信號傳播速度未知下水下多基地聲納定位算法

范超,王鼎,楊賓,尹潔昕

(1.鄭州大學 網絡空間安全學院,河南 鄭州 450001;2.戰略支援部隊信息工程大學 信息系統工程學院,河南 鄭州 450001;3.國家數字交換系統工程技術研究中心,河南鄭州 450002)

0 引言

聲納定位是水下目標源定位的重要手段。傳統的聲納按照工作模式不同可以分為被動式聲納和主動式聲納。被動式聲納靠直接接收水下目標機械工作所發出的噪聲發現目標,隱蔽性較好。然而隨著潛艇隱身技術的深入研究,潛艇發出的噪聲越來越小,被動式聲納的定位性能顯著下降。主動式聲納通過自主發射聲波信號,再接收目標回波對目標進行定位。作用距離相對較遠,但是由于需要主動發射信號,隱蔽性不強。相比于上述兩種聲納,多基地聲納收發裝置是分開放置的,由于發射站可以主動發射信號,具有主動式聲納的優勢,并且它的接收站是被動工作的,隱蔽性較好。由于多基地聲納隱蔽性好、抗干擾能力強、機動性能高以及作用距離遠的優點,已成為國內外學者的研究熱點。

多基地聲納定位的原理是由單個或多個發射站發射聲波信號,由多個接收站接收目標回波,并根據從信號中獲得的時域、頻域、空域或者能量域等參數信息對目標進行定位。這些信息包括到達時間、到達時間差(TDOA)、到達頻率、到達頻率差、到達方位角、到達仰角、接收信號強度和信號到達增益比等。基于上述觀測信息,越來越多的定位算法被提了出來。典型的算法包括泰勒級數迭代法、總體最小二乘算法、約束總體最小二乘算法、兩步加權最小二乘算法、約束加權最小二乘算法,以及基于凸優化的定位算法等。

由于海洋環境的復雜性,上述定位算法并不能直接應用于多基地聲納定位場景中。一個最大的挑戰是,聲波信號的傳播速度受到水溫、水壓以及海水含鹽度等影響,具有不確定性。針對這個問題,一些利用信號傳播速度的統計知識進行定位的算法被提出。這類算法考慮了已知信號傳播速度的誤差對定位的影響,具有較好的性能;然而,當信號傳播速度的統計知識不準確甚至無法獲得時,這類算法就不能使用。為此,一些聯合估計聲波信號傳播速度和目標源位置的算法被提出。然而,現有的這類算法大都存在一些局限性。文獻[25]提出的算法雖然能對聲波信號的傳播速度和目標源的位置進行聯合估計,但它們的估計性能并不是最優的。文獻[26]提出的算法雖然對于信號傳播速度以及目標狀態的估計均方誤差都可以達到相應的克拉美羅界(CRB),但它主要用于被動式聲納定位,并不能直接用于多基地聲納定位系統中。文獻[27]提出了一種多步加權閉式解類算法,且對于目標源位置和聲波信號傳播速度的估計均方誤差都可以達到相應的CRB,然而該算法考慮的是一個二維場景,且需要經過3次偽線性轉化才能得到相應的閉式解,步驟過于繁瑣。

基于算法的研究現狀,本文針對信號傳播速度未知情況下的水下多基地聲納TDOA定位場景,提出一種基于誤差約束等式的兩步閉式解類算法,對目標源位置以及聲波信號傳播速度進行聯合估計。算法第1步采用加權最小二乘方法估計,即通過引入輔助變量,將非線性觀測方程轉化為偽線性方程進行處理,求得目標源位置以及聲波信號傳播速度的初始解;第2步根據輔助變量與估計目標量之間的關系,構造第1步估計解的誤差所服從的等式約束,形成新的優化模型,再用拉格朗日乘子法進行求解。理論研究和實驗結果表明,本文算法對于信號傳播速度和目標源位置的估計均方誤差都可以達到相應的CRB。本文算法主要具有以下三方面優勢:

1)對聲波信號傳播速度和目標源位置進行聯合估計。在信號傳播速度未知的情況下,可以進行有效的定位。

2)計算過程簡單。相對于提出的三步加權最小二乘閉式解方法,本文算法更加簡單,只需要兩步。相對于泰勒級數迭代法,本文算法為閉式解類算法,不需要迭代運算,也不存在初值選取的問題。

