環境與相應群體中的學習生活逐步形成的。

具體地說，我們應努力創建這樣一種“數學課堂文化”：“思維的課堂，安靜的課堂，互動的課堂，理性的課堂，開放的課堂。”顯然，即使大多數學生不具有“數學天分”，不是天才，只是凡人，也仍然可以由這樣的“數學課堂文化”與相應的“數學學習共同體”獲得很大的收獲，即得到一些對于他們未來的工作和生活真正有用的東西。（鄭毓信，南京大學哲學系，教授，博士生導師。享受國務院特殊津貼專家，江蘇省文史研究館館員。從事學術研究與各類教學工作50多年，包括中學、大學、研究生教育與各類教師培訓工作，多次赴英、美等國以及我國港臺地區做長期學術訪問或合作研究，赴意大利、荷蘭、德國等國多所著名大學做專題學術講演。出版專著30余部，在國內外學術刊物上發表論文近500篇，學術成果獲省部級獎7次。在數學哲學、數學教育、科學哲學與科學教育領域有較大影響。）