高中數學結構不良試題探究

摘要：新時期高考內容改革的重要特征就是從能力立意向素養導向轉變，而結構不良試題適應了素養導向的特點，適應高考改革的要求，考查學生的知識遷移能力和思維轉化能力，本文分四類專題探究結構不良試題.

關鍵詞：結構不良;試題;素養探究

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0002-05

著名數學教育家波利亞曾說過：問題是數學的心臟.問題可分為結構良好問題和結構不良問題，在中學數學解題中大量出現的是結構良好的數學問題，結構良好是指提供的信息完整、數學結構理想、問題目標明確、解決過程和答案穩定.而結構不良試題并不是這個問題本身有什么錯誤或是不恰當，而是指它沒有明確的結構、要求或解決的途徑.

新時期高考內容改革的重要特征就是從能力立意向素養導向轉變，而結構不良試題適應了素養導向的特點，考查學生的知識遷移能力和思維的轉化能力，真正體現了學生的數學素養，適應高考改革的要求.對于一線教師而言，如何在課堂上引導學生探究理解結構不良試題尤其重要，特別是

在解三角形以及數列考查中比較常見，這種題型也可能成為考生獲取高分的攔路虎.

解決結構良好與不良這兩類問題所需要的技巧和能力有所不同，也就是說可以出色地解決課堂上的結構良好問題，并不能保證可以成功地解決現實生活中的結構不良問題.因此，解決結構不良問題對考查學生的素養和能力，發揮考試的選拔功能，促進學生素養的養成和能力的提升具有深遠的意義，本文分四類專題探究結構不良試題.

1 解三角形中的結構不良試題例1在①S△ABC=23，②a-b=1，③sinA=2sinB這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求三角形的周長;若問題中的三角形不存在，請說明理由.（注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.）

問題是否存在△ABC，它的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=7，csinA=acosC-π6，？

解析因為csinA=acosC-π6，

所以sinCsinA=sinAcosC-π6.

又因為sinA≠0，所以sinC=cosC-π6.

即sinC=sin2π3-C.

又因為C∈（0，π），所以C=2π3-C.

所以C=π3.

由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC.

即a2+b2-ab=7，

若選①：因為S△ABC=12absinC，所以ab=8.

所以（a-b）2=7-8=-1，

與（a-b）2≥0矛盾.

所以滿足條件的三角形不存在.

若選②：因為a-b=1，

所以a2+b2-2ab=1.

又a2+b2-ab=7，所以ab=6.

故a2+b2+2ab=25.

即a+b=5.

所以三角形周長C=a+b+c=5+7.

若選③：因為sinA=2sinB，所以a=2b.

聯立a2+b2-ab=7，

解得a=2213，b=213.

所以三角形周長C=a+b+c=21+7.

本題考查的是正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式，在已知條件下再選擇一個條件來解，題目所給的三個可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個條件，都可解答題目，只是選擇不同的條件可能得到相同的解或不同的解，但只要推理嚴謹、過程規范，都會得滿分.

2 數列中的結構不良試題

例2在①Sn=n2+n，②a3+a5=16，S3+S5=42，③an+1an=n+1n，S7=56這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并加以解答.

設等差數列an的前n項和為Sn，數列bn為等比數列，，b1=a1，b2=a1a22.

求數列1Sn+bn的前n項和Tn.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

解析選①：當n=1時，a1=S1=2，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n.

又n=1滿足an=2n，所以an=2n，Sn=n2+2n2=n2+nn∈N*.

選②：設公差為d，由a3+a5=16，S3+S5=42，得2a1+6d=16，8a1+13d=42，

解得a1=2，d=2.所以an=2n，Sn=n2+2n2=n2+nn∈N*.

選③：由an+1an=n+1n，得an+1n+1=ann.

所以ann=a11，即an=a1n.

由S7=7a4=28a1=56，所以a1=2.

所以an=2n，Sn=n2+2n2=n2+nn∈N*.