3)具有漸近統計最優性。在一定誤差范圍內,算法估計的均方誤差可以達到相應的CRB,且相對于多步加權最小二乘算法,性能更加穩定。

1 定位場景及觀測模型

在本文的定位系統中,發射站和接收站的先驗位置可以統一看作是系統的已知量,記為z=[t,s],假設它們的誤差服從零均值的高斯分布,對應的誤差協方差矩陣為Q=E([Δt,Δs][Δt,Δs]);假設TDOA觀測量的誤差服從零均值的高斯分布,并且對應的誤差協方差矩陣記為Q=E(ΔτΔτ)。由于在實際的定位場景中,聲波信號傳播速度c的精確數值或者先驗已知量可能無法獲取。為減小定位誤差,本文將同時對其進行估計。

總結本文的定位場景如下:已知含有誤差的系統量z以及含有誤差的TDOA觀測量τ,對目標源的位置u以及聲波信號的傳播速度c進行聯合估計。

2 定位算法

2.1 算法原理

由于定位模型的非線性程度較高,傳統的多步加權定位算法需要通過多次偽線性轉換才能得到閉式解。但這種方法不僅步驟繁瑣,并且由于在轉化過程中產生了更多被忽略的2階誤差項,易對定位的性能產生影響。本文基于加權最小二乘估計以及誤差約束的思想,提出一種兩步定位閉式解算法。算法原理如下。

2.1.1 第1步計算原理

式中:ρ=(a-b)/‖a-b‖。

(5)式代入(1)式并進行簡單的乘法轉換,則TDOA觀測方程可以表示為

在整個多基地聲納定位系統中,一共可以得到×個形如(7)式的TDOA觀測方程,為求出其閉式解,需要將其轉化為偽線性方程組進行處理。定義如下未知向量:

式中:()、‖-t ‖以及‖-t ‖為進行偽線性轉換時引入的輔助變量。則TDOA觀測方程組可以轉化為如下偽線性形式:

I 表示維的單位矩陣;為(6)式的向量形式,

為偽線性方程的系數向量,

為偽線性方程的系數矩陣,

表示一個行數為1、列數為-1的矩陣。

則的估計向量可以表示為

式中:為閉式解的加權矩陣,

(15)式和(16)式代入E(),可得

式中:

表示由D ,D ,…,D ,…,D 構成的對角矩陣,

相應地,算法第1步的估計均方誤差矩陣為

理論研究表明,在1階誤差分析理論框架下,加權矩陣的誤差擾動并不會給未知向量的估計精度帶來實質影響。

2.1.2 第2步計算原理

在算法的第1步估計中,由于沒有考慮輔助變量與目標量之間的關系,造成了信息損失,最后的目標估計均方誤差無法達到相應的CRB。為對估計結果進行優化,通過第1步中輔助變量與目標量之間的關系,建立第1步中未知變量的估計誤差所服從的等式約束,并基于此構建新的優化模型,再通過拉格朗日乘子法求解。

記=Δ,將(27)式～(29)式表示的方程進行簡單移位,使關于的線性項位于方程右側,再將其寫為矩陣形式,可得

式中:表示方程的系數向量,

表示方程的系數矩陣,

(30)式即為所滿足的約束等式。

基于最小二乘估計準則,并以(30)式作為約束條件,構建如下約束優化模型:

(35)式可以通過拉格朗日乘子法進行求解。首先構造如下拉格朗日函數:

式中:為拉格朗日參數。根據極值定理可以分別獲得如下兩個等式:

(40)式代入(39)式中并對其進行簡單的等式變換,可得的估計值如下:

根據的定義,可以獲得如下等式:

