基于靈敏度-有效獨(dú)立法的橋梁結(jié)構(gòu)傳感器優(yōu)化布置研究

楊志魁，楊雅勛，于海波

(1.陜西職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程學(xué)院，陜西 西安 710000；2. 長(zhǎng)安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安 710000)

0 引言

在對(duì)橋梁健康進(jìn)行監(jiān)測(cè)時(shí)，傳感器系統(tǒng)既是監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的子系統(tǒng)，又是采集數(shù)據(jù)的重要工具。復(fù)雜橋梁的自由度多，實(shí)際測(cè)試時(shí)考慮到經(jīng)濟(jì)效益和技術(shù)實(shí)現(xiàn)等因素，不可能在橋梁的每一個(gè)自由度都布置傳感器。如何安排有限數(shù)量的傳感器來實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)狀態(tài)改變信息的最優(yōu)采集，成為了復(fù)雜橋梁健康監(jiān)測(cè)的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。一種好的傳感器布設(shè)方案能夠在含噪音的環(huán)境中，利用盡可能少的傳感器，獲取全面、精確的結(jié)構(gòu)參數(shù)信息[2]。

目前在基于動(dòng)力性能的傳感器優(yōu)化布置理論方面，主要有靈敏度系數(shù)法、有效獨(dú)立法(EI)、模態(tài)動(dòng)能法(MKE)[3-4]、奇異值分解法[5]、遺傳算法[6]等幾種方法，但是任何單一方法都存在自身的缺陷和不足。基于傳感器優(yōu)化布置理論的單一解法，楊雅勛等提出了基于能量系數(shù)-有效獨(dú)立法的傳感器優(yōu)化布置方法[7]；Castro-Triguero用基于Fisher信息矩陣和能量矩陣秩優(yōu)化的方法研究了桁架橋結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)傳感器布置結(jié)果的影響[8]；LI討論了EI法和MKE法之間的內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)為前者可以通過對(duì)后者迭代得到[9]；桂成中提出了基于模態(tài)分量加和法和差分法對(duì)傳感器布置進(jìn)行優(yōu)化的方法[10]；孫曉丹等以靈敏度分析理論為基礎(chǔ)，進(jìn)行了多類型的傳感器優(yōu)化布置[11-12]；ZHOU等將螢火蟲算法用于傳感器的優(yōu)化布置，并通過對(duì)編碼方式進(jìn)行改進(jìn)，得到了螢火蟲算法解決離散優(yōu)化問題的解法[13-15]；人工蜂群算法、遺傳算法等在傳感器優(yōu)化布置問題中也有所應(yīng)用[16-20]；李世龍針對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別傳感器布置問題，提出了一種多目標(biāo)傳感器優(yōu)化布置方法[21]。

采用本研究提出的算法及模態(tài)數(shù)目的選取方法對(duì)某簡(jiǎn)支桁架橋工程和斜拉橋進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置，通過最小均方差準(zhǔn)則等評(píng)價(jià)方法來評(píng)價(jià)不同的橋梁結(jié)構(gòu)傳感器優(yōu)化布置方案。

1 傳統(tǒng)優(yōu)化算法

1.1 有效獨(dú)立法

有效獨(dú)立法[22-25]的主要思想以所有待測(cè)數(shù)據(jù)的自由度為初始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的處理過程是將對(duì)目標(biāo)模態(tài)振型向量線性無關(guān)貢獻(xiàn)最小的自由度消除，來得到優(yōu)化后的最大有效程度的參數(shù)信息，以保證優(yōu)化布置后的傳感器盡量保留有效的所需參數(shù)信息。根據(jù)模態(tài)疊加原理，可以將傳感器的輸出信息ys表示為：

ys=Φq+ω,

(1)

(2)

ED=ΦΨAλ-1(ΦΨA)-1=Φ[ΦTΦ]-1ΦT，

(3)

式中，ΨA為A0的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量；λ為相應(yīng)的特征值。矩陣ED的對(duì)角線元素表征了相應(yīng)傳感器對(duì)模態(tài)矩陣的線性不相關(guān)的程度。以迭代算法逐漸消除ED對(duì)角線元素最小的監(jiān)測(cè)點(diǎn)，至所需監(jiān)測(cè)點(diǎn)的數(shù)目。

