新型三維平移自由度Delta機構準零剛度隔振平臺及特性

翁澤宇,劉勝利,吳曉郁,余行行,王武江,朱甫宏

(1.浙江工業大學 機械工程學院,浙江 杭州 310023;2.31606部隊,浙江 湖州 313005)

0 引言

為確保車載移動高端測控儀器設備的安全性和可靠性,對隔振裝置的隔振效果提出越來越高的要求。對于被動隔振系統,提高系統低頻隔振性能的有效方法是降低系統剛度以獲得較低固有頻率,但簡單地降低系統剛度會減弱系統承載能力,影響系統穩定性。通過負剛度機構與承載質量的正剛度機構并聯得到的準零剛度系統,能很好地解決靜承載力和低剛度之間的矛盾,有效降低系統的固有頻率,獲得較低的隔振傳遞率。準零剛度系統最早由Molyneux于20世紀50年代提出,目前基于已經發展出的多種負剛度機構,針對不同應用場景,可以得到多種不同類型的準零剛度系統。近年來,準零剛度隔振技術已成為振動控制領域研究的熱點[1-5]。

在工程實際中,對隔振裝置的要求往往是多方向的,基于并聯機構設計多自由度隔振裝置,是一種針對多方向隔振的有效技術方案,已在航天、精密儀器等高端裝備上得到應用[6-9]。進一步,在此基礎上引入準零剛度的概念,構建并聯機構準零剛度隔振裝置,是解決多方向低頻隔振問題的一種新思路。

目前在并聯機構隔振平臺中引入準零剛度系統的研究已有開展。Zhou等[10]設計了由凸輪-滾珠-簧片梁負剛度機構并聯正剛度軸向彈簧的準零剛度壓桿,并用8條這種準零剛度壓桿構造成六自由度Stewart并聯機構隔振裝置;Wu等[11]將6個具有準零剛度特性的X形結構作為Stewart平臺的支腿,實現了六自由度的低頻隔振;鄭良辰[12]將彈簧-滑塊-連桿負剛度機構與正剛度彈簧并聯組成的準零剛度系統,作為三自由度并聯機構的移動副,實現了多維低頻隔振。這些技術方案都只是將準零剛度系統作為彈性元件整體嵌入并聯機構中,屬于準零剛度系統與并聯機構的簡單集成,其特點是原理簡單,但系統結構較為復雜,往往構件會有冗余,結構不夠緊湊。

本文將負剛度機構與并聯機構聯合設計,先給出一種平移副軸線與動平臺平行的新型Delta并聯機構,利用該Delta機構直接演繹成為具有負剛度特性的并聯機構。然后并聯正剛度的豎直彈簧,得到一種新型三維平移自由度Delta機構準零剛度隔振平臺,實現了并聯機構與準零剛度系統的有機融合。測試結果表明,該隔振平臺在主隔振(豎直)方向具有準零剛度特性,在水平方向也具有較低的固有頻率,有利于大幅度提高車載測控設備的隔振效果。

1 新型Delta機構準零剛度隔振平臺

1.1 新型Delta機構

Delta機構結構緊湊,末端可獲得高精度和高速度,是最典型的并聯機構之一[13-15]。最常見的Delta機構的主動副多為轉動副,將主動副設計為平移副的直線型Delta機構結構簡圖(見圖1),在動平臺和靜平臺之間的3條支鏈均由相同的平行四邊形和平移副組成。直線型Delta機構相對于主動副為轉動副的旋轉型Delta機構具有更好的系統剛度,在直線型Delta機構的平移副中設置彈性元件即彈簧,不僅易于調整機構的剛度特性,而且調整的效果更加顯著。

圖1 直線型Delta機構結構簡圖Fig.1 Schematic diagram of linear Delta mechanism

在普通直線型Delta機構中,平行四邊形機構的連桿兩端均為球鉸連接,存在一個繞連桿自身軸線轉動的冗余自由度,該冗余自由度對并聯機構的運動輸出沒有影響,但連桿可能會出現繞自身軸線轉動的自由振動,其對隔振平臺動態性能的影響具有不確定性。因此,基于構型演變法,用轉動副代替普通直線型Delta機構中平行四邊形機構的球鉸,并在滑塊、動平臺與平行四邊形機構連接處分別增加一個轉動副,發展得到一種新型直線型Delta機構構型,可簡稱為新型Delta機構,該機構不存在冗余自由度,機構原理如圖2所示。圖2中,A1A2A3為動平臺、B1B2B3為靜平臺,兩平臺間以靜平臺中心為軸心呈軸對稱布置3條完全相同的支鏈,每條支鏈由一個平行四邊形機構AiEi(i表示第i條支鏈,i=1,2,3)和一個平移副Di組成,C1、C2和C3為靜平臺B1B2B3上的3個點。平行四邊形機構由2根轉軸與2根連桿通過轉動副相連接構成,轉軸Ai與動平臺相連,轉軸Ei安裝在滑塊Di中,且能繞自身軸線自由轉動。連桿的兩端可視為2個虎克鉸,3個水平設置的滑塊Di作為平移副,可作為該機構的主動副。