(41)式和(42)式分別代入(43)式,可得

(44)式即為最終的聯合估計向量。

(35)式中的第2個等式代入(41)式中,可得

根據(45)式以及均方誤差矩陣的定義,可以得到的估計均方誤差矩陣為

2.2 算法步驟及總結

通過2.1節算法原理,給出算法具體步驟如圖2所示。

圖2 本文算法流程圖Fig.2 Flow chart of the proposed algorithm

本文算法雖然是以單目標定位為研究背景,但可以將其推廣應用于多目標定位的場景中。當對多目標進行定位時,需要首先通過水聽器陣列提取TDOA參數,當多個目標中同時包含近場源目標和遠場源目標時,應該分別參照近場源和遠場源模型對陣列信號進行建模,并以此估計TDOA參數。另一方面,由于本文考慮發射站和接收站位置存在先驗誤差的情形,此時需要對多目標進行協同定位以獲得協同增益。這里的多目標協同定位是指將多目標TDOA觀測量合并成一個高維TDOA觀測量,將多目標位置向量合并成一個高維位置向量,然后將本文算法進行適當調整和推廣,使其處理的對象為高維TDOA觀測量,所獲得的估計值是高維位置向量,從而實現多目標協同定位。

本文算法需假設發射站的數量不多于接收站的數量,即≤,這是為了減少第1步中未知向量的變量個數,如果＞,則第1步中的未知向量應變為=[(),,(),‖-‖,…,‖s ‖,‖-‖,…,‖-s ‖],且在后面的推導中應相應地將t 換為s ;由于算法第1步中輔助變量的引入,本文算法要求×≥(2 min(,)+5),以保證算法的第1步具有唯一解;為保證(12)式是一個列滿秩矩陣,各個發射站與接收站應放置在不同的位置;本文算法要求不同信號傳播路徑的聲速大致不變,這同時要求定位場景需要在一個較小的區域內(本文假設在一個2 000 m×2 000 m×2 000 m的三維區域)。

2.3 算法復雜度分析

將以乘法為基本運算,分析本文算法的復雜度,如表1所示。

由表1可見,算法的復雜度主要與發射站個數和接收站個數有關。與泰勒級數迭代法相比,本文算法不需要迭代運算,復雜度較低;與多步加權算法相比,本文算法的基本運算單元較少,相應的總體復雜度也較低。

表1 復雜度分析Tab.1 Complexity analysis

3 理論性能分析

下面推導本文算法的估計均方誤差矩陣,并證明其能夠達到相應的CRB。性能分析采用1階誤差分析方法,即忽略2階及其以上各階的誤差項。

3.1 算法均方誤差原型

根據的定義,可得中前4個元素與目標位置以及信號傳播速度的關系滿足如下等式:

3.2 均方誤差的進一步推導

根據正交投影矩陣的相關公式,對(50)式中的部分項進行轉化,可以得到如下等式:

(51)式代入(50)式中,可得

由(33)式可知:

(32)式以及(54)式～(57)式代入(53)式的右側,可得

由(52)式～(58)式以及通過它們得出的結論,可以得到如下等式:

根據(55)式～(57)式以及通過它們得出的結論,可以計算得到如下等式:

(60)式和(61)式代入(52)式,可得

根據(12)式～(14)式可得如下等式:

(67)式即為本文算法聯合估計的均方誤差矩陣。

3.3 均方誤差與CRB的比較

經過分析可知,本文定位場景相對應的CRB表示如下:

式中:

(73)式代入(67)式中,可得

(74)式表明,在1階誤差理論分析框架下,利用本文算法對目標源位置以及聲波信號傳播速度進行聯合估計的估計均方誤差可以達到相應的CRB。

4 仿真實驗

針對水下定位實際場景,參照文獻[6,27],對發射站和接收站位置和誤差、聲波信號傳播速度、TDOA觀測量及其觀測誤差進行設置,并以此為仿真條件來對本文算法進行性能驗證。

4.1 發射站和接收站位置誤差對本文算法性能的影響

通過仿真實驗來評估系統發射站和接收站位置誤差(站址誤差)對本文算法的性能的影響。

假設如下定位場景:三維水下場景中有一個靜止目標源([200 m,50 m,10 m])。通過多基地聲納系統對目標源進行定位,系統包括2個發射站和5個接收站。發射站和接收站的精確位置如表2所示。聲波信號的傳播速度設為1 480 m/s,在定位系統中未知。

