隨機退化應力作用下設備剩余壽命預測方法

許曉東,唐圣金,謝建,于傳強,王鳳飛,韓洋洋

(火箭軍工程大學 兵器發射理論與技術國家重點學科實驗室,陜西西安 710025)

0 引言

設備安全、可靠的工作高度依賴于健康性能,然而,設備在運行過程中會逐漸老化,進而導致性能降低甚至失效,進一步引起系統的停機甚至災難性事故。因此,很有必要采取措施來保證設備的安全性和可靠性。工程實踐表明,預測與健康管理(PHM)技術可以減少維護費用、提高設備的可靠性和安全性、降低失效事件發生的風險。PHM包含兩層含義,一是預測,通過對設備的故障診斷和健康狀態監測,預測設備的有效性和剩余壽命;二是管理,根據預測信息和使用要求等信息,做出最優維護策略。可見,該技術的關鍵問題是通過狀態監測數據預測剩余壽命,進一步評估設備的安全性和可靠性,并確定最佳維護管理策略。綜上所述,有效的剩余壽命預測對提高設備使用過程中的可靠性與安全性具有重要意義。

目前,基于數據驅動的設備剩余壽命預測方法已經逐步成為故障預測與健康管理領域的研究熱點。該類方法主要包括濾波、機器學習和統計學習。濾波主要包括卡爾曼濾波和粒子濾波等,卡爾曼濾波只適用于線性高斯模型,粒子濾波在重采樣過程中存在著樣品簡并、粒子貧化等問題。機器學習的方法是通過機器模擬人腦學習數據的特征并訓練退化模型,然后預測設備的剩余壽命,根據學習的深度可以分為淺層學習和深度學習。該方法雖然可以通過機器學習建模設備的退化過程,并預測設備的剩余壽命,但由于建立的是黑箱模型,預測結果的可解釋性不強。

統計學習的方法是基于概率論和數理統計,通過隨機過程建立設備退化模型,根據歷史數據估計先驗參數,在貝葉斯框架下在線預測剩余壽命。該方法主要包括高斯過程、馬爾可夫過程和維納過程等。鑒于隨機過程可以很好地描述設備退化過程的不確定性,很多學者都基于隨機過程建立設備的退化模型,進行剩余壽命預測。維納過程是由布朗運動驅動的具有漂移系數的一類擴散過程,適合描述具有不連續增大或減小趨勢的非單調退化過程,在一般退化建模中應用非常廣泛。Zhai等提出一種利用布朗運動進行自適應漂移的自適應維納過程模型,并得到了該模型的剩余壽命預測結果表達式。Tang等通過建立基于線性維納過程的退化模型來預測剩余壽命,該模型可以很好地描述設備退化過程。考慮到實際退化過程的非線性特性,Si等通過建立基于非線性維納過程的設備退化模型實現了剩余壽命預測。Wang等提出了一種具有相關性的兩階段維納過程,基于貝葉斯理論和吉布斯采樣算法在線更新參數,得到設備的剩余壽命分布。Feng等提出一種基于二維維納過程建模的剩余壽命預測方法。Zhang等開發了一種基于Box-Cox變換和蒙特卡洛模擬的剩余壽命預測方法,該方法不依賴于離線訓練數據。綜上所述,基于隨機過程建模的方法可以很好地描述設備的退化過程。

然而,由于內部退化狀態和外部使用工況的時變性,設備在實際使用過程中常受到隨機退化應力的影響,例如:外部天氣變化和自身運行發熱產生的溫度變化等。現有研究表明隨機應力對設備的退化規律有很大影響,Xu等也將時變應力工況作為未來預測與健康管理領域的一個重要研究方向。變應力工況下的退化過程是動態、時變的非線性過程,構建準確的退化模型涉及大量參數,計算復雜。然而現有的剩余壽命預測研究中大都基于恒定應力的理想工況,隨機應力作用下的退化規律還未見具體的研究。因此,針對實際使用過程的隨機退化應力工況,開展退化建模以及剩余壽命預測方法研究,對實現實際使用工況下設備的預測性維護,提高設備的安全性和可靠性,具有重要意義。

本文主要將隨機退化應力引入退化模型中,基于維納過程構建隨機退化應力作用下的設備退化模型并推導剩余壽命概率密度分布函數,基于鋰電池實驗退化數據驗證了所提方法的有效性。結果表明,考慮隨機應力對設備退化規律的影響,能夠有效提高剩余壽命的預測精度。

1 隨機退化應力作用下退化建模與參數估計

由于內部退化狀態和外部使用工況的隨機性,設備的退化速率和健康狀況都會隨著退化應力的變化而變化,進而導致設備的不規律退化。維納過程適合描述具有不連續增大或減小趨勢的非單調退化過程,本節主要介紹在隨機退化應力作用下,基于維納過程的退化建模和先驗參數估計方法。

1.1 退化建模

隨機退化應力作用下設備的退化過程可以用基本的維納過程表示如(1)式:

式中:X(t)為設備退化過程,t為狀態監測時間,k為設備狀態監測點數量;x為初始狀態;λ(F)為漂移系數,表征退化速率,F為退化應力,p為狀態監測點;Λ(t,θ)為非線性退化系數,t為時間,θ為模型非線性參數,當Λ(t,θ)=t時表征線性退化過程;σ為擴散系數;B(t)為標準的布朗運動,表征退化過程的動態特性和不確定性。

與恒定應力的退化模型相比,隨機應力作用下的退化速率λ(F)會隨著應力變化而變化。因此設備的漂移系數用隨機應力模型來表示如下:

式中:F為應力大小;a為隨機系數,a=(a,a,…,a,…,a),a表示第n個設備的隨機系數,N為設備總數;f(F;Φ)為退化系數,Φ為退化參數。為了表示不同設備之間的個體差異,將漂移系數看成隨機變量,服從如下分布:

式中:λ(T)為漂移系數;μ為隨機系數的期望;σ為隨機系數的方差。

綜上所述,隨機應力作用下的設備退化過程可以基于維納過程表示如下:

式中:X(t|T(t))表示t時刻的設備退化狀態;Λ′(t,θ)為Λ(t,θ)的1階導數;F(t)為隨時間t變化的應力函數。

為了方便表示,(4)式可以表示如下:

式中:

基于退化過程的壽命定義為表示設備的退化狀態首次達到失效閾值的時刻。令設備的失效閾值為w,則其剩余使用壽命L可定義為性能退化狀態首次達到失效閾值的時間,即

基于全概率公式,隨機退化應力作用下的設備剩余壽命概率密度函數可表示如下:

1.2 離線參數估計

下面通過融合期望最大化算法和粒子群優化算法估計模型的先驗參數。假設共有N個設備投入試驗,第n個設備退化數據的測試時間為{t,t,…,t},m表示第n號設備的檢測次數,檢測時間t的真實退化數據為x=X(t),T(t)表示第n號電池的隨機退化應力函數,{x,x,…,x}表示所有退化數據,x={x,x,…,x}。 令Δx=x-n、Δt=t-t,根據維納過程的性質,有

期望最大化算法用于在依賴于不可觀察的隱性變量概率模型中尋找參數最大似然估計或者最大后驗估計,主要分為兩個步驟:1)計算期望(E步),利用對隱藏變量的現有估計值,計算其最大似然估計值;2)估計參數(M步),根據最大化E步求得的最大似然值來估計參數。M步得出的參數估計值被用于下一個E步計算,迭代計算,即可得到參數的最大似然估計值。建立設備退化數據的完全似然函數為

在給定模型參數(=1,2,3,…表示期望最大化算法的迭代次數)的情況下,根據貝葉斯理論,可以得到a|,服從高斯分布,即

式中:

根據貝葉斯理論,有

證畢。

下面基于期望最大化算法估計模型參數。首先開展E步,計算完全似然函數(11)式的期望:

式中:

最大化(24)式,可得,本文采用粒子群優

2 貝葉斯框架下在線預測剩余壽命

在貝葉斯框架下在線更新隨機系數,并推導隨機退化應力作用下設備的剩余壽命概率分布表達式。

2.1 貝葉斯框架下更新漂移系數

式中:

A和B的求解公式見(15)式和(16)式。

2.2 在線預測剩余壽命

檢測到設備的現場退化數據后,令l=tt(l≥0),則退化過程(5)式可以轉化為

式中:(0)=0

基于首達時間的概念,設備在時刻t的剩余壽命可以轉化為退化過程{(l),l≥0}穿過失效閾值w=-x的首達時間。則相應的剩余壽命可以定義

式中:={,,,…,F}。

綜上所述,根據全概率公式,可以得到在當前時刻t,設備在隨機退化應力條件下剩余壽命的概率密度分布函數如下:

式中:

3 實驗驗證

通過實例研究驗證本文方法的有效性。隨著新能源技術的迅速發展,鋰離子電池已廣泛應用于電動車輛,在軍用武器裝備儲能系統的應用也越來越多。下面基于標稱容量為2 A·h的18650型鋰離子電池退化數據開展實驗驗證,電池失效壽命閾值定義為初始容量的70%,即1.4 A·h,實驗數據如圖1所示。通過將本文預測方法與文獻[17]帶測量誤差的剩余壽命預測方法、文獻[19]考慮復蘇效應的剩余壽命預測方法進行實驗對比,說明本文方法的有效性。

由圖1可見,由于每次充放電循環之間的日歷間隔時間不同,導致電池容量出現不規律的退化,本文的隨機退化應力特征通過提取相鄰兩次循環充放電的日歷時間間隔Δ,采用Power Rule指數隨機應力模型,模擬電池基于充放電循環日歷時間間隔的隨機退化應力。考慮到實際退化過程的線性特征比較明顯,令(;)=。隨機選取5號電池退化數據作為實驗集進行模型和方法的驗證,6號、7號和18號電池的數據作為先驗退化數據。5號電池的真實壽命為124次;6號、7號和18號電池的實際壽命分別為108次、166次和96次。