1.2 靈敏度系數(shù)法

靈敏度系數(shù)法[26-28]通常應(yīng)用于小阻尼結(jié)構(gòu)中，認(rèn)為發(fā)生損傷時(shí)，結(jié)構(gòu)參數(shù)中僅剛度特性發(fā)生變化，而阻尼和質(zhì)量特性均不變。n個(gè)自由度的動(dòng)力系統(tǒng)剛度發(fā)生微小變化時(shí)，若不考慮阻尼特性的變化，振動(dòng)控制方程為：

[(K+ΔK)-(λi+Δλi)M](Φi+ΔΦi)=0， (4)

式中，K為結(jié)構(gòu)剛度；M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；λi和Φi表示振動(dòng)方程的特征值和振型向量。可以將振型向量變化ΔΦi表示為待優(yōu)化監(jiān)測(cè)點(diǎn)模態(tài)的線性組合：

(5)

式中，dij是權(quán)重系數(shù)。考慮振型向量的垂直特性，聯(lián)立式(4)、(5)可以得到：模態(tài)階數(shù)為r時(shí)，當(dāng)i≠r有:

(6)

(7)

QS=STS。

(8)

QS反映了結(jié)構(gòu)各單位對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的靈敏度。上述方法(即靈敏度系數(shù)法)以有限的模態(tài)數(shù)目解決了損傷結(jié)構(gòu)下選擇傳感器布置測(cè)點(diǎn)的問題，其局限性是要求測(cè)試模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)損傷具有足夠的靈敏度。

2 評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

(1)模態(tài)置信準(zhǔn)則[29-30](MAC準(zhǔn)則)

在進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置時(shí)要盡量選擇那些擁有較大的空間夾角的測(cè)點(diǎn)以盡量保存模態(tài)信息。評(píng)價(jià)各階振型在其自由度上形成的MAC陣的非對(duì)角元素值的幅值，即可評(píng)價(jià)其對(duì)應(yīng)模態(tài)矢量的空間相位，其公式為：

(9)

式中,Φi、Φj分別表示第i階和第j階振型矢量。2個(gè)向量之間的耦合程度越高，MAC陣中對(duì)應(yīng)的非對(duì)角元素越趨近于1，反之越趨近于0。通常可以認(rèn)為此評(píng)價(jià)值大于0.9時(shí)2個(gè)模態(tài)線性相關(guān)；評(píng)價(jià)值小于0.25時(shí)2個(gè)模態(tài)相互垂直。

(2)最小均方差準(zhǔn)則[31-32]

用有限元模型分析得到的自由度位移值和優(yōu)化后傳感器擴(kuò)展自由度所得的位移值做差，求出誤差的總均方差，然后按總均方差的大小評(píng)價(jià)傳感器優(yōu)化布置方案，其公式為:

(10)

3 基于模態(tài)貼近度選取模態(tài)數(shù)目

結(jié)構(gòu)共有n階模態(tài)振型向量Φi(1≤i≤n)，其二范數(shù)為‖Φ‖2，定義2個(gè)相鄰模態(tài)振型向量二范數(shù)差的絕對(duì)值為模態(tài)貼近度，即:

Δ?i=|‖Φi+1‖2-‖Φi‖2|, 1≤i≤n-1。

(11)

因?yàn)榭梢杂梅稊?shù)來度量矩陣之間的距離，所以認(rèn)為Δ?小到一定程度時(shí)2種模態(tài)優(yōu)化后的結(jié)果是相似的，那么只需保留其中一個(gè)模態(tài)作為傳感器優(yōu)化的參與振型，并將其繼續(xù)與下一個(gè)模態(tài)進(jìn)行對(duì)比，直到達(dá)到優(yōu)化要求。

4 基于靈敏度-有效獨(dú)立法的傳感器優(yōu)化布置算法

根據(jù)模態(tài)疊加原理，含有損傷信息的傳感器輸出信息yd可以表示如下：

yd=(Φ+ΔΦ)q+ω,

(12)

式中,Φ為有限元模態(tài)振型按測(cè)點(diǎn)縮減后的模態(tài)矩陣；ΔΦ為結(jié)構(gòu)損傷引起的振型變化，可以用靈敏度系數(shù)法中的剛度變化表征振型變化，即ΔΦi=δiSi；ω是方差為σ2的靜態(tài)高斯白噪聲，即式(10)寫為:

yd=(Φ+δS)q+ω，

(13)

矩陣形式：yd=(ΦS)(qβq)T+ω，

式中，β=diag(δ1,δ1,…,δ1)，令Λ=(ΦS)，p=(qβq)T，則式(12)可以寫成:

yd=Λp+ω。

(14)

(15)