表2 發射站及接收站位置Tab.2 Positions of transmitters and receivers

在本節中,由于要評估系統發射站和接收站位置誤差對本文算法性能的影響,先將TDOA觀測誤差設定為1個較小的數0.000 1 s。假設發射站和接收站的位置誤差可以表示為2,將的取值范圍設置為1～10 m,以保證可以在一個較大的位置誤差范圍內觀測其性能曲線。

本文實驗同時對目標源位置以及聲波信號的傳播速度進行聯合估計,并分別將它們的估計均方誤差與相對應的CRB進行比較。此外,本文實驗還會引入初值為真實值的泰勒級數法、初值為隨機值的泰勒級數法以及多步加權最小二乘算法進行仿真,以比較在相同情況下,4種算法的性能差別。

圖3為對目標源進行定位的場景圖。

圖3 定位場景圖Fig.3 Scene for target localization

用(1,1)+(2,2)+(3,3)反映目標位置估計的CRB,相對應地,用RMSE()反映位置估計的均方誤差;用(4,4)反映聲波信號傳播速度估計的CRB,相對應地,用RMSE()反映聲波信號傳播速度的估計均方誤差。在仿真過程中,進行1 000次蒙特卡洛實驗即可。

圖4和圖5分別為目標源位置以及聲波信號傳播速度的估計性能隨站址誤差的變化曲線。由圖4可知:在站址誤差強度較小時,4種算法對目標源位置以及聲波信號傳播速度的估計均方誤差都可以達到相應的CRB;隨著站址誤差強度的增大,初值為隨機值的泰勒級數法和多步加權算法的估計性能明顯不如本文算法。直觀來看,當=10(站址誤差為20 m)時,圖4中CRB曲線所對應的數值為23.27 m,本文算法、多步加權算法、初值為真實值的泰勒級數法定位精度分別為23.47 m、27.64 m和23.35 m;與多步加權算法相比,本文算法對目標源位置的定位精度提高了4.17 m,與初值為真實值的泰勒級數法定位精度非常接近,僅相差0.12 m,但初值為隨機值的泰勒級數法的估計結果則完全發散。圖5中CRB曲線所對應的數值為64.88 m/s,本文算法、多步加權算法、初值為真實值的泰勒級數法估計精度分別為67.23 m/s、77 m/s和66.11 m/s;與多步加權算法相比,本文算法對信號傳播速度的估計精度提高了9.77 m/s,與初值為真實值的泰勒級數法估計精度非常接近,僅相差1.12 m/s,但初值為隨機值的泰勒級數法估計結果則完全發散。分析以上數據可以發現:當站址誤差強度較大時,無論是對目標源位置還是信號傳播速度的估計,本文算法的估計精度都明顯高于多步加權算法;與泰勒級數法相比,本文算法不存在初值選取不合適時,估計結果不收斂的問題。

圖4 目標源位置估計性能隨站址誤差的變化曲線Fig.4 Variation curve of target position estimation performance with station position error

圖5 信號傳播速度估計性能隨站址誤差的變化曲線Fig.5 Variation curve of signal propagation speed estimation performance with station position error

圖6和圖7分別為=10時目標源位置和聲波信號傳播速度估計RMSE的累計分布函數(CDF)圖。觀察圖6可以發現:當縱坐標的值一定時,本文算法對應曲線的橫坐標明顯小于多步加權算法與初值為隨機值的泰勒級數法,且與初值為真實值的泰勒級數法相近。表明在本節仿真條件下,對應于相同的概率情況,本文算法對于目標源位置的估計RMSE明顯小于多步加權算法與初值為隨機值的泰勒級數法,且更接近初值為真實值的泰勒級數法,與圖4中=10時的仿真結果相符。圖7與圖6的曲線變化相似,用相同方法分析可知:在本節仿真條件下,對應于相同的概率情況,本文算法對于聲波信號傳播速度的估計RMSE明顯小于多步加權算法與初值為隨機值的泰勒級數法,且更為接近初值為真實值的泰勒級數法,這正好與圖5中=10時的仿真結果相符。

圖6 σ1=10時目標源位置估計RMSE的CDF圖Fig.6 CDF curves of RMSE of target position estimation forσ1=10

