考慮稀薄氣體有效黏度的微軸承彈流潤滑研究*

吳 垚 郗文君 楊利花 張彩麗 曹巨江 王 哲

(1.陜西科技大學機電工程學院 陜西西安 710021；2.西安交通大學航天航空學院 陜西西安 710049；3.施耐德(西安)創新技術有限公司低壓事業部 陜西西安 710075；4.西安工程大學材料工程學院 陜西西安 710048)

隨著微型燃氣輪機、微電機、超精密機床主軸、諧振濾波器和慣性導航系統等具有高能量密度和高功率密度的微動力機電系統(micro-electromechanical systems，MEMS)和微流體器件的快速發展，微氣體滑動軸承因其結構簡單、高轉速、高精度、低功耗、低摩擦特性以及工作溫度范圍寬等優點在微旋轉機械領域中被廣泛應用[1-3]。傳統軸承設計中通常假設滑動軸承軸瓦為剛性且潤滑劑黏度保持不變。而微型軸承由于氣膜厚度和特征尺度較小，軸瓦彈性變形會顯著改變軸承表面幾何形狀甚至與初始軸承間隙達到相同數量級；此外，根據VEIJOLA和TUROWSKI[4]的有效黏度模型，可壓縮潤滑劑黏度是Knudsen數的函數,而Knudsen數是表征氣體稀薄程度的參數，定義為氣體分子平均自由程與微通道內氣體流動特征長度的比值[5]。因此，剛性體和常黏度潤滑劑假設在超薄氣膜潤滑計算中將不再適用，非常有必要分析軸瓦彈性變形和黏度變化對稀薄氣體潤滑性能的影響，為提高微氣體軸承-轉子系統的穩定性提供理論依據。

近幾十年來，國內外學者關于超薄氣膜潤滑技術已開展了許多卓有成效的研究并取得了一些重要成果。其中，BURGDORFER[6]、HSIA和DOMOTO[7]、MITSUYA[8]、FUKUI和KANEKO[9-11]、BAHUKUDUMBI、BESKOK[12]分別提出了不同的泊肅葉流流量模型，推導了相應的修正Reynolds方程，研究了氣體稀薄效應對軸承性能的影響。由于在求解磁頭/磁盤的超薄氣膜潤滑性能時軸承數很大且剪切流項含有壓力，黃平和牛榮軍等[13-14]提出了求解大軸承數氣體潤滑Reynolds方程的有效有限差分算法。ZHANG等[15]利用有限體積法和原子力顯微鏡數據研究了隨機粗糙表面對氣體微型軸承流動特性的影響，計算表明分形表面的粗糙指數越大，壁面氣體滑移速度變化越大。YANG等[16]通過13矩方程將滑移系數視為壁面適應系數和Knudsen數的函數，推導出了新的滑移速度邊界條件。ZHANG等[17]耦合Greenwood-Williamson模型和修正Reynolds方程計算了不同槽深和粗糙峰高度標準差的氣體螺旋槽推力微型軸承的軸承力和粗糙面接觸力。關于軸承彈流潤滑分析，在DOWSON和HIGGINSON[18]首次求解等溫條件下受重載彈性圓柱體彈流潤滑問題后，彈性流體動力潤滑理論得到了長足的發展。近年來，YAGI和SUGIMURA[19]對一維固定滑動面軸承的彈流動壓潤滑性能進行了數值仿真，結果發現小于100 nm的彈性變形對薄膜動壓潤滑的承載力有明顯影響，潤滑薄膜形狀有從入口出現的恒定薄膜厚度區、位于中心的略微增加區和出口周圍的收斂區3個區域。肖乾等人[20]應用COMSOL Multiphysics軟件建立了考慮彈性變形和黏壓、黏溫效應的止推軸承有限元模型，仿真結果表明載荷增大使承載瓦上產生較大變形且油膜壓力峰值向出口移動。SUN等[21]研究了軸頸偏斜、表面粗糙度、黏壓效應以及彈性變形對徑向滑動軸承性能的影響，結果表明軸承表面彈性變形時，表面粗糙度對油潤滑偏斜軸承有輕微影響且軸承偏心率越大，軸瓦變形對軸承特性影響越明顯。LINJAMAA等[22]考慮了軸承表面的彈性變形和熱變形，建立了含有柔性聚合物的動靜壓徑向滑動軸承參數化計算模型，該模型評價了包括軸頸偏斜等不同運行條件下主要軸承性能參數。根據湍流潤滑理論，CHETTI[23]推導了考慮湍流狀態、耦合應力流體和彈性變形影響的修正Reynolds方程，得到了不同耦合應力系數、彈性系數和Reynolds數下的承載力、偏位角、摩擦因數以及端泄量(side leakage)，結果表明耦合應力流體提高了剛性和彈性滑動軸承在層流和湍流狀態下的穩態性能。