圖2 新型Delta機構結構簡圖Fig.2 Structural diagram of a novel Delta mechanism

3組平行四邊形機構確保新型Delta機構消除了動平臺的3個轉動自由度,保留了3個空間平動自由度,使動平臺在運動過程中始終與靜平臺保持平行。采用修正的Grubler-Kutzbach公式計算該機構的空間自由度為3.

圖3所示為新型Delta機構的運動學分析俯視簡圖。圖3中,Oxyz為平衡狀態時以A1A2A3平面的中心O為原點建立的直角坐標系,z軸正向垂直于A1A2A3平面且遠離靜平臺方向,O′為動平臺的中心,η1為第1條支鏈的方向與x軸的夾角。為使結構更加緊湊,圖2中平行四邊形機構AiEi可用虛擬連桿Ai Di(i=1,2,3)代替。動平臺位于平衡位置時,平行四邊形機構處于水平狀態。

圖3 新型Delta機構運動簡圖Fig.3 Motion diagram of a new Delta mechanism

該機構只有3個平動自由度,平行四邊形機構始終保持在平面內。設動平臺外接圓半徑O′Ai為ra,滑塊到原點O的距離ODi為rdi,連桿長度AiDi為L,OAi與靜坐標系x軸的夾角為ηi。動平臺偏離平衡位置后,O′點和原點O不再重合,當O′位于(x,y,z)位置時,滑塊Di產生位移hi,可得

由于連桿長度L為定值,機構運動學方程為

由(4)式可得

按1階泰勒公式展開,得

改寫為矩陣形式為

1.2 新型Delta機構準零剛度隔振平臺

以新型Delta機構為基礎,將3個平移副由3組水平彈簧來驅動,可得到具有負剛度特性的并聯機構。將彈簧軸線平行于平行四邊形機構所在平面和動平臺所在平面時的位置設計為負剛度機構的平衡位置,可使動平臺在豎直方向的正向和負向均具有相同的剛度特性,同時在機構的平衡位置附近,平移副的滑動摩擦力最小,有利于降低負剛度機構的摩擦阻尼。將該具有負剛度特性的并聯機構與正剛度的豎直彈簧并聯,可得到新型Delta機構準零剛度隔振平臺,如圖4所示。

圖4 新型Delta機構準零剛度隔振平臺Fig.4 Quasi-zero stiffness vibration isolation platform with Delta mechanism

由該準零剛度系統的靜力學分析,可得系統具有準零剛度特性的條件為

式中:kv為豎直彈簧剛度;kh為水平彈簧剛度;λ0為水平彈簧壓縮量。

選擇合適的kv與kh值,使平行四邊形機構處于水平狀態的平衡位置時,該新型Delta機構隔振平臺在豎直方向上可獲得準零剛度特性。新型Delta機構準零剛度隔振平臺的結構參數如表1所示。

表1 隔振平臺結構參數Tab.1 Vibration isolation platform parameters

2 新型Delta機構準零剛度隔振平臺特性分析

2.1 剛度特性分析

當隔振平臺的動平臺位移為(x,y,z)時,對隔振平臺第i條支鏈進行靜力學分析,如圖5所示。圖5中,ODi表示靜平衡位置時連桿的初始位置,AiDi表示偏離平衡位置時連桿所在位置,A′i為Ai在ODi所在豎直面的投影點,A″i為A′i到直線ODi的垂足,β為ODi與AiDi的夾角,α為A′iDi與ODi的夾角,F0i為第i條支鏈上連桿所受的力,F1i為F0i在水平平面的分力,數值上等于該條支鏈上水平彈簧產生的彈力,F2i、F3i為F0i在豎直平面內的分力,其夾角為γ,合力為F4i,即

圖5 第i條支鏈受力分析簡圖Fig.5 Schematic diagram of force analysis of the i th branch chain

由圖5可得

新型Delta機構準零剛度隔振平臺的動平臺在外載荷為(Fx,Fy,Fz)時,三平移自由度上產生位移(x,y,z),其靜平衡方程為

式中:F1i=kh(λ0-hi);F2i=F1itanα;F3i=F1itanα/tanγ。

(10)式、(11)式代入(12)式,得到隔振平臺的動平臺在x、y、z3個自由度不同位置處所承受的力為(13)式～(15)式:

表1中有關參數代入(13)式～(15)式,可得到新型Delta機構準零剛度隔振平臺各自由度方向上靜力學特性。

隔振平臺的動平臺在x、y、z3個自由度上不同空間位置處x軸方向所承受的力Fx如圖6所示,圖中顏色表示力的大小。由圖6可見:在平衡位置(x=0 mm)處為綠色,沿x軸正向逐漸變紅,沿x軸負向逐漸變藍;沿y軸方向顏色基本保持不變;沿z軸方向顏色不發生變化。說明在平衡位置處Fx為0 N,且動平臺沿x軸正向運動時Fx朝正向逐漸增大,沿x軸負向運動時Fx朝負向逐漸增大。同時,力Fx的變化主要受x軸方向位移的影響,y軸方向位移對Fx幾乎不產生影響,z軸方向位移對其無影響。動平臺在x軸方向不同位置處的Fx如圖7所示,直線通過原點(0 mm,0 mm)點且關于原點對稱,表明Fx與x軸方向位移呈線性關系,且在x=0 mm位置處Fx為0 N。

圖6 不同空間位置處的FxFig.6 Fx at different spatial locations

圖7 x軸方向不同位置處的FxFig.7 Fx at different points along x axis

動平臺在x、y、z3個自由度上不同空間位置處z軸方向所能承受的外力Fz如圖8所示。由圖8可見,顏色在Oxz面和Oyz面上分布相同,且在平衡位置(z=0 mm)附近均為綠色,沿z軸正向逐漸變藍,沿z軸負向逐漸變紅。說明x軸方向和y軸方向位移對隔振平臺z軸方向靜力學特性具有相同的影響,在平衡位置附近Fz基本保持不變,且沿z軸正向逐漸負向變大,沿z軸負向逐漸正向變大。y軸方向靜力學性能與x軸方向類似,不再贅述。

圖8 不同空間位置處的FzFig.8 Fz at different spatial locations

由隔振平臺在各自由度上的靜力學特性(13)式～ (15)式可得到該隔振平臺的剛度特性,即(16)式～(18)式:

表1中有關參數代入(16)式～(18)式,可得到新型Delta機構準零剛度隔振平臺在x、y、z3個自由度上不同位置處的剛度特性。

隔振平臺的動平臺在x、y、z3個自由度上不同位置處x軸方向的剛度kx如圖9所示,圖中顏色表示力的大小。由圖9可見:在xy面上顏色分為4種區域,在各區域內顏色小幅度地漸變或基本保持不變;沿z軸方向顏色無變化。說明隔振平臺的動平臺在各區域內不同位置上的剛度kx基本保持不變,而在區域交界處存在突變;kx的變化僅與x軸方向和y軸方向位移有關,與z軸方向位移無關。

圖9 不同空間位置處的kxFig.9 kx at different spatial locations

隔振平臺的動平臺在x、y、z3個自由度上不同空間位置處z軸方向的剛度kz如圖10所示。由圖10可見,顏色沿x軸和y軸方向不發生變化,沿z軸漸變,在平衡位置(z=0 mm)處為藍色,并沿z軸正向和負向逐漸變紅。說明z軸方向剛度kz僅與z軸方向位移有關,與x軸方向和y軸方向的位移無關;kz在平衡位置處趨近于0,表明新型Delta機構準零剛度隔振平臺在豎直方向上具有明顯的準零剛度特性。在z軸方向不同位置處的kz如圖11所示,可見kz在平衡位置附近剛度變化較小,并在平衡位置處取得最小值為0.317 N/mm,當動平臺偏離平衡位置較遠時,零剛度的特性不再明顯。