于是可以得到基于靈敏度-有效獨(dú)立法的傳感器布置優(yōu)化流程，如圖1所示。

圖1 靈敏度-有效獨(dú)立法的優(yōu)化布置流程Fig.1 Flowchart of optimal arrangement of sensitivity and effective independent method

5 簡(jiǎn)支桁架橋工程實(shí)例

某鐵路簡(jiǎn)支桁架橋節(jié)點(diǎn)示意圖如圖2所示，上弦桿截面積為107.4 cm2，腹桿截面積為84.64 cm2，下弦桿截面面積為119.4 cm2，上下弦桿及5 m，直腹桿長(zhǎng)7 m，水平連接桿長(zhǎng)9 m。彈性模量2.06×108kN/m2，桿件重度為7 850 kg/m3，共由24個(gè)連接點(diǎn)和54個(gè)桿件組成。以該工程為實(shí)例，比較本研究提出的算法與有效獨(dú)立法和靈敏度系數(shù)法，驗(yàn)證算法有效性。

圖2 桁架橋節(jié)點(diǎn)示意圖Fig.2 Schematic diagram of nodes on truss beam bridge

5.1 模態(tài)分析及振型選取

提取有限元模型前40階模態(tài)振型向量，采用MATLAB軟件計(jì)算各階模態(tài)振型矩陣的模態(tài)貼近度，結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，模態(tài)貼近度在第8次做差之后差值即趨于0，因此選取前8階作為傳感器優(yōu)化布置的計(jì)算模態(tài)數(shù)。前8階模態(tài)的頻率和振型如圖4所示。

圖3 模態(tài)貼近度統(tǒng)計(jì)圖Fig.3 Curves of modal closeness summary

圖4 前8階模態(tài)振型和頻率Fig.4 First 8-order mode shapes and frequencies

5.2 傳感器優(yōu)化布置方案

選取前8階振型作為優(yōu)化模態(tài)，將有效獨(dú)立法、靈敏度系數(shù)法和本研究提出的靈敏度-有效獨(dú)立法優(yōu)化后的測(cè)點(diǎn)布置傳感器優(yōu)先順序部分結(jié)果總結(jié)在表1。

表1 各方法測(cè)點(diǎn)布置傳感器優(yōu)先順序Tab.1 Priority of sensor arrangement at measuring points by different methods

比較上述3種監(jiān)測(cè)點(diǎn)自由度的優(yōu)選順序結(jié)果可知，本研究提出的靈敏度-有效獨(dú)立法最多地將監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置于跨中節(jié)點(diǎn)，與動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況更為接近。假設(shè)傳感器數(shù)量為10個(gè)時(shí)，優(yōu)化后的測(cè)點(diǎn)布置如圖5所示。

圖5 傳感器布置圖Fig.5 Layout of sensors

5.3 結(jié)果評(píng)價(jià)

對(duì)上述3種傳感器優(yōu)化布置算法采用常用2種評(píng)價(jià)準(zhǔn)則(MAC和最小均方差準(zhǔn)則)對(duì)其優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。

(1)模態(tài)保證準(zhǔn)則(MAC)

通過計(jì)算可以得到MAC均值。其中本研究算法得到的MAC均值為0.072 13，有效獨(dú)立法為0.083 55，靈敏度系數(shù)法為0.173 59，結(jié)果如圖6所示。

圖6 MAC均值比較Fig.6 Comparison of MAC mean values

由上述結(jié)果可知，采用本研究提出的算法得到的MAC均值相比于其他兩種方法更小，說明本研究方法能夠較好地保留動(dòng)力結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息。

(2)最小均方差準(zhǔn)則

對(duì)3種優(yōu)化布置的自由度進(jìn)行3次樣條插值，然后與有限元素的模態(tài)振型進(jìn)行對(duì)比，得出相互之間的均方差。3種算法擴(kuò)階后的均方差見圖7，總均方差比較見圖8。易知，本研究提出的優(yōu)化布置算法得出單個(gè)模態(tài)振型還或整體模態(tài)振型的均方差，都比其他2種算法的傳感器擴(kuò)階后的小。

圖7 振型均方差比較Fig.7 Comparison of modal mean square errors

圖8 總均方差比較Fig.8 Comparison of total mean square errors

5.4 模態(tài)數(shù)目選取方法評(píng)價(jià)

