一題多解開拓視野

摘要：電磁感應的情景，在物理高考中備受矚目.以動量定理、動能定理、功能關系等規律應用為難點，物理量之間的關聯縱橫交錯，解題方法靈活多變.很多同學學習時不由自主的在難點上糾纏不清，缺少在基礎的電路分析與受力分析上下功夫，學習事倍功半.

關鍵詞：電磁感應;動量定理;動能定理;電路分析;受力分析

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0111-03

求解電磁感應的情景問題，同學們有很多模型套路可走.特別是涉及電容問題，常考常新，非常精彩，在物理高考中備受矚目.聚焦了高中物理的力與能量兩條主線的核心內容，如高中物理的兩大定理——動量定理、動能定理.有時還會因為命題者考慮不足，出現在能量方面不能自洽的情況，學習體驗自然不好.下面這個題是兩個基本模型的疊加，重點強調電路分析的意識，以常規的求電量與功的形式拋磚引玉，分析教學中存在的問題，請大家鑒賞評析.

題目如圖1所示，一對光滑的平行金屬導軌固定在同一水平面內，導軌間距L=1m，兩導軌中間通過一間距可不計的絕緣隔層分開，左端接有電阻和電容器，阻值R1=1Ω，電容C=0.1F，右端接有阻值R2=0.25Ω的電阻.一質量m=0.1kg，阻值不計的金屬棒MN放置在導軌上，整個裝置置于豎直向上的勻強磁場中，磁場的磁感應強度B=1T.棒在水平向右的外力F作用下，由靜止開始以2m/s2的加速度向右運動.當棒運動0.09m時到達絕緣層，同時撤去外力.假設導軌足夠長且電阻不計，棒在運動過程中始終與導軌垂直且兩端與導軌保持良好接觸.求：

（1）棒在勻加速運動過程中，外力F隨時間t變化的表達式;

（2）棒在勻加速運動過程中，通過導體棒電荷量q;

（3）若已知撤去外力前、后整個裝置中產生的焦耳熱相等.電容器儲存的電能EC=12CU2（U為電容器兩極板的電壓）.求外力做的功W.

解析（1）棒由靜止開始勻加速至絕緣層由 x=12at2得t=0.3s

由v=at得v=0.6m/s

畫出圖2的等效電路，

導體棒為電源，

E=BLvI=IC+IR ①

導體棒電阻不計，電容器充電電流

IC=ΔqCΔt=CBLΔvΔt=CBLa②

流過電阻R1的電流

IR=ER1=BLvR1③

聯立①②③得

I=2t+0.2（A）（0≤t≤0.3s）④

對棒由牛頓第二定律得

F-FA=ma⑤

又FA=BLI⑥

聯立④⑤⑥得

F=2t+0.4（N）（0≤t≤0.3s）⑦

（2）解法一利用平均值直接求解

由④式知導體棒中的電流I隨時間t是線性變化，可得平均電流

I-=0.2+0.82A=0.5A

q=I-t=0.15C

解法二利用并聯電路求解

分析電路，由電量守恒定律知

q=qC+qR⑧

qR=IRt=BLv-R1t=BLxR1=0.09C

qR也可以將數據代入③式得IR=2t（A），取電流平均值求.

最終可解得q=qC+qR=0.15C

解法三利用動量定理求解

設在加速過程中，力F對時間t的平均值為F-，導體棒中電流的平均值為I-

對導體棒用動量定理得

F-t-BLI-t=mv-0⑨

由⑦式知，F-=0.7N

又根據q=I-t

代入⑨式得，q=0.15C

（3）求外力做的功W，我們又可從力與能量的角度求得多種解法

解法一利用動能定理進行求解

在棒加速階段，有

WF-Q1-EC=12mv2⑩

EC=12C（BLv）2

撤去F后，電容器中的電能轉化為R1的焦耳熱，導體棒的動能轉化為R2的焦耳熱.

Q2=EC+12mv2

綜合可得WF=0.072J

解法二利用能的轉化與守恒定律求解

從能量轉化來看，導體棒克服安培力做的功等于電路中的電能.一部分通過R1轉化為焦耳熱，一部分通過電容器儲存起來.由①式得 BLI=BLIC+BLIR，將導體棒的安培力分解為兩個力，他們做的功可以代數和相加.

克服BLIC做功轉化成電容器中的電能，

EC=BLICx=0.018J

克服BLIR做功在電阻R1中產生焦耳熱，

Q1=∫0.30I2RR1dt=∫0.304t2dt=0.036J

代入⑩式即得

WF=0.072J

解法三利用功的本源定義求解

導體棒由靜止開始勻加速運動位移x所需時間t，t=2xa=x

功是力F在位移上的累積，結合⑦式得

WF=∫0.090Fdx=∫0.090（2x+0.4）dx=0.072J

從上面的求解可以看出，方法二與方法三在能量轉化與功的定義兩個角度求解，從結論上看是殊途同歸的.那么在第（3）小題中，“若已知撤去外力前、后整個裝置中產生的焦耳熱相等.電容器儲存的電能EC=12CU2（U為電容器兩極板的電壓）”其實是多余的，只是為了避開數學能力上的不足而提供的信息.可見如果撤去外力前、后整個裝置中產生的焦耳熱不相等，就會讓題目不能自洽，這是我們原創題目時要注意的.

典型錯誤剖析學生典型的錯誤就在于不想修路而直接搭橋，不知不覺把導體棒中的電流等同于電阻R1的電流.比如牛頓第二定律由⑤式變成了

F-B2L2vR=ma.

求電量由⑧式變成了

q=IRt=BLxR1.

動量定理由⑨式成了

Ft-B2L2xR=mv-0.

看似學生拋棄了⑤⑧⑨這樣一些原始方程，實際上根源并不在于此.

由上述解題過程可以看出，受力分析、運動分析與電路結構分析是基本，“修”不好（電）路，就搭不好“橋”（牛頓第二定律），更不要說正確應用高大上的兩大定理了.請看以下兩個熟悉的模型，導體棒在光滑導軌上向右做垂直于磁感線的運動.圖3的左端接電阻，圖4的左端接電容.對圖3模型，從力與運動、功與能、沖量與動量三個方面一定做了大量的探究.對FA=B2L2vR，q=B2L2xR兩個關系留下了深深的互相替代的烙印，所以學生在解題時，“有意”忽視了充電電流的存在.圖4雖然不陌生，但由于高中階段不涉及電容器儲存電能表達式，基本上只限于力與運動關系的探究層面上.

由于導體棒電阻為零，從能量轉化的角度去看看第（3）小題的解法.

策略點睛綜上所述，我對日常的習題教學有一些想法與各位分享.教師在教學中，用放大鏡選題，讓例題更具有代表性;用顯微鏡看題，透視模型后面的物理本質;用照妖鏡審題，迅速看出題目架構與陷阱.防止學生解題出現固定思維，需要教師自己提供一些原創題，加強幾個基礎分析能力的考查，同時拓展學生視野，幫助學生跳出題海，讓學習體驗更好.習題講評時，教師要展示解題最基本的操作環節，比如畫軌跡圖，受力圖，等效電路圖等等，讓思維的痕跡明顯一點，更有利于在學生的頭腦中發酵.

參考文獻：[1]

吳廣國.物理考試命題數據自洽分析＼[J＼].物理教師，2018（12）：92-93.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：王維衛（1972.12-），男，浙江省常山人，本科，中學高級教師，從事高中物理教學研究.[FQ）]