①②③均可求得

an=2n，Sn=n2+2n2=n2+nn∈N*.

設bn的公比為q，又因為a1=2，a2=4，由b1=a1=2，b2=a1a22=4，得b1=2，q=2.

所以bn=2nn∈N*.

所以數列bn的前n項和為2-2n+11-2=2n+1-2.

因為1Sn=1n2+n=1nn+1=1n-1n+1， 數列1Sn的前n項和為1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1.

故Tn=2n+1-2+1-1n+1=2n+1-1n+1-1.

本題考查數列的綜合應用，涉及等差數列、等比數列的通項公式及前n項和，裂項相消法求和，由an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2n∈N*，等差數列的定義列方程組、遞推公式an+1n+1=ann可分別求得①②③中數列an的通項公式及前n項和;根據題意可求得bn=2nn∈N*，利用等比數列的前n項和公式及裂項相消法即可求得數列1Sn+bn的前n項和，不論選哪個條件，始終有Tn=2n+1-1n+1-1.

3 立體幾何中的結構不良試題例3如圖1，已知等邊△ABC的邊長為3，點M，N分別是邊AB，AC上的點，且BM=2MA，AN=2NC，如圖2，將△AMN沿MN折起到△A′MN的位置.

（1）求證：平面A′BM⊥平面BCNM;

（2）給出三個條件：①A′M⊥BC;②二面角A′-MN-C的大小為60°;③A′B=7.在這三個條件中任選一個，補充在下面問題的條件中，并作答.

在線段BC上是否存在一點P，使直線PA′與平面A′BM所成角的正弦值為31010？若存在，求出PB的長;若不存在，請說明理由.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

解析（1）由已知得AM=1，AN=2，∠A=60°.

所以MN⊥AB.

所以MN⊥A′M，MN⊥MB.

又因為MB∩A′M=M，所以MN⊥平面A′BM.

又因為MN平面BCNM，

所以平面A′BM⊥平面BCNM.

（2）選條件①：A′M⊥BC，由（1）得A′M⊥MN，BC和MN是兩條相交直線.

所以A′M⊥平面BCNM.

所以MB，MN，MA′兩兩垂直.

所以以點M為坐標原點，MB，MN，MA′所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖3所示的空間直角坐標系M-xyz，則A′（0，0，1）.

設P（2-a，3a，0），其中0<a≤32，則

A′P=（2-a，3a，-1）.

易得平面A′BM的一個法向量為n=（0，1，0）.

設直線PA′與平面A′BM所成的角為θ，則

sinθ=|cos〈A′P，n〉|=3a（2-a）2+3a2+1

=31010.

解得a=6±62>32.

所以不存在點P滿足條件.

選條件②：二面角A′-MN-C的大小為60°，

由（1）得∠A′MB就是二面角A′-MN-C的平面角.

所以∠A′MB=60°.

如圖3，過點A′作A′O⊥BM，垂足為點O，連接OC，則A′O⊥平面BCNM.

經計算可得OA′=32，OM=12，OB=32.

而BC=3，所以OB⊥OC.

所以OB，OC，OA′兩兩垂直.

所以以O為坐標原點，OB，OC，OA′所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖4所示的空間直角坐標系O-xyz，則A′（0，0，32）.

設P（32-a，3a，0），其中0<a≤32，

則A′P=（32-a，3a，-32）.

易得平面A′BM的一個法向量為n=（0，1，0）.

設直線PA′與平面A′BM所成的角為θ，則

sinθ=|cos〈A′P，n〉|=3a（32-a）2+3a2+34=31010.

解得a=32或a=3（舍去）.

所以存在點P滿足條件，這時PB=3.

選條件③：A′B=7，在△A′BM中，

由余弦定理，得

cos ∠A′MB=A′M2+MB2-A′B22A′M·MB=1+4-72×1×2=-12.

所以∠A′MB=120°.

