一次考試中的三類試題的妙解與推廣

摘要：文章對估算法、主元思想以及二項式定理的推廣在解題中的應用進行了有效剖析，并對其應用實質進行了必要的說明.

關鍵詞：估算法;主元法;本質

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0040-03

1 估算法在解題中的應用實例與使用本質剖析

例1設a=ln43，b=732，c=12ln158，d=0.42.1，則（）.

A.c>aB.b>cC.a>bD.a>d

解析設函數fx=12x2-1-lnx，

令f ′x<0，解得0<x<1.

由f ′x>0，解得x>1.

則fx≥f1=0.

所以f34>0.

即12916-1-ln34>0.

因此ln43>732.

又因為d=0.42.1<0.42=0.16<0.2<732=b，

c=12ln158=ln158>ln169=ln43=a，

所以c>a>b>d.

故選ACD.

分析與另解該題的構造函數法較難，但利用估算的思路來解決則簡單得多.該題的主要痛點在于選項C的判斷，其它選項較易，此處不再敘述.解析里面的構造函數是非常難以想到的，作為這套試卷的選擇題壓軸出現，不容易想到倒也正常，但是我們能不能再用其他的方法進行計算判定大小呢？實際上是可以的，因為當我們拿到試題之后第一眼看過去就會想到直接比較，我們再思考能不能找中間值？事實證明該題也是可以的，但是這樣思考的依據又是什么呢？其本質為估算！而這思想方法在比較大小的試題中也是即為重要的一種思想，下面具體說明.

因為b=732，于是聯想到832，即14，那么我們考慮2b=716<816=12，而2a=2ln43=ln169=ln（1+79）>ln1.7>lne=12，之所以可以這樣放縮是因為我們知道e∈2.7，2.8，而經過估算不難知道1.72=2.89>e，因此2a>2b，即a>b.

客觀地的說，直接比較在考試中可能更加實用，而其中的估算思想是需要大家好好體會的，準確地說，這種思想的應用不僅僅是在此處，還有三角函數求值，導數圖象的草圖畫法等，請同學們借此題好好體會.

2 主元法在解題中的應用實例與使用本質剖析

很多時候我們會發現有些題解答起來十分麻煩，但是只要換一種思路，可能帶來得不僅僅是把題做對，更多的是思想上的提升，現在我們以變換主元的角度來解決一類問題.

我們也經常聽到同學們私下討論，這道直線過定點問題，為什么直接令y=0，再去求x，從而確定該定點的具體坐標;或者先令x=0，再去求y，進而得到直線所過定點.大家在想為什么要這樣做，如果定點不在坐標軸上，我們該怎么處理？某種程度上這里提到的先設再證是建立在大家很清晰這類試題的基礎上.因此如果“看不出來”就有點麻煩了，實際上我們可以從主元的角度徹底弄清楚這個問題.不管這個定點在不在坐標抽上，我們都能很好地解決，下面以2020年全國Ⅰ卷理20題的解答為例來進行說明.

例2已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點.

解析（1）依據題意作出如圖1所示圖象.

由橢圓方程x2a2+y2=1（a>1），得

A（-a，0），B（a，0），G（0，1）.

所以AG=（a，1），GB=（a，-1）.

所以AG·GB=a2-1=8.

所以a2=9.

所以橢圓方程為x29+y2=1.

（2）設P（6，y0），則直線AP的方程為

y=y09（x+3）.

聯立直線AP的方程與橢圓方程，得

x29+y2=1，y=y09（x+3），整理，得

（y20+9）x2+6y20x+9y20-81=0.

解得x=-3或x=-3y20+27y20+9.

將x=-3y20+27y20+9

代入直線y=y09（x+3），

得y=6y0y20+9.

所以點C的坐標為（-3y20+27y20+9，6y0y20+9）.

同理，點D的坐標為（3y20-3y20+1，-2y0y20+1）.

所以直線CD的方程為

y--2y0y20+1

=

6y0y20+9--2y0y20+1-3y20+27y20+9-3y20-3y20+1（x-3y20-3y20+1）.①

整理，得

y+2y0y20+1=8y0（3y20+3）6（9-y40）（x-3y20-3y20+1）

=8y06（3-y20）（x-3y20-3y20+1）.

整理，得

y=

4y03（3-y20）x+

2y0y20-3=

4y03（3-y20）（x-32）.②

故直線CD過定點（32，0）.

另解把①式變形為-3y·y40+6-4x·y30+18y·y20+12x-18·y0-27y=0.

結合y0的任意性，易知

-3y=0，6-4x=0，18y=0，12x-18=0，-27y=0.

解得x=32，y=0.

因此直線CD過定點32，0.

本質剖析把①式中的y0看作主元，因為整個直線的變化實質就是y0導致的，這樣改寫降低了大家對配方的要求，實際上從①式形成②式很多人完成不了，然而利用這種主元的思想就能很好地從本質上解決問題.其實，直線過定點問題某種程度上就是求出含單參直線方程，這樣即使不是坐標軸上的點也能很好地求出來，很多時候咱們在看參考答案的時候也就解決了為什么這樣配方的問題.

3 形如“a+b+cn”的二項式展開式求系數問題推廣

筆者最近在講授二項式定理習題課時，發現很多同學在求解形如“a+b+cn”的二項式展開式求系數問題難以入手.這類試題經常涉及到因式分解的問題，但是實際解題時很難想到或是在考試時由于對配方化簡不熟悉或者本身就不能分解導致緊張，造成失分.基于此，下面給出兩個例子，并且對此進行適當推廣，其具有一般適用性.

例32x2-x-15的展開式中x2的系數為（）.

A.400B.120C.80D.0

創新解法2x2-x-15=[2x2+（-x-1）]5，下面利用函數思想，對照a+bn的展開式，將2x2看作a，將-x-1看作b，那么2x2+-x-15展開式的第r+1項Tr+1=Cr5·2x25-r·-x-1r=

Cr5·25-r·-1r·x10-2r·x+1r.

此時關鍵點來了，再次利用函數思想考慮將x+1r進行二項式定理展開，記x+1r展開式的第a+1項為Ta+1=Car·xr-a·1a.

由分步乘法原理易知：假設Cr5·25-r·-1r·x10-2r乘以Car·xr-a·1a可以得到含x2的項，且展開式中的任意一項都可以記作Cr5·Car25-r·-1r·x10-r-a0≤a≤r≤5，

于是令10-r-a=2，解得r+a=8.

結合0≤a≤r≤5，a，r∈Z，只有①r=5，a=3與②r=4，a=4符合題意.代入下式計算系數，得

C55·C3525-5·-15+C45·C4425-4·-14=0.

特別說明請同學們自己動手驗證，把形如“a+b+cn”哪兩個分在一組進行計算實際上是不受影響的，如2x2-x-15=[2x2+（-x-1）]5也可以看作（2x2-x-1）5=[（2x2-1）+（-x）]5.至于形如a+b+c+…n的展開項系數問題都依賴于計數原理進行準確分組，再進行仔細運算，實質上是一回事！因為百變不離其宗，只是載體在變更，數學考查的核心卻從未改變.

參考文獻：

[1]

余鐵青.巧用變換主元法解題＼[J＼].中學生數學，2020（21）：24+23.

＼[2＼] 余鐵青.2020屆大聯考數學文化試題賞析與命題趨勢思考＼[J＼].中學數學研究（華南師范大學版），2020（13）：7-10.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：余鐵青，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：余鐵青，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]