基于Beta過程的高分辨ISAR成像

徐安林, 張 毓, 周 峰

(1. 中國人民解放軍63921部隊, 北京 100094; 2. 西安電子科技大學電子工程學院, 陜西 西安 710071)

0 引 言

逆合成孔徑雷達(inverse synthetic aperture radar,ISAR)能夠全天時、全天候地提供飛機和衛星等非合作目標的高分辨二維圖像,并從中獲取其尺寸、結構等形狀特征及運動特征[1]。因此,高分辨ISAR成像在空間目標監視與彈道目標防御中發揮著重要作用[2]。

在ISAR觀測中,通過發射大時寬-帶寬積信號及脈沖壓縮技術即可獲得較高的距離分辨率,而方位高分辨則需要通過方位向的長時間相干積累實現。然而在實際情況中,ISAR往往面臨著非常復雜的環境,導致無法對目標進行長時間連續觀測,從而產生方位缺損。同時,受到強噪聲或干擾的影響,目標的回波通常存在低信噪比的問題。此外,由于傳統平動補償中的自聚焦方法精度不足,并且信號傳輸過程中會受到大氣影響,目標回波中往往存在著隨機相位誤差[3]。面對上述情況,傳統成像方法的性能會迅速下降甚至失效。因此,迫切需要研究適用于復雜觀測環境的高分辨ISAR成像方法。

在光學區,目標滿足點散射模型,其ISAR像在距離域和方位域具有稀疏性。因此,可以利用稀疏信號重構方法實現復雜觀測環境下的高分辨ISAR成像[4-7]。這類方法首先構建稀疏觀測模型,進而利用數值優化或貝葉斯方法從低維回波信號中重構出目標散射點分布。現有基于數值優化的求解方法雖然計算量較小,但在低信噪比情況下成像結果存在散焦[8-12]。傳統參數化貝葉斯方法[13-17]往往根據現有經驗來選取先驗分布,導致其數據描述的靈活性弱,重構誤差較大。而非參數貝葉斯方法將隨機過程作為模型的先驗分布,使得其參數空間能夠隨觀測數據變化,從而獲得比參數化貝葉斯方法更高的靈活性,為解決稀疏信號的準確重構問題提供了新思路。

本文提出一種基于非參數貝葉斯的ISAR高分辨成像方法。該方法首先引入Beta過程非參數先驗構建概率圖模型,并通過Gibbs采樣求解模型的后驗分布,同時利用最大似然方法估計相位誤差,進而實現低信噪比、稀疏孔徑等復雜觀測環境下的高分辨聚焦成像。實驗結果表明,該方法能夠在復雜觀測環境下獲得優于現有典型數值優化方法及參數化稀疏貝葉斯重構方法的成像結果。

1 信號模型

1.1 信號建模

對于平穩運動的小轉角目標[18],其散射點的瞬時斜距可以表示為ΔRk(tm)≈xkωrottm+yk[19],其中ωrot表示目標旋轉角速度,xk和yk分別表示第k個散射點的橫坐標和縱坐標,tm表示慢時間。

令距離脈壓后的回波矩陣為Y∈CNa×Nr,其中Na表示方位單元數,Nr表示距離單元數。同時,假設每個距離單元的回波相互獨立,考慮到隨機相位誤差的距離不變性,則第n個距離單元回波s(m)滿足:

(1)

式中:n∈[1,Nr];m為方位單元序號;k∈[1,K]表示散射點的序號;Ak表示散射點k的幅度,且Aka=Akexp(-j4πyk/λ),ar(yk)表示與yk有關的sinc波形函數;exp(jφm)表示隨慢時間變化的隨機相位誤差;ωk=-2xkωrot/(λ·PRF)表示第k個散射點的多普勒,PRF為脈沖重復頻率,λ為波長;ε(tm)為加性噪聲。

當回波存在缺損時,令可觀測回波序號為ma,且可觀測回波數為Ma。對于第n個距離單元,其稀疏觀測模型可表示為

ya=EaAaxa+εa

(2)