綜上所述，已有的文獻對微型氣體軸承彈性流體動力潤滑性能的研究較少。另外，由于微型動壓軸承復雜的氣彈耦合行為，在求解微型軸承微觀彈流潤滑問題時，需要考慮氣膜厚度、氣膜壓力、稀薄氣體黏度、軸瓦彈性變形以及Knudsen數等參數間的相互作用。因此，本文作者研究了軸瓦彈性變形和氣體有效黏度對微氣體滑動軸承靜動態特性的影響；利用有限元法求解控制軸瓦位移場的三維彈性方程，推導了包含稀薄氣體泊肅葉流流量的廣義修正Reynolds方程；通過耦合迭代求解超薄氣膜潤滑Reynolds方程和三維彈性方程中不斷修正黏度項和氣膜厚度項，得到不同軸承參數和彈性模量下的微型軸承承載力、摩擦因數以及動態剛度和阻尼系數，并與不考慮氣體薄膜有效黏度的剛性軸承結果進行對比。這對于保持高速微旋轉機械穩定性具有重要意義。

1 薄膜氣體潤滑控制方程

對圖1所示的微氣體滑動軸承，忽略潤滑膜中的慣性效應和熱效應且假設可壓縮氣體流動為層流。由于軸頸材料的彈性模量遠大于軸瓦材料，軸頸可看作剛性體，不考慮其彈性變形。則考慮稀薄效應和軸瓦彈性變形的修正Reynolds方程可表示為

圖1 考慮軸瓦彈性變形的微氣體滑動軸承結構和三維模型

(1)

式中：量綱一氣膜壓力P=p/pa；量綱一氣膜厚度H=h/c；p為氣膜壓力；pa為環境氣體壓力；h為氣膜厚度；c為軸承半徑間隙；φ=x/R,λ=z/R分別是量綱一周向和軸向坐標，R為軸頸半徑；Λeff=6μeffωR2/(pac2)為軸承數，μeff為氣體有效動力黏度；ω為軸頸轉動角速度；T為量綱一時間；Q為量綱一流量修正系數[24]。

Q=1+0.108 42Kn+9.359 3/Kn-1.174 68

(2)

式中：Knudsen數Kn=λ0/h，λ0為氣體分子平均自由程。

學者VEIJOLA和TUROWSKI[4]提出了氣體動力黏度也受稀薄效應的影響，即氣體有效黏度是Knudsen數的函數，氣體有效黏度的計算公式為

(3)

式中：μ為氣體潤滑劑動力黏度。

為了得到考慮軸瓦彈性變形和氣體有效黏度的微滑動軸承靜動態性能，通過數學變換PH=S,(PH)2=S2=Π，將方程(1)轉化為橢圓型偏微分方程形式求解氣膜壓力。假設軸頸在彈性微型軸承靜平衡位置(ε0,θ0)以擾動頻率Ω作周期性小擾動[25]，任意時刻的軸頸位置可表示為

(4)

式中：E0和Θ0是擾動偏心率和擾動偏位角定義在復數范圍內的幅值；Ω=ν/ω為量綱一擾動頻率，ν軸頸擾動頻率；i為虛數單位。

在軸頸動態小擾動條件下，假設量綱一氣膜壓力P和氣膜厚度H包含靜動態兩部分：

(5)

(6)

軸承在水平和豎直方向的氣膜合力為

(7)

微氣體軸承的偏位角、承載系數和摩擦因數的計算公式為

(8)

將式(5)代入式(1)可得到考慮稀薄效應、軸瓦彈性變形以及氣體有效黏度的動態修正Reynolds方程的一般形式：

(9)

為求解式(9)得到微氣體軸承的動態剛度和阻尼系數，采用偏導數法定義：

(10)

式(6)和(9)分別對E0和Θ0求偏導，可得到關于PE、HE、Pθ和Hθ的偏微分方程，求得PE和Pθ后，按式(11)計算軸頸小擾動時微氣體滑動軸承的動態剛度和阻尼系數。

(11)

將式(9)中的動態系數進行轉換，得到相應笛卡爾坐標系下的動態剛度和阻尼系數為

(12)

通過MATLAB軟件中偏微分方程工具箱和有限元法編寫相關程序，采用松弛迭代法提高計算的精度和效率，收斂精度均為 0.000 1，微型氣體軸承彈流潤滑的計算流程如圖2所示。