圖10 不同空間位置處的kzFig.10 kz at different spatial locations

圖11 z軸方向不同位置處的kzFig.11 kz at different points along z axis

2.2 固有頻率分析

2.2.1 水平方向固有頻率

采用拉格朗日法建立該隔振平臺水平方向的動力學模型為

式中:T為系統動能,s為動平臺位置坐標,

M為系統的質量矩陣;U為系統勢能,

K為系統剛度矩陣,K=J-T·diag(kh,kh,kh)·J-1;D為阻尼耗散能;Γ為動平臺所受外力。

令耗散能D及Γ的值為0,可得系統的無阻尼自由振動方程為

系統的特征方程為

由(23)式即可求出系統的固有頻率ωn。

由表1及(23)式,可得該并聯機構準零剛度隔振平臺在Oxy平面內x軸方向及y軸方向的固有頻率變化曲面分別如圖12、圖13所示。

圖12 x軸方向固有頻率曲面Fig.12 Natural frequency surface along x axis

圖13 y軸方向固有頻率曲面Fig.13 Natural frequency surface along y axis

圖12所示為隔振平臺在水平面內x軸方向固有頻率fx曲面,圖13所示為隔振平臺在水平面內y軸方向固有頻率fy曲面。由圖12、圖13可見,隔振平臺x軸方向固有頻率曲面為倒置圓錐面,距平衡位置越遠,隔振平臺x軸方向固有頻率值越大;隔振平臺y軸方向固有頻率曲面為正置圓錐面,距平衡位置越遠,隔振平臺y軸方向固有頻率值越小。同時,隔振平臺在平衡位置時,x軸方向、y軸方向固有頻率值相等,約為5.45 Hz。

2.2.2 豎直方向固有頻率

根據靜力學特性分析,令(18)式中x=y=0 m,可得該隔振平臺豎直方向的剛度為

則隔振系統豎直方向的固有頻率為

由表1參數及(25)式,得到新型Delta機構準零剛度隔振平臺豎直方向固有頻率曲線如圖14所示。由于隔振平臺在初始平衡位置時剛度接近于0 N/mm,系統可獲得較低的固有頻率,該隔振平臺在平衡位置時豎直方向固有頻率為0.63 Hz。

圖14 豎直方向固有頻率曲線Fig.14 Natural frequency curve in thevertical direction

若拆除隔振平臺中所有水平彈簧(即拆除負剛度機構),此時隔振平臺在豎直方向上不再具有準零剛度特性,豎直方向總剛度kz為7.995 N/mm。此時不具有準零剛度特性的隔振平臺豎直方向固有頻率為3.17 Hz。表明了含有負剛度機構的準零剛度隔振平臺可以很好地降低系統z軸方向固有頻率。

3 豎直方向固有頻率試驗

采用錘擊法對新型Delta機構準零剛度隔振平臺豎直方向固有頻率進行測試,模態力錘為美國PCB公司生產的086D05型,加速度傳感器為美國PCB公司生產的333B30型,信號分析儀為美國Spectral Dynamic公司生產的Siglab20-42型。測試裝置如圖15所示,模態力錘的敲擊和加速度傳感器的測量均在隔振平臺的動平臺中心豎直方向(z軸方向)。

圖15 測試裝置Fig.15 Test device

分別對隔振平臺的兩種狀態進行測試:一是對新型Delta機構準零剛度隔振平臺直接進行測試;二是對拆除負剛度機構后的隔振平臺進行測試。隔振平臺在兩種狀態下z軸方向頻率響應的幅值曲線分別如圖16和圖17所示,頻率響應幅值的峰值對應的頻率為隔振平臺固有頻率。

圖16 準零剛度并聯機構隔振平臺試驗結果Fig.16 Test results of vibration isolation platform with quasi-zero stiffness parallel mechanism

圖17 拆除負剛度并聯機構的隔振平臺試驗結果Fig.17 Test results of vibration isolation platform with parallel mechanism without negative stiffness

由圖16、圖17可得兩種狀態下的測試結果如表2所示。由表2可見:新型Delta機構準零剛度隔振平臺z軸方向固有頻率測試結果為0.75 Hz(理論分析結果為0.63 Hz);去除負剛度機構得到的隔振平臺z軸方向固有頻率測試結果為3.45 Hz(理論分析結果為3.17 Hz)。理論分析結果和試驗結果接近,均表明新型Delta機構準零剛度隔振平臺能很好地降低系統的固有頻率,可用于低頻隔振。

表2 不同狀態下z軸方向固有頻率結果Tab.2 Results of natural frequencies aloing z axis in different states Hz

4 結論

本文將新設計的消除冗余自由度的新型Delta機構直接演繹成為負剛度機構,然后并聯一正剛度的豎直彈簧,得到一種新型三自由度并聯機構準零剛度隔振平臺,實現了并聯機構與準零剛度系統的有機融合。所得主要結論如下:

1)新型三自由度并聯機構準零剛度隔振平臺在水平方向上靜力學特性呈線性關系,且僅與水平方向位移有關;在豎直方向具有準零剛度特性且僅與豎直方向位移有關,當動平臺偏離平衡位置時,零剛度特性不再明顯。

2)試驗結果驗證了具有準零剛度特性的隔振平臺較普通隔振平臺明顯地降低了系統的固有頻率。

3)對于本文設計的新型Delta機構準零剛度隔振平臺,理論分析水平方向上固有頻率約為5.45 Hz,豎直方向上固有頻率為0.63 Hz,可應用于低頻、多方向的隔振。