式中:ya=[s(ma1),s(ma2),…,s(maMa)]T表示可觀測回波向量;Ea=diag{exp(jφma1),exp(jφma2),…,exp(jφmaMa)}表示相位誤差矩陣;xa表示待重構的方位像;εa為噪聲向量;Aa∈CMa×Da表示過冗余字典,且其第i行可以表示為

Ai·=exp(j2πωdamai),i∈[1,Ma];da∈[1,Da]

(3)

式中:Da表示構建的多普勒網格數。當Ma≤Da時可實現超分辨成像。

重新在實數域定義信號模型得到:

y=Φω+ε

(4)

1.2 概率建模

為了充分利用散射中心的稀疏特性,引入Beta過程非參數貝葉斯先驗[20]。若隨機測度H服從參數為a、b和H0的Beta過程,那么H可由下式表示:

(5)

并記作H～BP(αH0),其中K→∞,delta函數δBk(B)當且僅當B=Bk時為1;否則為0。同時,每一個獨立同分布地從概率測度H0中生成的原子Bk都有一個權值πk與之對應。

若某個無限維的二值列向量z的第k個元素zk服從Bernoulli分布:

zk～Bernoulli(πk)

(6)

那么新的測度,X(B)=∑kzkδBk(B)則由參數為H的Bernoulli過程產生,記作X～BeP(H)。

在式(4)所示的稀疏信號重構問題中,y∈RP表示實數域有效回波向量,Φ∈RP×K表示實數域多普勒字典,權向量ω∈RK即為實數域待重構方位像。首先,將權向量ω分解為兩個向量元素相乘的形式,即

y=Φ(s°z)+ε

(7)

式中:°表示向量的哈達瑪積。可以看出,ω的稀疏性由二值向量z決定,且其幅值由向量s決定。本文利用Beta過程獲取稀疏二值向量z。

令二值向量z的先驗分布滿足Bernoulli分布,即

zk～Bernoulli(πk)

(8)

且參數πk服從如下的Beta分布:

(9)

此外,給幅度向量s和噪聲向量ε引入高斯先驗:

(10)

(11)

為了使模型更加靈活,再對s和ε的精度參數γs和γε引入Gamma分布先驗:

γs～Gamma(c,d)

(12)

γε～Gamma(e,f)

(13)

根據上述概率建模,基于Beta過程線性回歸(Beta process linear regression, BPLR)的層級概率模型可以表示為

(14)

其對應的概率圖模型如圖1所示。

2 模型求解及分析

由于各距離單元對應的方位像及相位誤差矩陣均未知,因此本文利用循環迭代的方法進行優化求解。首先通過Gibbs采樣算法求得待重構的稀疏方位像,再通過最大似然方法估計相位誤差。交替進行上述兩個步驟,直到滿足收斂條件。

2.1 基于Gibbs采樣的方位像估計

分別對模型各參數進行采樣。

(1) 對z=[z1,z2,…,zK]采樣,令Φ=(φ1,φ2,…,φK),其中zk后驗分布為Bernoulli分布:

(15)

(16)

p0=1-πk

(17)

(2) 對sk=[s1,s2,…,sK]采樣,其中sk服從高斯分布:

(18)

方差Σsk和均值μsk可以表示為

(19)

(20)

(3) 對πk采樣,πk服從Beta分布:

(21)

(4) 對γs采樣,γs服從Gamma分布:

(22)

(5) 對γε采樣,γε同樣服從Gamma分布:

(23)

2.2 超參數設置

由前文公式的推導可以看出,Gibbs采樣的結果依賴于超參數a、b的設置。因此,分別定義超參數a、b:

(24)

(25)

2.3 相位誤差估計

在完成所有距離單元的方位像重構后,即可獲得本次迭代的ISAR圖像X。在此基礎上,給有效回波矩陣Y0∈CMa×Nr的每一列引入相互獨立的多維復高斯分布,可得

(26)

式中:Y·r和X·r分別表示Y0和X的第r列。

精度α0服從如下的Gamma分布:

p(α0)=Gamma(α0|v1,v2)

