探析2021年全國高考新課標(biāo)Ⅰ卷第19題

許順龍

(福建省漳州市臺商投資區(qū)角美中學(xué) 363107)

2021年三角函數(shù)試題形式略有創(chuàng)新，既考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解和應(yīng)用，又考查了學(xué)生化繁為簡的運(yùn)算能力，以及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.試題重視對學(xué)科觀念、規(guī)律及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.因此，深入研究及進(jìn)行適量的訓(xùn)練，對學(xué)生來說必不可少.

1 試題呈現(xiàn)

題目記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b.

(2)若AD=2DE,求cos∠ABC

2 試題解析

2.1 第(1)小題解析

思路1利用正弦定理將b2=ac中b和c的關(guān)系轉(zhuǎn)化為sinB和sinC的關(guān)系，再對比已知條件BDsin∠ABC=asinC，即可證得BD=b.

思路2利用正弦定理將BDsin∠ABC=asinC中的sin∠ABC和sinC關(guān)系轉(zhuǎn)化為b和c的關(guān)系，再利用已知條件b2=ac，即可證得BD=b.

思路4 利用正弦定理得到bsinC=csinB，兩邊同時乘以a，再利用已知條件b2=ac，轉(zhuǎn)化成bsin∠ABC=asinC，從而對比已知條件BDsin∠ABC=asinC，即可證得BD=b.

思路6將BDsin∠ABC=asinC中的sin∠ABC轉(zhuǎn)化成sin(A+C)，利用兩角和正弦公式展開，再利用余弦定理公式，也可得到BD·b=a·c，再利用已知條件b2=ac，即可證得BD=b.

思路7利用平面幾何知識，過點(diǎn)B作高構(gòu)造直角三角形，得BDsin∠BDA=asinC，從而得到sin∠BDA=sin∠ABC，然后利用三角形相似來證明.

解法1由正弦定理(或“b2=ac”),得

bsin∠ABC=asinC.

又因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC，所以BD=b.

解法2 由正弦定理(或“BDsin∠ABC=asinC”)可得BD·b=ac.

因?yàn)閎2=ac，所以BD=b.

解法3 在△ABC中，由正弦定理,得

所以BD=b.

解法4在△ABC中，由正弦定理,得

bsinC=csin∠ABC,

兩邊同時乘以a,得

absinC=acsin∠ABC.

又因?yàn)閎2=ac，所以bsin∠ABC=asinC.

又因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC,

所以BD=b.

解法5由三角形面積,得

又因?yàn)閎2=ac,所以bsin∠ABC=asinC.

又因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC，所以BD=b.

解法6因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC,

所以BDsin(A+C)=asinC.

所以BD(sinAcosC+cosAsinC)=asinC).

由正弦定理、余弦定理,得

整理,得BD·b=ac.

因?yàn)閎2=ac, 所以BD=b.

解法7過點(diǎn)B作BE⊥AC,

在△ABC中，BE=asinC,

在△BDE中，BE=BDsin∠BDE,

所以BDsin∠BDE=asinC.

又因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC,

所以sin∠BDE=sin∠ABC,

所以∠BDE=∠ABC或∠BDE+∠ABC=π.

①當(dāng)∠BDE=∠ABC時，得△BCD∽△ABC.

因?yàn)閎2=ac,所以BD=b.

②同理，當(dāng)∠BDE+∠ABC=π時，BD=b.

2.2第(2)小題解析

思路1在△ABC與△BCD中,分別求得cosC，得到6a2-11ac+3c2=0,從而得到a和c的關(guān)系式，再結(jié)合b2=ac，即可得到cos∠ABC.

思路2 不妨設(shè)BD=b，在△BCD和△ABD中運(yùn)用余弦定理得出cos∠BDC與cos∠BDA,再由∠BDC+∠BDA=π，結(jié)合b2=ac，即可求出a和c，進(jìn)而得到cos∠ABC.

思路3結(jié)合BD=b，在△BCD和△ABD中運(yùn)用余弦定理得出cos∠BDC與cos∠BDA,再由∠BDC+∠BDA=π，得到6a2-11ac+3c2=0，從而得到a和c的關(guān)系式，再結(jié)合b2=ac，即可得到cos∠ABC.

因?yàn)閎2=ac所以,6a2-11ac+3c2=0.

解法2 不妨設(shè)BD=3,則AD=2,DC=1,b=3.

在△BCD和△ABD中，由余弦定理,得

由于∠BDC+∠BDA=π,

所以2a2+c2=33.

解法3 由(1)得BD=b.

在△BCD和△ABD中，由余弦定理,得

由于∠BDC+∠BDA=π,b2=ac,

所以6a2-11ac+3c2=0

解法4 設(shè)θ=∠ABC，則

又在△ABC中，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosθ.

因?yàn)閎2=ac,所以6a2-11ac+3c2=0,

①

又在△ABC中，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosθ.

②

3 教學(xué)啟示

本道試題所涉及到的知識點(diǎn)與求解方法體現(xiàn)了高考不回避熱點(diǎn)問題，不回避平時常考的考點(diǎn)和常用的方法.這就啟發(fā)我們在高三復(fù)習(xí)時一定要講透這類題型及其相應(yīng)的求解策略.讓學(xué)生把知識內(nèi)化成自己的能力，從而精準(zhǔn)得分.具體做法如下：

3.1 強(qiáng)化思想方法，提升數(shù)學(xué)能力

在三角函數(shù)模塊的復(fù)習(xí)中，尤其要重視函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.在正余弦定理的教學(xué)中，不僅要深挖公式的正用、逆用、變用功能，更要挖掘等式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想——方程思想，還要樹立方程到不等式的模型，從而順利地解決一些有關(guān)周長、面積的最值或范圍問題.因此，在復(fù)習(xí)備考中，要特別重視數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，不能只講題型，不講思想和方法，否則學(xué)生就只會套題型，不會自己獨(dú)立思考，當(dāng)然也就不能提高能力.

3.2 關(guān)注新課標(biāo)里向量工具性的作用

新課標(biāo)在正弦定理和余弦定理部分是這樣說明的:借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.而舊版課標(biāo)是這樣說明的：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.從變化中可以看出，新課標(biāo)凸顯了向量在解三角形中的工具性作用.

3.3 重視平面幾何知識點(diǎn)的滲透

本題第(1)小題解法7借助平面幾何知識，從而順利地解決問題.新高考刪除選考內(nèi)容，意味著幾何證明選講部分內(nèi)容不再單獨(dú)出現(xiàn)，但是很多的幾何圖形性質(zhì)又能起到簡化運(yùn)算的功能，體現(xiàn)多思少算的新高考理念，尤其是解析幾何等內(nèi)容體現(xiàn)得尤為明顯.因些，在解三角形的教學(xué)中應(yīng)重視平面幾何知識的滲透，提升學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，從而達(dá)到事半功倍的效果.

3.4 潛心研討高考真題，領(lǐng)悟高考命題規(guī)律

高考真題是命題者依綱靠本、科學(xué)而精心設(shè)計的典型題目，它聚集了專家、優(yōu)秀老師的集體智慧，它不僅在一定程度上濃縮了課本上重要的基礎(chǔ)知識與基本技能，而且還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，能夠折射出高考的基本走向和考查的深度與廣度.為了避免題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生真正跳出題海，只有教師跳出題海，潛心研討高考?xì)v年真題，方能領(lǐng)悟高考命題規(guī)律.