目前在動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)傳感器布置研究時(shí)，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取前5階模態(tài)振型進(jìn)行優(yōu)化布置。為了與傳統(tǒng)算法進(jìn)行比較，本研究提出的靈敏度-有效獨(dú)立法分別選取5階、8階、10階、20階模態(tài)振型進(jìn)行優(yōu)化布置，并采用MAC和最小均方差準(zhǔn)則對(duì)選取監(jiān)測(cè)模態(tài)點(diǎn)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

選取不同階數(shù)的模態(tài)進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置，部分結(jié)果見表2，由于前20階結(jié)果與前10階結(jié)果一致，因此未列出20階模態(tài)傳感器布置結(jié)果。從表2易知，采用前5階模態(tài)與前8階模態(tài)進(jìn)行優(yōu)化布置，結(jié)果差異性較大，而采用前8階模態(tài)與采用前10階模態(tài)進(jìn)行傳感器布置，結(jié)果基本相同。這說明基于模態(tài)貼進(jìn)度選取模態(tài)數(shù)目的方法基本不會(huì)丟失模態(tài)信息，并且能夠以盡量少的模態(tài)數(shù)目達(dá)到與較多模態(tài)數(shù)目同樣的結(jié)果。

表2 不同模態(tài)階數(shù)布置傳感器優(yōu)先順序Tab.2 Priority of sensor arrangement by different modal orders

由圖9及圖10結(jié)果可知，隨著選取模態(tài)階數(shù)的增加，MAC均值呈現(xiàn)不斷下降的趨勢(shì)，但是幅度并不明顯；前8階優(yōu)化結(jié)果的總均方差明顯小于前5階總均方差，而前10階和前20階總均方差相對(duì)于前8階總均方差下降變化速率基本為0，即相對(duì)下降不明顯。

圖9 MAC均值比較Fig.9 Comparison of MAC mean values

圖10 總均方差比較Fig.10 Comparison of total mean square errors

因此可以認(rèn)為本研究提出的基于模態(tài)貼近度選取模態(tài)數(shù)目的方法能夠較好地保存模態(tài)信息，完成傳感器的優(yōu)化布置。

5.5 傳感器數(shù)目影響分析

為研究傳感器數(shù)目對(duì)本研究方法精度的影響，以上述鐵路鋼桁架為例，分別以傳感器數(shù)目為6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20為控制值，進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置。分析不同傳感器數(shù)目下的MAC矩陣中的最大的非對(duì)角元素值，統(tǒng)計(jì)值見圖11。

圖11 MAC矩陣的最大非對(duì)角元變化曲線Fig.11 Curve of maximum non-diagonal element of MAC matrix

從圖11可以看出，對(duì)于不同數(shù)目的傳感器，MAC矩陣的最大值不同，總體表現(xiàn)出隨著傳感器數(shù)目增多，最大值不斷下降，后面隨傳感器數(shù)目增多，但最大值沒有太大變化。在傳感器數(shù)目為10與12左右出現(xiàn)最小值。從經(jīng)濟(jì)性角度來看，雖然布置足夠多的傳感器，可以獲得更多的信息，但經(jīng)濟(jì)性不強(qiáng)。故本研究綜合以上，選擇布置10個(gè)傳感器。

6 矮塔斜拉橋工程實(shí)例

某矮塔斜拉橋示意圖如圖12所示。主橋?yàn)榉菍?duì)稱獨(dú)塔斜拉橋結(jié)構(gòu)，采用半漂浮體系。全橋含牛腿共長(zhǎng)244.4 m，跨徑布置為(151.1+91.1)m，邊主跨比0.6。主跨為鋼梁-UHPC薄層輕型組合梁，邊跨為混凝土箱梁。橋塔為鋼結(jié)構(gòu)，左塔高105.12 m，右塔高120.12 m，距離塔底90.12 m設(shè)置鋼橫梁。主塔設(shè)置牛腿，主梁通過支座支承在橋塔牛腿上。主橋梁段也設(shè)置牛腿，利用現(xiàn)澆板梁重量進(jìn)行壓重處理。

圖12 矮塔斜拉橋模型Fig.12 Model of a low-pylon cable-stayed bridge

6.1 模態(tài)分析及振型選取

參考工程實(shí)例1的鐵路桁架橋，提取有限元模型前40階的模態(tài)振型向量，計(jì)算各階模態(tài)振型矩陣的模態(tài)貼近度，結(jié)果如圖13所示。模態(tài)貼近度在第10次之后差值即趨于0，選取前10階模態(tài)作為傳感器優(yōu)化布置的計(jì)算模態(tài)數(shù)。此矮塔斜拉橋的前10階頻率和振型如圖13所示。