圖2 微型氣體軸承彈流潤滑計算流程

2 軸瓦彈性變形和氣膜厚度變化

微型滑動軸承在氣膜壓力作用下導致軸瓦表面發生彈性變形，而表面彈性變形直接改變氣膜厚度反過來也會影響氣膜壓力分布。由于軸瓦表面彈性變形量很小，因此可認為變形和載荷呈線性關系，利用有限元法建立軸瓦柔度矩陣求解軸瓦表面彈性變形。

如圖3所示，將微氣體滑動軸承沿圓周方向展開，由于軸瓦厚度遠小于軸瓦展開后長度，軸瓦模型近似為規則的長方體，采用八節點六面體線性單元將模型離散；根據最小位能原理得到各單元體的節點位移和節點載荷間的關系，再將各單元的剛度矩陣進行組裝，建立軸瓦模型結構的整體剛度矩陣為

圖3 微氣體軸承的有限元模型

K=?VBTDBdxdydz

(13)

式中：

B=[B1B2B3……B8],

(i=1,2,3,...,8)

(14)

(15)

其中N為形函數。

對整體剛度矩陣求逆矩陣得到微型軸承的柔度矩陣C來確定氣膜壓力引起的軸瓦上表面各節點徑向變形。

δt=∑C·P=∑K-1·P

(16)

式中：δt為氣膜壓力矩陣P下微型軸承內表面所有節點的徑向位移矩陣。

通過計算微型軸承表面的彈性變形對氣膜厚度進行修正

H=H0+δt=1+εcos(φ-θ)+δt

(17)

在求解修正Reynolds方程得到氣膜壓力的每次循環迭代中計入有限元法求解軸瓦彈性變形和氣體有效黏度的影響，最終同時達到收斂，得到考慮氣體有效黏度的彈性微氣體滑動軸承的靜動態性能。

3 結果及討論

文中對考慮和不考慮氣體有效黏度的剛性和彈性微氣體滑動軸承計算結果進行了分析和討論。微型軸承的幾何參數：c=1 μm，R=1 mm，軸承寬度B=200 μm，pa=1.033×105Pa，長徑比B/D=0.1。

為驗證當前模型的準確性，如圖4所示，將文中計算結果與文獻[26]給出的軸承中間截面量綱一氣膜壓力分布進行對比，可以看出2種方法得到的仿真結果非常接近，誤差小于3%。

圖4 文中數值結果與文獻[26]量綱一氣膜壓力分布對比(R=2.0 mm,B=0.4 mm,pa=1.033×105 Pa,Λ=2.4)

圖5所示為分別計入軸瓦彈性變形和同時計入氣體有效黏度條件下微型軸承量綱一承載力CL隨軸承數Λ的變化規律。可以看出，氣體稀薄效應顯著降低軸承承載力，微氣體軸承的承載力隨軸承數的增加近似線性增加，這與潤滑表面的高軸頸轉速和氣體的可壓縮性有關。而CL隨軸瓦彈性模量降低而增加，這是因為氣體彈流潤滑狀態在一定程度上削弱了氣體稀薄效應的影響。不考慮氣體有效黏度的彈性微型軸承量綱一承載力大于考慮氣體有效黏度的情況。軸瓦彈性變形和軸承數越大CL增加越明顯。

圖5 軸承數、氣體有效黏度和軸瓦彈性模量對承載力的影響(ε=0.7,υ=0.3)

對于不同柔性的微型軸承，其軸頸表面摩擦因數隨軸承數的變化曲線如圖6所示。由于微氣體滑動軸承的摩擦來自稀薄氣流的黏性剪切力，軸承數越高，即軸頸轉速越高，黏性剪切力則越大，因此軸承數對摩擦因數的影響就越明顯。隨著軸瓦彈性模量E降低，微型軸承柔性增加，軸頸表面摩擦因數增大。這是由于氣膜厚度隨彈性模量的減小而增大，更多的氣流進入超薄潤滑間隙導致軸頸表面摩擦因數增加。此外，考慮氣體潤滑劑的有效黏度時，微型軸承摩擦因數低于氣體黏度不變時的結果。

圖6 軸承數、氣體有效黏度和軸瓦彈性模量對摩擦因數的影響(ε=0.7,υ=0.3)

圖7描述了計入不同軸瓦柔性和氣體有效黏度的量綱一承載力CL隨偏心率ε的變化情況。結果表明，隨偏心率的增大，微型軸承的承載能力越來越強。當偏心率ε<0.7時，隨軸瓦彈性模量從5 GPa增加到200 GPa，量綱一承載力CL逐漸增大。而在ε較高時，CL隨E的增大呈現出相反的變化趨勢，這是因為軸瓦彈性變形增加了氣膜承載區域從而彈性微型軸承的承載能力增強。考慮稀薄氣體有效黏度的影響，隨著ε的增加進一步降低了彈性微型軸承的承載力CL。

