無碳避障小車路徑規劃與凸輪設計分析*

呂晨茜，李宏鵬，常 浩，馬炬賓，盧志鵬，沈國茂，王淑珍，王小義

(蘭州交通大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

無碳小車是全國大學生工程訓練綜合能力競賽的設計主題之一，對提高學生的工程實踐能力與培養學生的創新意識和團隊精神都具有重要意義。近年來，一些學者對無碳小車的設計進行了研究，極大地提高了無碳小車的設計水平和運行能力。例如Dong等人[1]設計了無碳小車的雙8字形軌道和盤形凸輪，同時設計了微調機構，通過對微調機構參數的調整，盡可能使無碳小車運行時的誤差大大減少；Han等人[2]，首先將雙8字形軌道抽象成數學模型并完成了軌道的設計，其次對影響軌跡的參數進行了研究，設計了小車的整體結構，最后將設計好的小車進行仿真實驗，并通過無碳小車的運行表現對參數進行修改；同時筆者也參考學習了文獻[3]～[7]關于無碳小車路徑規劃設計方面的內容。重點針對無碳小車避障路徑規劃和凸輪設計，采用三角函數的基本理論，對“8”字型避障路徑及對應的凸輪設計進行了研究，并用同樣的方法生成了“S”型臂章路徑。所提方法高效實用，可應用于任意避障路徑的規劃和凸輪設計，對無碳小車的路徑規劃和設計具有重要的指導意義。

1 操作現場描述

無碳小車運行場地為5 200 mm×2 200 mm的矩形平面區域，如圖1。

圖1 競賽場地

圖1中粗實線分別為邊界擋板和中間隔板，中間隔板長度為1 000 mm且厚度不超過12 mm，并且兩個隔板之間有1 000 mm的活動間隙；10個障礙物是直徑為20 mm、高200 mm的圓棒(圖1中黑色圓點)；其中，8個中間障礙物之間的橫向距離為1 000 mm，與隔板中心線的垂直距離為550 mm，左右兩側的障礙物在半徑為550 mm的圓上。左下角和右上角的陰影區域為出發區域。由于原理相同，文中僅給出S型詳細的路徑規劃和凸輪設計方案。S型路徑如圖2所示，小車整體簡圖與轉向原理分別如圖3、4。

圖2 “S”形運行軌跡

圖3 小車車體俯視圖 圖4 小車前輪轉向示意

2 避障路徑規劃

(1)

(2)

式中：X、A和T分別為函數的變量、幅值和周期。

由于曲率半徑是曲率的倒數，故有：

(3)

式中：ρ為曲率半徑，K為曲率。

為便于計算，規定圖2路徑中所有圓弧部分的曲率半徑相等且ρ=350 mm。

首先，規劃樁2和樁4之間的路徑。如圖5，以2號樁為原點，連接2、3、4號樁建立軸X1，并建立相應的軸Y1。

(4)

曲線1對應的余弦函數為：

(5)

當A1<ρ時，點2′處的曲率半徑相對應的圓心O2在軸X1的下方，O2-2′兩點間的距離為ρ；當A1>ρ(虛線小圓)時，點2′處的曲率半徑所對應的圓心O2′在軸X1的上方，O2′-2′兩點間的距離為A1-ρ。通過計算得出：A1<ρ，所以O2-2兩點間的距離為ρ-A1=350-289=61 mm。

圖5 曲線1的設計圖

圖6 曲線2～4的設計圖

從圖5、6的幾何關系可知：

H=550-(O2-2)=550-61=489 mm

因為圖6中虛線在點10′處的曲率半徑必須等于ρ，所以可根據式(4)得出T2所對應的幅值A2：

(6)

此時，完成樁10、1、2之間的初步路徑規劃(圖6虛線所示)，其所對應函數如下：

(7)

為了使實際路徑曲線2以樁10為圓心和ρ為半徑的圓相切，需將初步路徑沿軸Y2移動至點10″，其移動距離為ρ-A2=350-191=159 mm。至此，完成曲線2的路徑設計。

(8)

顯然，曲線3、4的曲率半徑ρ相等，且曲線3、4的弧長可由式(10)、(11)確定：

(9)

(10)

(11)

則曲線5對應的余弦函數為：

(12)

圖7 曲線5、6設計圖

從圖2可看出，整個路徑關于中心線對稱。因此，樁10、9、8之間的曲線和曲線2，樁8、7、6之間的曲線和曲線1及右下角的1/4圓弧和右上角的1/4圓弧都關于中心線對稱。因為兩個對稱曲線的函數表達式完全一致，所以此處不再計算。通過以上分析，可計算出S形軌跡中的各分段函數。在此基礎上，用MATLAB繪出圖2中的路徑，如圖8。

圖8 “S”形路徑圖

圖8中的環形路徑是由多段圓弧和多個完整三角函數組成。同時，樁4、5、6之間的曲線5也可由1/4的三角函數和直線組成，

同樣利用上述方法可獲得8字形路徑，如圖9。

圖9 “8”字形路徑圖

3 凸輪設計

3.1 計算前輪轉角

根據幾何關系，前輪旋轉角度θ等于圓心角λ。側輪的軌跡為運行路徑時，可得出前輪轉角θ為：

傳統授課模式下，教學主要采用課堂講授方式，教學過程是單向的，授課過程是教師的獨角戲，通常是教師制訂課程標準、教學計劃及教學方案，然后開展教學。教師為了完成任務而教學，完全忽略掉了學生在教學過程中的主觀能動性和主體地位，學生變成了知識的容器，完全處于被動接受的地位。這樣做的結果通常是教師在課堂上侃侃而談，學生在課堂上昏昏欲睡，學生缺乏學習的積極性，教學效果很差。

