物體連滾帶滑問(wèn)題的多種解法探析
——以第38屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第8題為例

曾小江 曾 偉

（四川外語(yǔ)學(xué)院重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，重慶 400065）

2021年第38屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第8題是一道關(guān)于均質(zhì)小球連滾帶滑問(wèn)題.解決連滾帶滑問(wèn)題不能將物體視為質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)視為另一理想模型——?jiǎng)傮w.［1］均質(zhì)剛體連滾帶滑問(wèn)題蘊(yùn)含豐富的物理思想和方法，是考查學(xué)生熟練掌握物理規(guī)律，靈活應(yīng)用物理知識(shí)一類典型問(wèn)題.通過(guò)對(duì)本題的分析求解，希望能加深學(xué)生對(duì)連滾帶滑問(wèn)題的理解，提高學(xué)生運(yùn)用物理規(guī)律多角度分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

1 原題及分析

解析：由題意可將小球的運(yùn)動(dòng)分為如圖1所示的3個(gè)運(yùn)動(dòng)階段.

圖1 小球運(yùn)動(dòng)示意圖

第2階段——連滾帶滑過(guò)程.小球與桌面的接觸點(diǎn)A的速度vA是質(zhì)心平動(dòng)速度vC和繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度Rωt的合速度，即vA=vC-Rωt.在小球純滾動(dòng)之前始終有vC＞Rωt，接觸點(diǎn)A相對(duì)桌面向右運(yùn)動(dòng)，小球在接觸點(diǎn)一直受到大小為f=μmg，方向水平向左的滑動(dòng)摩擦力，摩擦力使平動(dòng)減速，對(duì)質(zhì)心軸的力矩使小球具有恒定的角加速度α，角速度從0開(kāi)始均勻增加.小球的運(yùn)動(dòng)為質(zhì)心向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)和繞過(guò)質(zhì)心軸順時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加，即是連滾帶滑運(yùn)動(dòng).

第3階段——純滾動(dòng)過(guò)程.當(dāng)小球與桌面的接觸點(diǎn)A的速度滿足vA=vC-Rωt=0，即vC=Rωt時(shí)，小球開(kāi)始純滾動(dòng).不計(jì)球與桌面的滾動(dòng)摩擦，小球在水平桌面的運(yùn)動(dòng)將不受摩擦力作用，小球?qū)⒈３忠云絼?dòng)速度為vC且繞過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸角速度為ωt的純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

以下求解均以擊打結(jié)束時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，來(lái)分析求解小球的運(yùn)動(dòng).

2 多種解法探析

解法1.運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理求解.

對(duì)小球運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

得aC=μg，方向與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方向相反.

小球質(zhì)心做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，由速度公式有vC=v0-aCt，即

以繞過(guò)質(zhì)心的軸為轉(zhuǎn)軸，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理有

由角速度與角加速度的關(guān)系ωt=ω0+αt，得

小球與桌面接觸點(diǎn)的瞬時(shí)速度

將（2）、（4）式代入（5）式得

開(kāi)始純滾動(dòng)時(shí)接觸點(diǎn)A的速度為0，即

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)小球的受力和運(yùn)動(dòng)情況，將小球的連滾帶滑運(yùn)動(dòng)分解為質(zhì)心向右的勻減速直線運(yùn)動(dòng)和繞過(guò)質(zhì)心軸順時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng).從動(dòng)力學(xué)的角度運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求出質(zhì)心的平動(dòng)加速度aC.運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理解出小球繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度α.應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出t時(shí)刻質(zhì)心平動(dòng)的瞬時(shí)速度vC和繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωt，而小球與桌面接觸點(diǎn)的瞬時(shí)速度為vA=vC-Rωt，可得出接觸點(diǎn)瞬時(shí)速度的表達(dá)式.再利用純滾動(dòng)的條件vA=0，即可求得從擊打結(jié)束到小球開(kāi)始純滾動(dòng)的時(shí)間和此時(shí)的質(zhì)心速度.此解法能清晰描述連滾帶滑運(yùn)動(dòng)全過(guò)程的物理特征.

解法2.運(yùn)用動(dòng)量定理和沖量矩表述的角動(dòng)量定理求解.

設(shè)小球開(kāi)始純滾動(dòng)時(shí)質(zhì)心速度為vt，從擊打結(jié)束到轉(zhuǎn)變成純滾動(dòng)歷時(shí)為t，以水平向右為正方向.

對(duì)小球應(yīng)用動(dòng)量定理有

其中f=μmg，I=mv0.

選擇過(guò)質(zhì)心且垂直運(yùn)動(dòng)紙面的軸線為轉(zhuǎn)軸，由沖量矩表述的角動(dòng)量定理有

當(dāng)小球開(kāi)始純滾動(dòng)時(shí)有

由（1）—（3）式可解得

點(diǎn)評(píng)：將小球的連滾帶滑運(yùn)動(dòng)分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng).對(duì)小球隨質(zhì)心的平動(dòng)運(yùn)用動(dòng)量定理，繞過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)用角動(dòng)量定理，只需關(guān)注小球質(zhì)心的初末速度和繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的始末角速度，無(wú)需考慮小球運(yùn)動(dòng)的演化過(guò)程，簡(jiǎn)化了解題思維過(guò)程，是處理物體連滾帶滑運(yùn)動(dòng)的一種常用方法.

解法3.運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律求解.

