從“將軍飲馬”到阿氏圓探究線段和的最值

摘要：本文從“將軍飲馬”問題開始，探究了一般圓錐曲線問題中兩條線段和的最小值問題，并通過構造橢圓系的方式研究了一般圓錐曲線條件下的最小值.最后，借助阿波羅尼斯圓的定義，解決了帶系數的線段和的最小值問題.

關鍵詞：阿波羅尼斯圓;將軍飲馬;圓錐曲線

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0033-04

1 著名的“將軍飲馬”問題

傳說在古羅馬時代的亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫.一天，一位將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題.將軍每天都從軍營A處出發，先到河邊C處飲馬，然后再去河邊的同側B處開會，他應該怎樣走才能使路程最短？據說當時海倫略加思索就解決了它.這就是著名的“將軍飲馬”問題.

將上述問題抽象出數學模型即為如圖1中的問題：即在直線l上找一點C，使得AC+BC的值取到最小值.

該問題的解決方式也較為簡單，如圖2，作出點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，直線A′B與直線l的交點即為所求的點C′.圖2

筆者根據該模型提出如下的幾個思考：

（1）能否將直線l換成圓錐曲線呢？

（2）題目中的兩個定點能否是任意的呢？

（3）當其中的某一條邊增加了系數以后如何求解最小值呢？

關于第（3）個思考我們可以通過如下的背景進行理解：將軍每天還是從軍營A處出發，先到河邊C處飲馬，然后再去河邊的同側B處開會，因為馬飲水前后的速度會有不同，假設v2=λv1，他應該怎樣走才能使時間最短呢？翻譯成數學模型即是計算

1v1（AC+1λBC）的最小值問題.接下來，我們逐步地對三個問題進行分析.

2 圓錐曲線中的最值問題

例1已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點為F1，F2，橢圓內一定點A（m，n），點P為橢圓C上一動點，則PF1+PA的最小值為2a-AF2.

解析如圖3，根據橢圓的光學性質可知，由橢圓一個焦點射出的光線經橢圓反射后經過橢圓的另一個焦點.連接AF2與橢圓相交，交點即為所求的點P.現證明其為最小值.

設點P1為橢圓上異于點P的任意一點.連接P1F1，P1A，PF2，AF2.

P1F1+P1A+AF2>P1F1+P1F2=2a（三角形兩邊之和大于第三邊），

PF1+PA+AF2=PF1+PF2=2a，

即有P1F1+P1A+AF2>PF1+PA+AF2.

化簡，得P1F1+P1A>PF1+PA.

所以利用光學性質所求的點P即為所求點.

所以PF1+PA的最小值為2a-AF2.

例2在拋物線C：y2=2px（p>0）中，焦點為F（p2，0），拋物線內一定點A（x0，y0）.點P為拋物線C上一動點，則PA+PF取到最小值x0+p2.

解析 如圖4，結合拋物線的定義，PA轉化為點P到準線l的距離.點A到準線的距離即為所求的最小值，其值為x0+p2.結合拋物線的光學性質可知，設一束光線由點F出發經過拋物線的反射后經過點A，則拋物線上的反射點即為點P.

圖5

如圖5，設點P1為拋物線上異于點P的任意一點.連接P1F，P1A.過點P及點P1分別作準線l的垂線，垂足為點P′，P′1.

根據拋物線的定義，得

P1A+P1F=P1A+P1P′1，

PA+PF=P′A.

結合圖形信息，得P1A+P1F≥PA+PF恒成立，即可得命題成立.

例3已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點為F1，F2，雙曲線右支內一定點A（m，n），點P為雙曲線C上一動點，則PF2+PA的最小值為AF1-2a.

解析 根據雙曲線的光學性質可知，由雙曲線一個焦點射出的光線經雙曲線反射后其反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.連接AF1與雙曲線相交，交點即為所求的點P.其證明過程與上述例題相似，本文不再贅述.

總結與反思上述三個例題，分別將“將軍飲馬”問題中的“直線”換成了橢圓、拋物線以及雙曲線.上述三個例題對定點的要求較高，其中均有一個定點為圓錐曲線的焦點，其解法的本質均是借助了圓錐曲線的定義，將其進行了等價轉化，再利用兩點間的距離或點到直線的距離求得最小值.如果是任意的兩個定點以及任意的圓錐曲線該如何進行求解呢？筆者進行如下的嘗試：

3 構造橢圓系求解一般的最值問題

本文所討論的問題對于一般的圓錐曲線而言，運算難度較大，本文僅以如下的特殊模型來說明求解的方法：

如圖6，已知點A，B的坐標分別為（-m，0），（m，0）.這兩點之外有一圓錐曲線Γ（本文以圓作為代表），設點P為Γ上一動點，試求PA+PB的最小值.