(13)

式中：ρ為曲率半徑；L為小車長度；H為小車寬度。

小車轉向時，小車前、后輪的曲率圓為同心圓。只要計算出小車路徑的曲率半徑，就可得到相應的前輪轉角θ，如圖10所示。

圖10 前輪轉角θ圖

假設小車的長度L和寬度H分別為150 mm和110 mm，從圖8的出發點開始，沿著路徑行駛方向可計算出相應路徑點的前輪轉動角度。當小車前輪左轉時，角度為負；前輪右轉時，角度為正。圖8中路徑對應的前輪轉動角度如圖11。圖中DO是轉向導桿的延長線，O為同心圓的圓心。

圖11 “S”形路徑前輪轉角圖

3.2 計算凸輪輪廓

根據幾何關系，縮短量E和伸長量e′與旋轉角度θ之間的關系如下：

(14)

(15)

小車向右轉和向左轉的凸輪實際半徑分別為：

Rs=r-EE′

(16)

凸輪的旋轉角度ξ為：

(17)

式中：Sn為沿路徑行駛方向上路徑每一點到起始點的路徑長度；S是規劃路徑的總長度。

由于路徑是顯函數組合而成，所以路徑長度可通過積分方法來計算，其中S形路徑S1=811 325 mm、8字形路徑S2=13 708 mm。

通過公式(18)、(19)計算出凸輪輪廓的每一點坐標，利用MATLAB繪制出凸輪輪廓。

(18)

(19)

通過查閱資料可知：偏心凸輪能夠減小轉向導桿與凸輪輪廓接觸時的壓力角。文中所述的偏心凸輪是指轉向導桿的中心軸線位置O′相對于凸輪中心軸線O的升高或降低，其偏心距為e。圖14中左右兩圖分別對應圖12、13中的兩種情況。

圖12、13中，r是凸輪基圓半徑，p是轉向導桿的橫截面半徑，d是凸輪厚度的1/2，t是小車車體對稱中心面與凸輪厚度對稱面的距離。根據幾何關系，可得凸輪實際半徑Rs和Rs′為：

圖12 凸輪半徑縮短時前輪向右轉示意圖

圖13 凸輪半徑伸長時前輪向左轉示意圖

圖14 偏心凸輪的設計圖

(20)

(21)

將式(27)、(29)、(30)帶入式(22)中，同樣可繪制出凸輪輪廓。

通過以上分析，并根據表1所列的車體參數可對S形軌跡和8字形軌跡進行凸輪設計，分別為圖15、16。其結果表明，偏心凸輪的最大半徑比非偏心凸輪的最大半徑小，偏心凸輪的最小半徑比非偏心凸輪的最小半徑大，這使得偏心凸輪輪廓比非偏心凸輪輪廓更光滑。因此，偏心凸輪更有利于小車的運行，其轉向導桿的自鎖概率也更小。

表1 車體參數

圖15 “S”形凸輪

圖16 “8”字形凸輪

3.3 凸輪仿真驗證

在確定無碳小車各參數的情況下，可用仿真來驗證凸輪的合理性、穩定性。盡量在仿真環節中檢查出存在的問題，以最大限度避免后期反復實驗造成的時間和成本的浪費。此次通過Motion分析對8字形非偏心凸輪進行運動軌跡仿真驗證。

取主動輪直徑D=170 mm，可得8字形軌跡對應的傳動比i為：

(22)

結合表1中的車體結構參數，對8字形非偏心凸輪進行仿真，其效果圖如圖17、18。

可以看出：運行多圈時軌跡會產生較小偏移，但從整體上看，全程運行軌跡重復性良好，無撞樁情況發生，滿足賽題要求。仿真結果表明，此方法設計的凸輪是合理有效的，其穩定性良好。這與后期制作出的小車實物實際測試的結果基本吻合，滿足精度要求和設計目標，符合使用條件。

圖17 單圈軌跡仿真效果圖

圖18 多圈軌跡仿真效果圖

4 結 語

研究了基于三角函數的避障路徑規劃方法和凸輪輪廓的設計。該方法充分利用了余弦函數曲率連續光滑的優點和特點，其曲率半徑可從無窮大變為某一特定值，然后結合圓弧和直線設計出小車路徑。文中所提小車路徑設計方法具有普遍性，通過調整余弦函數的周期及振幅就可得到任何曲率半徑連續光滑的運行路徑；通過路徑函數和小車車體的幾何關系，可計算出前輪轉角；根據轉向機構的幾何關系可計算出凸輪的輪廓；根據轉向導桿和凸輪的位置關系，提出了偏心凸輪的設計方法；通過Motion分析驗證了該方法的有效性、合理性，符合實際設計理論，具有較強的適應性。結果表明，偏心凸輪輪廓比非偏心凸輪輪廓更光滑，在一定程度上降低了自鎖的可能性。