圖7 σ1=10時聲波信號傳播速度估計RMSE的CDF圖Fig.7 CDF curves of RMSE of signal propagation speed estimation forσ1=10

通過本文實驗以及對實驗結果的分析可以得到如下結論:當發射站和接收站的位置存在誤差時,在一定的誤差強度下,本文算法無論是對目標源的位置還是聲波信號傳播速度的估計,估計均方誤差都可以達到相對應的CRB;隨著誤差強度增大,算法的估計均方誤差雖然會逐漸偏離相對應的CRB,但是始終低于多步加權算法的估計均方誤差,且更加接近初值為真實值的泰勒級數法。因此,當無法獲得合適的初值信息時,本文算法的估計性能更優。

4.2 TDOA觀測誤差對本文算法性能的影響

下面通過數值實驗評估TDOA觀測誤差對本文所提出兩步算法定位性能的影響。

假設如下定位場景:三維水下場景中有一個靜止目標源([200 m,50 m,10 m])。通過多基地聲納定位系統對目標源進行定位,系統包括2個發射站和5個接收站。發射站和接收站的精確位置如表3所示。聲波信號的傳播速度設1 480 m/s,在定位系統中未知。

為了評估TDOA觀測誤差對算法性能的影響,先將發射站和接收站的位置誤差設為一個較小的數0.1 m。假設TDOA觀測誤差可以表示為0.000 3s,的范圍設置為1～10 s,以保證可以在一個較大的TDOA觀測誤差范圍內觀測其定位性能的變化。

本文實驗將對目標源位置以及聲波信號的傳播速度進行聯合估計,并分別將它們的估計均方誤差與相對應的CRB進行比較。此外,本文實驗還會引入初值為真實值的泰勒級數法、初值為隨機值的泰勒級數法以及多步加權最小二乘算法進行仿真,以比較在相同情況下4種算法的性能差別。

對于目標源位置以及信號傳播速度的估計均方誤差與CRB的表示與4.1節的相同。在實驗過程中,進行1 000次的蒙特卡洛仿真。

圖8和圖9分別為目標源位置以及信號傳播速度估計性能隨TDOA觀測誤差的變化曲線。由圖8和圖9可知:在TDOA觀測誤差強度較小時,4種算法對目標源位置以及聲波信號傳播速度的估計均方誤差都可以達到相應的CRB,但是隨著TDOA觀測誤差強度的增大,初值為隨機值的泰勒級數法和多步加權算法的估計性能明顯不如本文算法;當=10時,圖8中CRB曲線所對應的數值為4.831 m,本文算法、多步加權算法、初值為真實值的泰勒級數法定位精度分別為4.872 m、5.081 m和4.838 m;與多步加權算法相比,本文算法對目標源位置的定位精度提高了0.209 m,與初值為真實值的泰勒級數法定位精度非常接近,僅相差0.034 m,但初值為隨機值的泰勒級數法的估計結果則完全發散。圖9中CRB曲線所對應的數值為10.24 m/s,本文算法、多步加權算法、初值為真實值的泰勒級數法估計精度分別為10.46 m/s、11.69 m/s和10.26 m/s;與多步加權算法相比,本文算法對聲速的估計精度提高了1.23 m/s,與初值為真實值的泰勒級數法估計精度非常接近,僅相差0.2 m/s,但初值為隨機值的泰勒級數法估計結果則完全發散。分析以上數據可以發現:當TDOA觀測誤差強度較大時,無論是對目標源位置還是信號傳播速度的估計,本文算法的估計精度都明顯高于多步加權算法,且與泰勒級數法相比,本文算法不存在初值選取不合適時估計結果不收斂的問題。

圖8 目標源位置估計性能隨TDOA觀測誤差的變化曲線Fig.8 Variation curve of target position estimation performance with TDOA observation error

圖9 信號傳播速度估計性能隨TDOA觀測誤差的變化曲線Fig.9 Variation curve of signal propagation speed estimation performance with TDOA observation error