(27)

Ea的似然函數為

(28)

通過最小化負對數似然函數,可得Ea的估計值為

(29)

(30)

式中:Yi·和Ai·分別表示Y0和A的第i行。

2.4 算法流程

交替進行方位像估計和相位誤差估計,直到收斂。特別地,將收斂條件定義為

(31)

最終,基于Beta過程的高分辨ISAR成像流程圖如圖2所示,其中T表示采樣次數。在算法初始化的步驟中,設置相位誤差矩陣Ea為單位陣,二值向量z為全零向量;對s的元素進行隨機初始化,并將π設為較小的值。同時,將超參數c、d、e和f設為10-4,S和F的初始值滿足1

3 實驗及分析

本節首先進行蒙特卡羅實驗,對所提算法重構的準確性以及對于噪聲的穩健性進行分析。然后利用YAK-42飛機實測數據的成像結果驗證所提算法的有效性

3.1 蒙特卡羅實驗

本節通過一維稀疏信號重構實驗將所提算法的性能與正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP),L1范數優化[21],基于變分推斷(variational inference, VI)的相關向量機(relevance vector machine, RVM),即RVM-VI進行比較。其中,前兩種方法為典型數值優化方法,RVM為典型的參數化稀疏貝葉斯學習方法,該方法采用Gamma-Gaussian先驗進行稀疏建模。

(32)

由圖3(b)可以看出,隨著信噪比增大,4種算法重構誤差逐漸減小,并且在所有信噪比下,所提方法均能獲得最小的重構誤差,其次是RVM、L1范數優化方法以及OMP方法。由于稀疏貝葉斯學習方法通過引入概率分布獲得了高階統計信息,因此其重構誤差明顯小于OMP、L1范數優化等典型的數值優化方法。同時,由于Beta過程先驗能夠根據數據特性自適應調整參數空間,從而獲得比RVM等參數化貝葉斯方法更高的靈活性[22],因此其重構誤差最小。

3.2 實測數據成像結果

本節分別采用存在隨機相位誤差的YAK-42飛機稀疏孔徑及短孔徑實測數據驗證所提算法有效性。

稀疏孔徑數據如圖4(a)所示,回波距離和方位向采樣點數分別為256和512,信噪比為-3 dB,回波方位缺損率為50%。各算法成像結果如圖4(b)～圖4(e)所示。由圖可知,OMP、L1范數優化等數值優化方法無法有效抑制噪聲,雖然基于RVM的成像結果虛假點較少,但目標輪廓不夠清晰。所提方法的成像結果背景干凈且聚焦良好。

表1給出了4種算法稀疏孔徑成像結果的圖像熵。可以看出,所提方法的ISAR圖像熵最小,表示其聚焦效果最優。

表1 稀疏孔徑不同算法的圖像熵

對于短孔徑數據,目標有效回波所占方位單元數為200,回波缺損率61%,信噪比為-3 dB。各算法成像結果如圖5(b)～圖5(e)所示。

由圖5可知,OMP、L1范數優化等數值優化方法對應圖像包含較多虛假點,同時RVM的成像結果目標輪廓不夠清晰。而所提方法成像結果背景干凈且聚焦良好。4種算法在短孔徑情況下的圖像熵如表2所示,對比可知所提方法的ISAR像熵最小,聚焦效果最優。

表2 短孔徑不同算法的圖像熵

4 結 論

本文提出基于Beta過程的高分辨ISAR成像方法。該方法首先將高分辨成像問題轉化為稀疏信號重構問題,進而通過引入Beta過程先驗構建層級概率模型。在此基礎上,交替利用Gibbs采樣算法求得稀疏方位像并利用最大似然方法估計隨機相位誤差,最終得到聚焦良好的高分辨ISAR像。實驗結果證明在低信噪比、稀疏孔徑、短孔徑等復雜觀測條件下,所提算法性能優于現有成像方法。

未來將構建更靈活的概率模型,并尋找高效的模型求解方法。同時研究存在強干擾等復雜環境中機動目標的高分辨成像方法。