解析以點A，B為焦點，構造橢圓系Ca：x2a2+y2a2-m2=1，當橢圓Ca與圓錐曲線Γ相切時，對應的切點即為所求的點P.

證明如圖7，設點P1為圓錐曲線Γ異于點P的任意一點，連接P1A，P1B.設P1B與橢圓Ca的交點為Q，連接QA.

P1A+P1B=P1A+P1Q+QB>QA+QB=2a.（三角形兩邊之和大于第三邊）

所以PA+PB的最小值為2a.

上述過程提供了求解最小值的思路，但在高中階段，限于所掌握的運算手段，具體求解過程只能針對較為特殊的曲線以及特殊的點進行.

4 對于AC+λBC型最小值問題的思考與求解

在上文中，筆者分別通過橢圓、拋物線以及雙曲線進行了舉例說明.其求解的主要思路是借助定義將其中的一邊進行了轉化，“圓”也可實現邊的轉化，此時可借助阿波羅尼斯圓的性質，將一條邊轉化為另一條邊的λ倍再進行求解.我們先通過如下例題了解此類問題的考查方式.

例4（2021年佛山高二期末試題第16題改編）如圖8，已知點A（47，0），B（0，3），圓O：x2+y2=4，設點P為圓O上的動點，求3PA+2PB的最小值.

分析所求式為3PA+2PB=3（PA+23PB）.若其中23PB可轉化為點P到另一定點的距離，則可將原問題轉化為圓上一點到兩定點的距離之和的最小值問題.本題是阿氏圓的逆向應用題，即通過點B及圓O求出另一個定點.

解析設點C（m，n），令PC=23PB，可求得點P的軌跡為

P：x2+y2-18m5x-18n-245y

=36-9（m2+n2）5.

令該圓與圓O重合，得

18m5=0，18n-245=0，36-9（m2+n2）5=4.

解得m=0，n=43.

即得點C的坐標為C（0，43）.

則原問題轉化為3PA+2PB=3（PA+PC），根據兩點之間線段最短可知3（PA+PC）≥3AC=32.

在上述解答過程中出現了三個方程，而僅有兩個未知數，說明該題的構造過程有一定的確定性.比如將原問題轉化為3PA+2PB=2（32PA+PB），能否找到一點D使得PD=32PA，且保證點P的軌跡為圓O呢？通過計算可知這樣的點D并不存在.

我們可通過如下定義構造出阿波羅尼斯圓的方程：設點A，B的坐標分別為（m，0），（0，0），PA=λPB，則點P的軌跡為

Pλ：（x+mλ2-1）2+y2=（λmλ2-1）2.

為此，我們可構造出如下的題型：設點C（m，n）為圓Pλ外任意一點，設點P為圓Pλ上一動點，試計算PC+λPB的最小值.

根據上文的準備可知，λPB=PA，所以PC+λPB的最小值為AC.據此，我們可以命制出如下試題供讀者練習：

例5已知點A（-3，0），C（-1，3），圓E：（x-3）2+y2=12，設點P為圓E上的動點，求2PC+PA的最小值.

答案：25.

總結與反思本題涉及的兩個點的其中之一為阿波羅尼斯圓對應的一個點.那么對于任意兩點及圓錐曲線能否求解對應的最值呢？為此，我們回顧上文中構造橢圓解決一般圓錐曲線條件下的最值方法.當構造的橢圓與圓錐曲線相切時，兩者在此時擁有相同的公切線，我們可以借助光線的反射來解釋最短距離問題.即假設從點A處發射出一束光線，經過圓錐曲線Γ的反射后恰好回到點B，則反射點P即為使得PA+PB取得最小值的點.筆者猜想對于PA+λPB的最小值，我們可以通過光的折射進行求解，即從點A處發射出一束光線，按照一定的比例經過圓錐曲線Γ的折射后恰好回到點B，則折射點P即為使得PA+λPB取得最小值的點.

參考文獻：

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[2] 榮賀，曲藝.與阿氏圓有關的廣義將軍飲馬問題[J].數學通報，2018，57（08）：48-52.

[3] 黃金福.利用阿波羅尼斯圓解競賽題[J].中等數學，2010（02）：5-9.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：郭海峰（1985.7-），男，陜西省咸陽人，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]