圖10和圖11分別為=10時目標源位置和聲波信號傳播速度估計RMSE的CDF圖。觀察圖10可以發現:當縱坐標的值一定時,本文算法所對應曲線的橫坐標明顯小于多步加權算法與初值為隨機值的泰勒級數法,而與初值為真實值的泰勒級數法相近。表明在本節仿真條件下,對應于相同的概率情況,本文算法對于目標源位置的估計RMSE明顯小于多步加權算法與初值為隨機值的泰勒級數法,且更接近初值為真實值的泰勒級數法,正好與圖8中當=10時所仿真的結果相符。圖11與圖10的曲線變化相似,用相同方法分析可以發現:在本節仿真條件下,對應于相同的概率情況,本文算法對于聲波信號傳播速度的估計RMSE明顯小于多步加權算法與初值為隨機值的泰勒級數法,且更接近初值為真實值的泰勒級數法,正好與圖9中=10時的仿真結果相符。

圖10 σ2=10時目標源位置估計RMSE的CDF圖Fig.10 CDF curves of RMSE of target position estimation forσ2=10

圖11 σ2=10時聲波信號傳播速度估計RMSE的CDF圖Fig.11 CDF curves of RMSE of signal propagation speed estimation forσ2=10

通過本節實驗以及對實驗結果的分析可以得到以下結論:當TDOA觀測值存在誤差時,在一定誤差強度下,本文算法無論是對目標源位置還是聲波信號傳播速度的估計,估計均方誤差都可以達到相應的CRB;隨著誤差強度的增大,本文算法的估計均方誤差雖然會逐漸偏離相對應的CRB,但是始終低于多步加權算法的估計均方誤差,且更加接近初值為真實值的泰勒級數法。因此,當無法獲得合適的初值信息時,本文算法的估計性能更優。

4.3 目標源位置對本文算法性能的影響

下面通過數值實驗評估不同目標源位置對本文兩步算法定位性能的影響。

假設如下定位場景:將1個目標源在一個立方區域內設置30個隨機位置,目標源位置在軸、軸和軸的變化范圍都為-1 000～1 000 m。通過多基地聲納定位系統對目標源進行定位,系統包括2個發射站和5個接收站。發射站和接收站的精確位置如表3所示。聲波信號的傳播速度為1 480 m/s,在定位系統中未知。

首先將TDOA觀測誤差設定為0.000 01 s。假設發射站和接收站的位置誤差可以表示為0.3,的取值范圍為1～10。仿真中進行1 000次的蒙特卡洛仿真。

圖12和圖13分別為當站址誤差變化時,目標源的30個隨機位置及其相對應的信號傳播速度的估計均方根誤差的箱線圖;圖14和圖15分別為它們所對應的CRB箱線圖。

圖12 目標源30個隨機位置的估計均方根誤差隨站址誤差的變化Fig.12 Change of RMSE of 30 random positions for target source with station position error

圖13 目標源的30個隨機位置相對應的信號傳播速度的估計均方根誤差隨站址誤差的變化Fig.13 Change of RMSE of signal propagation speeds corresponding to the 30 random positions of target source with station position error

圖14 目標源30個隨機位置的估計CRB隨站址誤差的變化Fig.14 Change of CRB of 30 random positions for target source with station position error

圖15 目標源30個隨機位置相對應的信號傳播速度估計的CRB隨站址誤差的變化Fig.15 Change of CRB of signal propagation speeds corresponding to the 30 random positions of target source with station position error

比較圖12和圖14可以發現:對應于相同的,兩幅圖的箱盒最大值和最小值都非常接近,例如當=4(站址誤差為1.5 m)時,估計均方根誤差和對應的CRB最大值分別為3.473 3 m和3.464 6 m,僅相差0.008 7 m;最小值分別為1.787 3 m和1.77 m,僅相差0.017 3 m。比較圖13和圖15同樣可以發現:對應于相同的,兩幅圖的箱盒最大值和最小值都非常接近,例如當=4(站址誤差為1.5 m)時,估計均方根誤差和對應的CRB最大值分別為4.240 8 m/s和3.873 4 m/s,僅相差0.367 4 m/s;最小值分別為1.526 3 m/s和1.550 2 m/s,僅相差0.023 9 m/s。通過上述分析可以得到如下結論:在一定站址誤差范圍內,對于目標源不同位置情況,本文算法的目標源位置和信號傳播速度的估計均方誤差都可以達到相應的CRB,即算法具有漸近最優性。