選擇過(guò)小球與桌面的接觸點(diǎn)O且垂直于紙面的軸線為轉(zhuǎn)軸，以垂直紙面向里為角動(dòng)量的正方向，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球相對(duì)于過(guò)O點(diǎn)轉(zhuǎn)軸的力矩為0，小球?qū)^(guò)O點(diǎn)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒.小球?qū)^(guò)O點(diǎn)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為質(zhì)心相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量與繞質(zhì)心軸的角動(dòng)量的矢量和.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)物體的受力情況，若能選取合適的轉(zhuǎn)軸（或參考點(diǎn)），物體相對(duì)于該轉(zhuǎn)軸的合力矩為0，則相對(duì)于該軸（或參考點(diǎn)）物體的角動(dòng)量守恒，選取物體相對(duì)于該軸（或參考點(diǎn)）的初末狀態(tài)角動(dòng)量，運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律，可直接求出物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參量，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.需要注意的是，物體相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為物體質(zhì)心相對(duì)于該軸的角動(dòng)量與物體繞質(zhì)心軸角動(dòng)量的矢量和.

解法4.運(yùn)用功能關(guān)系求解.

對(duì)小球質(zhì)心的平動(dòng)由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

設(shè)從擊打結(jié)束到開(kāi)始純滾動(dòng)小球質(zhì)心沿相對(duì)于桌面的位移為s，對(duì)上式兩邊積分得

由積分可得

此式表明小球隨質(zhì)心平動(dòng)時(shí)，摩擦力所做的功等于小球平動(dòng)動(dòng)能的變化.

式中fRθ為小球繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)摩擦力所作的功.此式表明小球繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)摩擦力所作的功等于小球繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化.

結(jié)合（1）、（2）兩式，小球連滾帶滑過(guò)程的功能關(guān)系為

小球隨質(zhì)心平動(dòng)的位移

小球繞過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度

從擊打結(jié)束到開(kāi)始純滾動(dòng)的時(shí)間t的解答過(guò)程同解法3.

點(diǎn)評(píng)：在本題的連滾帶滑問(wèn)題中，小球質(zhì)心平動(dòng)速度vC大于繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度Rωt（即vC＞Rωt），在質(zhì)心平動(dòng)方面，滑動(dòng)摩擦力做功（-fs）使物體平動(dòng)動(dòng)能減少；在繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)方面，滑動(dòng)摩擦力做功（fRθ）使物體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加，滑動(dòng)摩擦力做功實(shí)現(xiàn)了物體平動(dòng)動(dòng)能向轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)換，但總功為負(fù)值，使物體總動(dòng)能減少.根據(jù)功能關(guān)系，滑動(dòng)摩擦力做功等于物體動(dòng)能的變化，列式可解出小球純滾動(dòng)時(shí)的速度.

值得注意的是，上述各種解法都必須以分析清楚物體運(yùn)動(dòng)的初末狀態(tài)、受力情況和運(yùn)動(dòng)約束為前提.滑動(dòng)摩擦力的方向與物體接觸點(diǎn)的速度方向相反，物體接觸點(diǎn)的速度是質(zhì)心平動(dòng)速度vC和繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度Rωt的矢量和，即v=vCRωt.根據(jù)物體接觸點(diǎn)的速度方向確定物體在接觸點(diǎn)所受滑動(dòng)摩擦力方向的方法：［2］（1）若vC＞Rωt，物體接觸點(diǎn)的速度方向與質(zhì)心速度方向相同，滑動(dòng)摩擦力方向與質(zhì)心速度方向相反；（2）若vC＜Rωt，物體接觸點(diǎn)的速度方向與質(zhì)心速度方向相反，滑動(dòng)摩擦力方向與質(zhì)心速度方向相同；（3）若vC=Rωt，物體接觸點(diǎn)的速度為0，物體純滾動(dòng)，不受滑動(dòng)摩擦力作用.

3 總結(jié)

綜上所述，對(duì)于物體隨質(zhì)心平動(dòng)和繞過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的連滾帶滑運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，可從4個(gè)角度進(jìn)行分析求解：（1）從運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的角度運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理進(jìn)行求解，可清晰的描述運(yùn)動(dòng)變化的全過(guò)程；（2）從動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理的角度，對(duì)質(zhì)心的平動(dòng)運(yùn)用動(dòng)量定理和對(duì)繞過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)用角動(dòng)量定理進(jìn)行求解，只需關(guān)注運(yùn)動(dòng)的初末狀態(tài)；（3）根據(jù)物體的受力情況，若能選擇合適的轉(zhuǎn)軸（或參考點(diǎn)），使各力對(duì)該軸（或參考點(diǎn)）的力矩為零，運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律求解，可簡(jiǎn)化解題過(guò)程，計(jì)算簡(jiǎn)單，但此法只能在選取到合適的轉(zhuǎn)軸條件下使用；（4）在連滾帶滑運(yùn)動(dòng)中，滑動(dòng)摩擦力所做的功是物體隨質(zhì)心平動(dòng)時(shí)摩擦力所作的功和物體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)摩擦力所作的功的代數(shù)和，從功能關(guān)系的角度，運(yùn)用動(dòng)能定理求解，只需明確物體初末狀態(tài)的動(dòng)能.

以上4種解法涉及的知識(shí)幾乎涵蓋了力學(xué)的大部分主干內(nèi)容，在解決問(wèn)題的思路上實(shí)現(xiàn)了從常規(guī)思維向高階思維的轉(zhuǎn)化，充分展現(xiàn)了運(yùn)用物理規(guī)律解決生活實(shí)際問(wèn)題上方法選擇的靈活性、多樣性，對(duì)啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用物理規(guī)律多角度探索生活中的實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)習(xí)興趣都很有意義.