漂浮基空間機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡跟蹤的時(shí)延估計(jì)控制

徐河振，于瀟雁，2，陳 力

(1.福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福州 350116;2.流體動力與電液智能控制福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州 350116)

0 引言

隨著空間技術(shù)的快速發(fā)展，太空的資源逐漸被重視起來，航天器在軌服務(wù)任務(wù)也逐漸增多，這些技術(shù)的革新給生活的通訊、遙感、數(shù)據(jù)傳輸?shù)葞砹司薮蟮谋憷??？臻g機(jī)器人技術(shù)也將在惡劣的外太空環(huán)境中完成大量的艙外任務(wù)，因此，空間機(jī)器人控制工程的研究成為熱門話題之一［1-4］。其中存在大量影響空間機(jī)器人系統(tǒng)可靠性的因素，不僅包括諸多外部因素，如稀缺寶貴的燃料，外部環(huán)境的強(qiáng)干擾性，還包括內(nèi)部因素，如非線性、強(qiáng)耦合性、奇異性、參數(shù)不確定性等，這些因素都將增加機(jī)器人系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的難度［5-8］。因而針對非線性、強(qiáng)耦合性等問題，先進(jìn)的控制方法，如自適應(yīng)控制、模糊控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制等，在機(jī)器人系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。

不同的控制方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，如滑模變結(jié)構(gòu)控制法可控對象多樣化，控制目標(biāo)和應(yīng)用范圍廣，控制策略針對不連續(xù)性問題有較好的應(yīng)對方法，是非線性的控制方法，強(qiáng)大的魯棒性和簡單的結(jié)構(gòu)備受機(jī)器人領(lǐng)域研究者的關(guān)注［9-11］。為了使機(jī)器人系統(tǒng)能夠快速響應(yīng)、較高精度地跟蹤既定軌跡，基于時(shí)延估計(jì)的控制設(shè)計(jì)越來越受到研究者的關(guān)注，時(shí)延估計(jì)不需要知道被控對象的全部信息，易于設(shè)計(jì)和應(yīng)用，還削去了控制參數(shù)的繁瑣工作［12-14］。但是時(shí)延估計(jì)帶來的誤差及位姿狀態(tài)帶來非線性項(xiàng)，均會對系統(tǒng)的魯棒性造成影響，需要結(jié)合先進(jìn)的控制方法消除諸多因素的影響。

Jong 等［15］采用滑?？刂品椒ㄌ岣邥r(shí)延的魯棒性，但是傳統(tǒng)滑模帶來的抖振問題，會降低控制的品性。Jin 等［16］為獲得機(jī)器人高精度的跟蹤控制方法，引入非奇異終端滑?？刂撇⒔Y(jié)合時(shí)延估計(jì)策略，在無需獲得機(jī)器人動力學(xué)模型全部知識的情況下，獲得了較高的跟蹤精度，但是控制精度有待提高。Dong 等［17］研究了存在非線性外部干擾時(shí)，對實(shí)時(shí)延控制的影響，然后提出基于梯度估計(jì)的時(shí)延控制策略。Zhang 等［18］研究了基于時(shí)延估計(jì)的一種魯棒H∞有限時(shí)間跟蹤控制器，采用高增益觀測器對關(guān)節(jié)速度進(jìn)行估計(jì)，具有較好的收斂性，閉環(huán)系統(tǒng)的證明顯示較高的準(zhǔn)確性和較強(qiáng)的魯棒性可消除錯(cuò)誤和外部干擾。Kali 等［19］針對沒有驅(qū)動關(guān)節(jié)的仿人雙足機(jī)器人，提出基于仿人雙足機(jī)器人系統(tǒng)動力學(xué)魯棒非線性控制器，基本思路是用時(shí)延估計(jì)方法逼近復(fù)雜動力學(xué)參數(shù)及干擾因素，然后導(dǎo)出滑?？刂破?，設(shè)計(jì)方案簡單，但是動力學(xué)模型建立較為復(fù)雜，最后計(jì)算出的扭矩輸入被轉(zhuǎn)換為位置控制器，用于使用控制開關(guān)的伺服驅(qū)動，精度較高，收斂快速。Xu 等［20］研究了多智能體系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的一致性，并根據(jù)實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)輸出滑?？刂茀?shù)。采取移動有限差分的方法對滑模面中的未知輸出進(jìn)行近似求解，對誤差進(jìn)行估計(jì)和細(xì)化，得到新的時(shí)滯關(guān)聯(lián)滑動曲面，對其中存在估計(jì)偏差、奇異攝動和外部干擾等進(jìn)行削弱。此方法可以在有限時(shí)間內(nèi)減小誤差，輸入和輸出的滑模控制具有簡單的靜態(tài)形式且沒有引入額外的動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)。Cmn 等［21］研究了線性時(shí)延系統(tǒng)下的滑模觀測器狀態(tài)及故障估計(jì)問題，對于觀測狀態(tài)和輸出都有恒定的延遲。通過適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)變換濾波方法，提出了一種新的滑模觀測器方案，解決狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性和故障估計(jì)誤差。