圖13 前10階模態(tài)振型和頻率Fig.13 First 10-order mode shapes and frequencies

6.2 傳感器優(yōu)化布置方案

選取前10階振型作為優(yōu)化模態(tài)，全橋主梁共248個(gè)候選布置節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)號(hào)縱橋向方向從小到大排列。將有效獨(dú)立法、靈敏度系數(shù)法和本研究提出的靈敏度-有效獨(dú)立法優(yōu)化后的測(cè)點(diǎn)布置傳感器優(yōu)先順序部分結(jié)果總結(jié)在表3。需要說明的是，由于縱橋向是相比于橫橋向和豎橋向變形更重要的方向，因此為作簡(jiǎn)化僅采用縱橋向布置單一方向傳感器。

表3 不同算法的布置方案Tab.3 Arrangement schemes by different algorithms

本研究算法優(yōu)化傳感器布置方案見圖14所示。

圖14 傳感器布置示意圖Fig.14 Schematic diagram of sensor layout

6.3 結(jié)果評(píng)價(jià)

使用MAC準(zhǔn)則和最小均方差準(zhǔn)則對(duì)不同算法的布置方案效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。

(1)模態(tài)保證準(zhǔn)則(MAC)

通過計(jì)算可以得到MAC均值。其中本研究算法得到的MAC均值為0.103 55，有效獨(dú)立法為0.072 3，靈敏度系數(shù)法為0.072 13，結(jié)果見圖15所示。

圖15 MAC均值比較Fig.15 Comparison of MAC mean values

(2)最小均方差準(zhǔn)則

按照同樣的均方差計(jì)算方法對(duì)3種優(yōu)化布置方案的自由度進(jìn)行三次樣條插值，然后與有限元素的模態(tài)振型進(jìn)行對(duì)比，得出相互之間的均方差。

3種算法擴(kuò)階后的均方差見圖16，總均方差比較見圖17。易知，本研究提出的優(yōu)化布置算法得出單個(gè)模態(tài)振型還或整體模態(tài)振型的均方差，都比其他2種算法的傳感器擴(kuò)階后的小。

圖16 振型均方差比較Fig.16 Comparison of mean square errors of mode shapes

圖17 總均方差比較Fig.17 Comparison of total mean square errors

可知本研究?jī)?yōu)化算法得到的均方差相比其他2種方法更小，說明本研究方法與該有限元模型結(jié)果擬合更好，并且傳感器得到的模態(tài)信息能夠客觀反映結(jié)構(gòu)參數(shù)信息。通過2種準(zhǔn)則對(duì)傳感器優(yōu)化布置方案的評(píng)價(jià)，驗(yàn)證了本研究提出的方法可以滿足使用較少傳感器預(yù)測(cè)未知的模態(tài)參數(shù)信息。

7 結(jié)論

本研究提出了一種兼顧模態(tài)可觀測(cè)性和損傷可識(shí)別性的傳感器優(yōu)化算法，同時(shí)進(jìn)行了實(shí)例數(shù)值驗(yàn)證。本研究的主要結(jié)論如下：

(1)在傳統(tǒng)傳感器優(yōu)化布置方法的基礎(chǔ)上，提出了靈敏度-有效獨(dú)立法的傳感器優(yōu)化布置算法，即通過用結(jié)構(gòu)損傷變化的靈敏度系數(shù)來校正有效獨(dú)立法。此方法既考慮了模態(tài)的可觀測(cè)性，又應(yīng)用到損傷的可識(shí)別性，通過矢量運(yùn)算將兩者結(jié)合，進(jìn)一步優(yōu)化了橋梁結(jié)構(gòu)傳感器布置方案。

(2)探討了橋梁動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)目選取問題，提出了基于模態(tài)貼近度的方法，規(guī)避了以往依賴經(jīng)驗(yàn)解決的問題，更加直觀和簡(jiǎn)便。

(3)通過MAC和最小均方差準(zhǔn)則對(duì)不同方法進(jìn)行評(píng)估，本研究算法優(yōu)于其他2種，該方法優(yōu)化后的結(jié)果既能保證振型矢量的垂直，又具有良好的延展性能。

(4)本研究只是針對(duì)原有方法的改進(jìn)，重點(diǎn)分析了該方法的適用性，與其他方法對(duì)比說明該方法的優(yōu)點(diǎn)，不足之處是沒有考慮測(cè)量誤差對(duì)優(yōu)化算法的影響。