圖1 鋰離子電池退化實驗數據Fig.1 Degradation data of 4 lithium-ion batteries

隨機選取當前退化時刻=90時,基于現場退化數據,分別采用3種方法訓練電池的老化模型并估計先驗參數,在貝葉斯框架下在線預測電池的剩余使用壽命如圖2所示。由圖2可見:本文預測方法壽命預測結果為124.6次,相對誤差為0.6次;文獻[17]預測方法和文獻[19]預測方法沒有考慮隨機退化應力作用對電池退化規律的影響,壽命預測結果分別為147.1次和125.7次,相對誤差分別為23.1次和1.7次。可見,本文方法相對于傳統預測方法有更高的壽命預測精度。

圖2 3種方法的壽命預測結果Fig.2 RULs predicted by 3 predic methods

不失一般性,分別采用3種方法計算出部分時間點的剩余壽命概率密度分布曲線,如圖3所示。

由圖3可見,3種方法計算的剩余壽命分布都能覆蓋實際的剩余壽命;本文預測方法的剩余壽命分布更集中在實際剩余壽命附近,表明本文方法比傳統預測方法有更高的剩余壽命估計精度;文獻[17]預測方法和文獻[19]預測方法的剩余壽命預測精度下降,是因為未考慮隨機退化應力對鋰離子電池退化規律的影響,進而導致相比于本文方法高估隨機退化過程的擴散系數,在首達時間概念下,過大的擴散系數估計造成剩余壽命估計分布偏左,且剩余壽命預測結果更寬,進一步造成預測結果的不確定性增加。此外,分別計算3種方法不同時間點剩余壽命預測結果的相對誤差和均方誤差如圖4和圖5所示。

圖3 3種方法剩余壽命預測的概率密度分布Fig.3 PDFs of RULs predicted by 3 prediction methods

圖4 3種預測方法不同時間點預測結果的相對誤差Fig.4 REs of RULs predicted by 3 prediction methods at different time points

圖5 3種預測方法不同時間點預測結果的均方誤差Fig.5 MSEs of RULs at different time points predicted by 3 prediction methods

由圖4可見,無論現場退化信息充分與否,本文預測方法在各個時間點的相對誤差要明顯小于傳統的預測方法,表明本文方法在各個時間點均有較高的剩余壽命預測精度。由圖5可見,無論現場退化信息充分與否,本文方法在各個時間點的均方誤差要明顯小于傳統的預測方法,這是因為隨機退化應力會增加鋰離子電池退化過程的不確定性,而文獻[17]預測方法和文獻[19]預測方法的退化模型中未考慮應力變化對鋰離子電池退化規律的影響,從而導致文獻[17]預測方法和文獻[19]預測方法過高估計擴散系數,進而造成壽命預測結果的不確定性增大且概率密度分布變寬,這一點從圖3的概率密度分布結果也可以看出。

從圖4中還可以看出,當=80后,基于現場退化數據訓練模型的準確度較高,預測精度也逐漸收斂。因此,計算=80后3種方法的剩余壽命預測結果的平均絕對百分誤差和均方根誤差如表1所示。由表1可見:本文方法的平均絕對百分誤差僅為1.293次,文獻[17]預測方法和文獻[19]預測方法的平均絕對百分誤差則為7.967次和2.382次;本文方法的均方根誤差為5.572,文獻[17]預測方法和文獻[19]預測方法的均方根誤差則高達46.696和7.419。由此可見,本文提出的預測方法相比于傳統的預測方法具有更高的剩余壽命估計精度和更小的預測結果的不確定性。

表1 3種方法的MAPE和RMSETab.1 MAPEs and RMSEs of RULs predicted by 3 prediction methods

4 結論

本文將隨機退化應力引入退化模型,基于維納過程構建應力變化影響下的設備老化模型,并推導剩余壽命概率分布函數。通過實例研究驗證了本文模型和方法的有效性。結果表明,隨機退化應力工況對設備的退化規律有較大影響,如果在剩余壽命預測中不考慮應力變化,會大幅度降低剩余壽命估計的精度并增加預測結果的不確定性,進而導致提高設備使用過程中的維護費用。本文通過將隨機退化應力引入設備的退化模型,能夠更好地模擬設備在實際使用過程中的退化過程,有效提高實際使用工況下壽命估計精度并減小預測結果的不確定性。對于高可靠性和高安全性要求的設備具有一定理論意義與工程應用價值。兩個主要創新點為:

1)建立了隨機退化應力作用下設備老化速率的數學模型,可以有效模擬時變退化應力對設備退化速率的影響。

2)基于維納過程建立了設備隨機退化應力作用下的老化模型,提出了一種新的融合期望最大化算法和粒子群優化算法的先驗參數估計方法,并推導了剩余壽命概率密度分布函數的表達式。