圖7 偏心率、氣體有效黏度和軸瓦彈性模量對承載力的影響(Λ=30,υ=0.3)

圖8和9分別示出了在不同軸瓦彈性模量E和量綱一擾動頻率Ω條件下，考慮和不考慮稀薄氣體有效黏度的微型軸承動態剛度和阻尼系數計算結果。可以看出，剛性和彈性2種微型軸承情況下，隨著Ω的增加，正交剛度系數Kxx和Kyy均增大，交叉剛度系數Kyx減小而Kxy先增大后減小。由于潤滑薄膜主要在垂直方向支承轉子重力，因此Kyy略大于Kxx。與剛性微型軸承相比，彈性微型軸承中軸瓦彈性模量的降低使動態剛度系數有所增加且隨著軸承柔性上升其剛度系數增加幅度更顯著。這是由于軸瓦彈性變形帶來氣膜厚度增加導致流過軸承間隙內的氣流增加。微氣體滑動軸承的動態阻尼系數除了交叉阻尼Dyx均隨擾動頻率的增加而減小。當彈性模量減小，彈性微型軸承的直接阻尼系數小于剛性微型軸承。與恒定黏度氣體潤滑相比，當擾動頻率Ω>2時，氣體有效黏度效應降低了微型軸承的直接剛度，同時增加了其直接阻尼系數，剛性和彈性微型軸承的交叉耦合阻尼系數的絕對值均隨Ω的增大而趨于0。

圖8 擾動頻率、氣體有效黏度和軸瓦彈性模量對剛度系數的影響(ε=0.7,Λ=80,υ=0.3)

圖9 擾動頻率、氣體有效黏度和軸瓦彈性模量對阻尼系數的影響(ε=0.7,Λ=80,υ=0.3)

圖10和11分別給出了當擾動頻率Ω=3.5和偏心率ε=0.7時，計入不同軸瓦彈性模量和氣體有效黏度效應的微氣體軸承動態剛度和阻尼系數隨軸承數Λ的變化曲線。可以看出，所有的動態剛度系數均隨著軸承數的增加而增加，而動態阻尼系數除了交叉阻尼Dyx均呈現出先增加后減小的趨勢。與剛性微氣體軸承相比，當Λ>30時，剛度系數隨軸瓦彈性模量減小而顯著增大，相反直接阻尼系數變小。這是因為較高的軸承數，即高軸頸轉速增強了微氣體滑動軸承中的動壓效應，有效減少了超薄軸承間隙中的能量耗散。另外，氣體潤滑劑的有效黏度效應顯著降低了微型軸承的直接剛度系數，并增加了微型軸承的直接阻尼系數。這表明如果應用恒定氣體黏度計算超薄氣膜潤滑特性，會導致計算的動態阻尼系數偏小。

圖10 軸承數、氣體有效黏度和軸瓦彈性模量對剛度系數的影響(Ω=3.5,ε=0.7,υ=0.3)

圖11 軸承數、氣體有效黏度和軸瓦彈性模量對阻尼系數的影響(Ω=3.5,ε=0.7,υ=0.3)

4 結論

基于VEIJOLA提出的稀薄氣體有效黏度模型，利用偏導數法、松弛迭代法和有限元法對修正的Reynolds方程和軸瓦彈性方程進行了耦合數值求解。結果表明稀薄效應、軸瓦彈性變形以及氣體有效黏度對微氣體滑動軸承潤滑特性有顯著影響。一些重要規律總結如下：

(1)氣體稀薄效應顯著降低了微型軸承的承載能力。量綱一承載力和摩擦因數隨軸承數的增加而增加。由于氣體彈流潤滑狀態一定程度降低了稀薄效應的影響，軸瓦柔性的增加可提高軸承承載力和摩擦因數。相比恒定氣體黏度潤滑的剛性微型軸承，考慮氣體有效黏度的彈性微型軸承承載力和摩擦因數較小。

(2)微氣體軸承的量綱一承載力隨偏心率增加越來越高。當偏心率較小時，隨著軸瓦彈性模量的增加，軸承承載力增大。而在大偏心率情況下，量綱一承載力隨微型軸承柔性增加略有增加。

(3)正交剛度系數Kxx和Kyy隨擾動頻率的增加而增加，而動態阻尼系數除交叉阻尼系數Dyx均隨擾動頻率的增加而減小。微氣體滑動軸承的動態剛度系數均隨著軸承數的增加而增加，而相應的動態阻尼系數除了交叉阻尼Dyx均呈現出先增加后減小的趨勢。相比剛性微氣體軸承，軸瓦柔性的提高顯著增加了動態剛度系數且降低了微型軸承的直接阻尼系數。稀薄氣體的有效黏度效應降低了微型軸承的直接剛度，同時增加了其直接阻尼系數。