以上學(xué)者在時(shí)延估計(jì)方面做出了大量的研究，但是對于現(xiàn)有的時(shí)延估計(jì)控制，大部分的文獻(xiàn)是針對參數(shù)不確定問題的研究，忽略了時(shí)延估計(jì)控制策略的響應(yīng)靈敏性、時(shí)延估計(jì)時(shí)間較長、時(shí)延估計(jì)誤差補(bǔ)償控制的抖振等問題。本文主要以時(shí)延估計(jì)為主框架，對不確定參數(shù)進(jìn)行在線估計(jì)，引入滑模變結(jié)構(gòu)控制策略，滑模變結(jié)構(gòu)控制策略具有響應(yīng)快、對參數(shù)變化不靈敏、優(yōu)化仿真的特點(diǎn)，但是滑模變結(jié)構(gòu)控制在滑模面上因開關(guān)特性給系統(tǒng)帶來了抖振問題，減小時(shí)延控制系統(tǒng)的跟蹤幅度，使?fàn)顟B(tài)軌跡作小幅度、高頻率的上下運(yùn)動。通過在滑模變結(jié)構(gòu)控制策略中創(chuàng)新性地引入趨近律的方法，確保到達(dá)滑動模態(tài)過程的動態(tài)品質(zhì)，削弱高頻控制信號的抖動，解決機(jī)械臂系統(tǒng)在操作過程中的抖振問題，最后通過三桿空間機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。所設(shè)計(jì)的控制方法不僅能抵消不確定參數(shù)的影響，還能對時(shí)延估計(jì)誤差做出補(bǔ)償，大幅度提高控制系統(tǒng)的魯棒性能，并且在時(shí)延估計(jì)過程中還能簡化控制算法。

1 漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)動力學(xué)模型的建立

首先是建立漂浮基空間機(jī)械人系統(tǒng)動力學(xué)模型，其幾何結(jié)構(gòu)如圖1 所示，整個(gè)系統(tǒng)是由漂浮基座B0、剛性機(jī)械臂B1、剛性機(jī)械臂B2、剛性機(jī)械臂B3共同組成，且各組件Bi(i=0，1，2，3)之間均由剛性旋轉(zhuǎn)鉸鏈進(jìn)行鉸鏈接，然后建立平動慣性坐標(biāo)系O-XY 與基座、機(jī)械臂的主軸聯(lián)體坐標(biāo)系(Oi-xiyi)，其中O0是基座B0的質(zhì)心，Oi(i=0，1，2，3)為各關(guān)節(jié)鉸中心位置，各機(jī)械臂桿Bi的質(zhì)心Oci(i=0，1，2，3)在各轉(zhuǎn)動桿的中心位置上。設(shè)O0O1之間的距離為L0，各機(jī)械臂Bi長度為Li(i=0，1，2，3)，Oi到Oci之間的距離為ai(i=0，1，2，3)。其中mi、Ji(i=0，1，2，3)分別為各分體的質(zhì)量和中心轉(zhuǎn)動慣量，C 為系統(tǒng)的總質(zhì)心，M=m0+m1+m2+m3為系統(tǒng)的總質(zhì)量。

圖1 漂浮基剛性空間機(jī)器人模型幾何結(jié)構(gòu)系統(tǒng)示意圖

機(jī)器人系統(tǒng)在O-xy 平面內(nèi)運(yùn)動，各組件的幾何位置關(guān)系可以表示出來，q0為基座B0的姿態(tài)角，q1、q2、q3分別為各機(jī)械臂關(guān)節(jié)角的相對轉(zhuǎn)角，其中各組件的質(zhì)心Oci對于原點(diǎn)O 的位置矢徑為ri(i=1，2，3)，求ri對時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)便可得到各機(jī)械臂質(zhì)心相對于慣性坐標(biāo)系O-XY 的速度向量(i=1，2，3)。

在太空空間中，微弱的重力可以忽略不計(jì)，漂浮基剛性空間機(jī)器人在無外力作用下滿足質(zhì)心定理和動量矩守恒關(guān)系，即:

對于系統(tǒng)的動能T，有:

式中:wi為各組件i 的角速度向量;T 為一組適當(dāng)選擇的慣性參數(shù)的線性函數(shù)。忽略微重力作用，空間機(jī)器人系統(tǒng)的重力勢能為零，可以聯(lián)立Language 第二類動力學(xué)方程、動能定理、動量矩守恒等關(guān)系，得到位姿不受控的空間機(jī)器人系統(tǒng)的動力學(xué)方程:

式中:q=［q0q1q2q3］T為系統(tǒng)載體姿態(tài)角和機(jī)械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，D(q)∈R4×4的對稱、正定系統(tǒng)慣量矩陣;∈R4×4是包含科氏力、離心力的正定矩陣，τ 為控制姿態(tài)角及3 個(gè)機(jī)械臂關(guān)節(jié)角的關(guān)節(jié)驅(qū)動電機(jī)輸出力矩。

則對于漂浮基空間機(jī)器人動力學(xué)方程可寫為:

2 關(guān)于輔助參數(shù)的設(shè)計(jì)

對于漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性以及動力學(xué)參數(shù)不確定性和非線性等問題，設(shè)計(jì)了軌跡跟蹤控制方案，其目的是使其關(guān)節(jié)變量q 能夠有效地跟蹤上既定的期望軌跡qd，并且對于跟蹤誤差e 的要求，使其在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂到零。

設(shè)計(jì)理想狀態(tài)下機(jī)械臂關(guān)節(jié)角的期望軌跡為qrd=［q1dq2dq3d］T，機(jī)械臂關(guān)節(jié)角的實(shí)際軌跡為:qr=［q1q2q3］T，則機(jī)械臂關(guān)節(jié)角誤差可表示:

式中:ei=qi-qid，為機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)角的誤差(i=1，2，3)。

設(shè)計(jì)空間機(jī)器人系統(tǒng)的期望軌跡為qd=［q0］T，實(shí)際軌跡為。

同理，空間機(jī)器人系統(tǒng)各角度輸出跟蹤誤差可以表示為:

根據(jù)式(8)和式(9)引入系統(tǒng)輔助控制信號如下:

對式(10)求導(dǎo)得:

3 時(shí)延估計(jì)控制器的設(shè)計(jì)和分析

為了便于控制器的設(shè)計(jì)和分析，引入標(biāo)準(zhǔn)符號函數(shù)，定義如下:

式中x=［x1x2… xn］T∈Rn×1。

3.1 控制器的設(shè)計(jì)

機(jī)器人控制律設(shè)計(jì)為:

式中:ε＞0;K 為正常數(shù)對角矩陣。

引入時(shí)延估計(jì)，定義*t-L為* 的時(shí)間延遲估計(jì)，t定義為當(dāng)前時(shí)刻，L 定義為估計(jì)延遲時(shí)間，設(shè)計(jì)最小估計(jì)時(shí)間L 為采樣周期，實(shí)際應(yīng)用中，設(shè)置的采樣頻率大于30 倍系統(tǒng)寬帶時(shí)，此時(shí)數(shù)字控制的系統(tǒng)可以看作是連續(xù)系統(tǒng)，對于選取的L 滿足要求即可。

運(yùn)用t-L 時(shí)刻采樣點(diǎn)估算時(shí)刻的輸出力矩，對于式(7)采用L 的估計(jì)時(shí)延可得:

聯(lián)立式(13)—(16)，則機(jī)器人控制律設(shè)計(jì)可以進(jìn)一步改寫為:

在機(jī)器人控制律設(shè)計(jì)中，如式(17)中，避免了復(fù)雜機(jī)器人動力學(xué)參數(shù)的獲取，簡化了仿真算法，但是在獲取過程中會有所要求，可以利用對過去時(shí)間的控制輸入和已知的過去角度進(jìn)行在線獲得，即t-L 時(shí)刻的關(guān)節(jié)加速度為:

聯(lián)立式(7)(13)可得:

式(14)代入式(19)可得:

3.2 穩(wěn)定性分析

聯(lián)立式(13)(15)(22)得:

由式(6)可得:

式(24)代入式(23)可得:

式中:

整理式(25)可得:

式中:

然后求V 關(guān)于時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)，可以得到:

設(shè)計(jì)δ=［δ1，δ2，…，δn］T，s=［s1，s2，…，sn］T，K=diag(k1，k2，…，kn)且ki＞0，則式(31)可以改寫為:

取足夠小的時(shí)延時(shí)間L，在有限的時(shí)間內(nèi)的某一時(shí)刻T，即存在t→T 時(shí)，s→0、，關(guān)于姿態(tài)角及關(guān)節(jié)角的跟蹤誤差e→0、。在式(21)中，可以認(rèn)為時(shí)延估計(jì)δ 滿足趨近于零的條件，可以將δ 看作是時(shí)延估計(jì)的誤差的有界干擾項(xiàng)，即選擇適當(dāng)?shù)?、ε，可以保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。