過點A′作A′O⊥BM，垂足為點O，則A′O⊥平面BCNM.

以O為坐標原點，OB，OA′所在直線分別為x軸，z軸建立空間直角坐標系（圖略），則A′（0，0，32）.

設P（52-a，3a，0），其中0<a≤32，

則A′P=（52-a，3a，-32）.

易得平面A′BM的一個法向量為n=（0，1，0）.

設直線PA′與平面A′BM所成的角為θ，

則sinθ=|cos〈A′P，n〉|=3a（52-a）2+3a2+34=31010.

解得a=15±574>32.

所以不存在點P滿足條件.

選擇不同的條件，建系的方法不同，特別是選擇第三個條件，∠A′MB是鈍角，作垂線時要注意垂足的位置，這樣點P的坐標才不會出錯，還有要結合點P的位置注意a的范圍，從而判斷是否存在符合條件的點P，比較三個不同的選擇條件，選①應該解題更簡單點.

4 解析幾何中的結構不良試題例4在平面直角坐標系xOy中：

①已知點A（3，0），直線l：x=433，動點P滿足到點A的距離與到直線l的距離之比為32;

②已知圓C的方程為x2+y2=4，直線l為圓C的切線，記點A（3，0），B（-3，0）到直線l的距離分別為d1，d2，動點P滿足|PA|=d1，|PB|=d2;

③點S，T分別在x軸，y軸上運動，且|ST|=3，動點P滿足OP=23OS+13OT.

（1）在①②③這三個條件中任選一個，求動點P的軌跡方程;

（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

（2）記（1）中的軌跡為E，經過點D（1，0）的直線l′交E于M，N兩點，若線段MN的垂直平分線與y軸相交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍.

解析（1）若選①：設P（x，y），根據題意，得（x-3）2+y2|x-433|=32.

整理，得x24+y2=1.

所以動點P的軌跡方程為x24+y2=1.

若選②：設P（x，y），直線l與圓相切于點H，則

|PA|+|PB|=d1+d2=2|OH|=4>23=|AB|.

由橢圓的定義，知點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓.

所以2a=4，2c=|AB|=23.

故a=2，c=3，b=1.

所以動點P的軌跡方程為x24+y2=1.

若選③：設P（x，y），S（x′，0），T（0，y′），

則（x′）2+（y′）2=3.（*）

因為

OP=23OS+13OT，所以x=23x′，

y=13y′.

整理，得

x′=23x，y′=3y.

代入（*）得x24+y2=1.

所以動點P的軌跡方程為x24+y2=1.

由上述解答我們可以看到，題目所給的三個可選擇的條件顯然①最直接，列出等量關系即可，只是運算稍微復雜一點;選②符合橢圓的定義，運算簡單;選③利用相關點法，利用向量相等尋找數量關系，學生可能容易出錯.

在2021年的八省適應性考試中，填空題15題：寫出一個最小正周期為2的奇函數f（x）=（）.開放題終于在考試中與同學見面了，更是考查了學生的數學學習能力.所以結構不良試題的出現，是新高考題型的創新和改革，這是一種新的開放性試題的樣式，學生可以根據自己的理解選擇想要的條件，在解決問題中尋找各條件的關系.這種題型在解三角形以及數列考查中比較常見，因此，在復習的過程中，我們可以將解三角形和數列的結構不良問題作為訓練的重點.

所以在高中數學教學中對結構不良試題的探究是非常必要的，能夠更全面地考查學生的數學學科核心素養，考查學生思維的系統性、靈活性和創造性.作為一線教師，要引導學生根據具體問題情境從多個角度分析，考慮多個可能，尋找不同途徑，歸納解決這類試題的應對策略.

參考文獻：

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＼[3＼] 任子朝，趙軒.數學考試中的結構不良問題研究＼[J＼].數學通報，2020，59（02）：1-3.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：馬滿芳（1978.12-），女，廣東省豐順人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]