將站址誤差設定為0.1 m。假設TDOA觀測誤差可以表示為0.000 3,的取值范圍為1～10。仿真中進行1 000次蒙特卡洛仿真。

圖16和圖17分別為當TDOA觀測誤差變化時,目標源30個隨機位置及其相對應的信號傳播速度的估計均方根誤差的箱線圖。圖18和圖19分別為它們所對應的CRB箱線圖。比較圖16和圖18可以發現:對應于相同的,兩幅圖的箱盒最大值和最小值都非常接近,例如當=5(TDOA觀測誤差為0.001 5 s)時,估計均方根誤差和對應的CRB最大值分別為5.034 8 m和4.846 4 m,僅相差0.188 4 m;最小值分別為2.405 4 m和2.471 5 m,僅相差0.066 1 m。比較圖17和圖19同樣可以發現:對應于相同的,兩幅圖的箱盒最大值和最小值都非常接近,例如當=5(TDOA觀測誤差為0.001 5 s)時,估計均方根誤差和對應的CRB最大值分別為5.840 6 m/s和5.622 7 m/s,僅相差0.217 9 m/s;最小值分別為2.466 4 m/s和2.132 8 m/s,僅相差0.333 6 m/s。通過上述分析可以得到如下結論:在一定TDOA觀測誤差范圍內,對于目標源的不同位置情況,本文算法目標源位置和信號傳播速度的估計均方誤差都可以達到相應的CRB,即算法具有漸近最優性。

圖16 目標源30個隨機位置的估計均方根誤差隨TDOA觀測誤差的變化Fig.16 Change of RMSE of 30 random positions of target source with TDOA observation noise

圖17 目標源30個隨機位置相對應的信號傳播速度的估計均方根誤差隨TDOA觀測誤差的變化Fig.17 Change of RMSE of signal propagation speeds corresponding to 30 random positions of target source with TDOA observation noise

圖18 目標源30個隨機位置的估計CRB隨TDOA觀測誤差的變化Fig.18 Change of CRB of 30 random positions of target source with TDOA observation noise

圖19 目標源30個隨機位置相對應的信號傳播速度估計的CRB隨TDOA觀測誤差的變化Fig.19 Change of CRB of signal propagation speeds corresponding to 30 random positions of target source with TDOA observation noise

通過本節實驗以及對實驗結果的分析可以得到以下結論:在一定站址誤差和TDOA觀測誤差范圍內,對于目標源的不同位置情況,本文算法的目標源位置和信號傳播速度的估計均方誤差都可以達到相應的CRB,即算法具有漸近最優性。

5 結論

本文針對水下多基地聲納TDOA定位場景中聲波信號傳播速度未知而導致待估計量增加的情況,提出一種基于誤差約束等式的聯合估計信號傳播速度與目標源位置的兩步閉式解定位算法。算法核心主要包括加權最小二乘估計以及誤差約束等式的拉格朗日乘子法求解。算法相比于多步加權最小二乘算法更加簡單,性能更加穩定;相對于泰勒級數迭代法,不存在初值選取問題,也不需要復雜的迭代過程,從理論上證明了算法的性能良好,均方誤差可以達到相應的CRB,并通過多個實驗仿真與現有算法進行比較,體現了算法性能的優越性。所得主要結論如下:

1)在發射站位置和接收站位置存在誤差時,在一定誤差強度下,本文算法對于目標源位置以及聲波信號傳播速度的估計均方誤差都可以達到相應的CRB。

2)在TDOA觀測量存在誤差時,在一定誤差強度下,本文算法對于目標源位置以及聲波信號傳播速度的估計均方誤差都可以達到相應的CRB。

3)與多步加權算法相比,本文算法可以在更大誤差強度內保持相對較好的聯合估計性能,算法的性能更加穩定。

4)與泰勒級數迭代法相比,本文算法在一定誤差強度下,定位性能接近于泰勒級數迭代法的定位性能;本文算法不存在初值選取問題。

5)在一定站址誤差和TDOA觀測誤差范圍內,對于目標源不同位置情況,本文算法目標源位置和信號傳播速度的估計均方誤差都可以達到相應的CRB,即算法具有漸近最優性。