4 模擬仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證控制方法的有效性，本文采用數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，所采用的漂浮基空間機(jī)器人模型見圖1，該系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置如下:

m0=40 kg，m1=2 kg，m2=3 kg，m3=3 kg;J0=37.4 kg·m2，J1=1.5 kg·m2，J2=2.5 kg·m2，J3=2.5 kg·m2;L0=1.5 m，L1=3 m，L2=3 m，L3=3 m;a1=1.5 m，a2=1.5 m，a3=1.5 m。

設(shè)定漂浮基空間機(jī)器人載體姿態(tài)角和3 個(gè)關(guān)節(jié)角的期望軌跡如下:

設(shè)置關(guān)節(jié)角的初始條件如下:q (0)=［0.5 0.5 0.7 0.9］T，采樣周期=0.001 s，整個(gè)仿真過程耗10 s，控制參數(shù)如下:

機(jī)械臂系統(tǒng)的控制仿真結(jié)果如圖2—7 所示，圖2—4 分別為機(jī)械臂關(guān)節(jié)角q1、q2、q3期望軌跡和實(shí)際軌跡曲線;圖5—7 分別為機(jī)械臂關(guān)節(jié)角q1、q2、q3跟蹤誤差曲線。

圖2 關(guān)節(jié)角1 期望軌跡和實(shí)際軌跡的對比曲線

圖3 關(guān)節(jié)角2 期望軌跡和實(shí)際軌跡的對比曲線

圖4 關(guān)節(jié)角3 期望軌跡和實(shí)際軌跡的對比曲線

圖5 關(guān)節(jié)角1 的跟蹤誤差曲線

圖6 關(guān)節(jié)角2 的跟蹤誤差曲線

圖7 關(guān)節(jié)角3 的跟蹤誤差曲線

從圖2—4 可以看出，在有較大初始誤差的情況下，通過所設(shè)計(jì)的時(shí)延估計(jì)控制策略能使機(jī)械臂各關(guān)節(jié)快速且平穩(wěn)地跟蹤上期望軌跡。在仿真的初始階段，實(shí)際軌跡與期望軌跡之間存在一定的誤差，這是仿真初始階段所選取的初始值不在期望值上所引起的，然后由時(shí)延估計(jì)和滑模變結(jié)構(gòu)控制對誤差進(jìn)行在線補(bǔ)償，在滑動模態(tài)趨近滑模面時(shí)，添加趨近率控制，能有效減弱滑模控制帶來的抖振問題，增加控制的動態(tài)品質(zhì)。當(dāng)時(shí)間到達(dá)2 s 時(shí)，各關(guān)節(jié)角的對比圖顯示實(shí)際軌跡已逼近期望軌跡，實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間內(nèi)的快速跟蹤，驗(yàn)證控制策略具有較好的快速響應(yīng)性和較高的跟蹤精度。從圖5—7 可以看出，各關(guān)節(jié)角的軌跡跟蹤誤差曲線示意圖顯示初始階段有一定的振蕩，通過所設(shè)計(jì)的控制律對初始階段的誤差進(jìn)行抑制和削減。當(dāng)時(shí)間到達(dá)2 s 時(shí)，各關(guān)節(jié)跟蹤誤差到達(dá)平衡位置，誤差收斂到0，各關(guān)節(jié)角的實(shí)際軌跡跟蹤上期望軌跡，驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方案的快速響應(yīng)性能和魯棒性能。

5 結(jié)論

1)本文主要針對漂浮基空間機(jī)器人系統(tǒng)的跟蹤控制進(jìn)行設(shè)計(jì)，利用拉格朗日方程并結(jié)合動量守恒原理建立空間機(jī)器人動力學(xué)模型，通過增廣變量法擴(kuò)展變量的輸入和輸出，避免了對載體姿態(tài)不確定性的控制。

2)運(yùn)用了時(shí)延估計(jì)方法，不僅有較強(qiáng)的抗干擾能力，而且還能有效避免控制參數(shù)帶來的不確定性、耦合性、非線性等問題，能夠?qū)刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)中的誤差進(jìn)行較好的補(bǔ)償。

3)引入滑模變結(jié)構(gòu)控制能很好地平衡機(jī)械臂系統(tǒng)運(yùn)動的品性，能夠在一定程度補(bǔ)償時(shí)間延遲帶來的估計(jì)誤差，通過滑模變結(jié)構(gòu)控制與趨近律的結(jié)合，修正關(guān)節(jié)角運(yùn)動帶來的跟蹤誤差，削弱傳統(tǒng)滑模控制過程中的抖振，且控制算法也較為簡單。該控制方案給系統(tǒng)帶來很好的魯棒性能，響應(yīng)速度快，精度高，具有良好的動態(tài)性能和穩(wěn)定性能。