2022年高考全國乙卷模擬試卷（文科數(shù)學）

一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.請將答案寫于答題卡上）

1.已知集合M={x|x2-2x-3<0}，N={x|-2<x<1}，則M∩（CRN）= （）.

A.[-2，1]B.（-1，1]C.（-2，3）D.[1，3）

2.設i為虛數(shù)單位，且滿足2-4i1+i=a+bi（a，b∈R），則復數(shù)z=a+bi對應的點在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3. 下列向量中不是單位向量的是（）

A.（1，0）B. （1，1）

C. （cosα，sinα）

D. aa（|a|≠0）

4. 等差數(shù)列an中，a5+a10+a15=30，則a22-2a16的值為（ ）.

A.-10B.-20C.10D.20

5.樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x5的平均數(shù)和方差分別為1和4，若yi=xi+a（i=1，2，…，5），則y1，y2，…，y5的平均數(shù)和方差分別為（）.

A.1，4B.1+a，4+aC.1+a，4 D.1，4+a

6.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，則（）.

A.α∥β且l∥α

B.α⊥β且l⊥β

C.α與β相交，且交線垂直于l

D.α與β相交，且交線平行于l

7.達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名，畫中女子神秘的微笑，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者入迷，現(xiàn)將畫中女子的嘴唇近似的看作一個圓弧（如圖1），設嘴角A，B間的圓弧長為l，嘴角間的距離為d，圓弧所對的圓心角為θ（θ為弧度角），則l，d和θ所滿足的恒等關系為（ ）.

A.2sinθ2θ=dlB.

sinθ2θ=dl

C.cosθ2θ=dlD.2cosθ2θ=dl

8. 已知函數(shù)f（x）的定義域（-∞，0]，若函數(shù)g（x）=log2x，x>0，f（x）+4x，x≤0是奇函數(shù)，則f（-2）=（ ）.

A.7B.-7C.3D.-3

9.如圖2是為了計算S=11×2+13×4+15×6+…+119×20的值，則在判斷框中應填入（）.

A.n>19B.n≥19C.n<19D.n≤19？

10.設函數(shù)f（x）=x3-3x，x≤a，-2x，x>a，若f（x）無最大值，則a的取值范圍是（ ?）.

A. -1<a<1B.a≤-1C. a<-1D.a≥1

11. 若a=ln（ln3π）2，b=2ln（ln2），c=2eln2，則a，b，c的大小關系為（ ）.

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c

12. 已知函數(shù)g（x）=a-x2（1e≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與h（x）=2lnx的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍是（）.

A.[1，1e2+2]B.[1，e2-2]

C.[1e2+2，e2-2]D.[e2-2，+∞]

二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）

13.己知函數(shù)y=f（x）定義域是＼[-2，3＼]，則y=f（2x-1）的定義域是.

14. 函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（3，f（3））處的切線方程是y=-2x+7，則f（3）+f ′（3）=.

15.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x216+y24=1的兩個焦點，P，Q兩點是橢圓上關于坐標原點對稱的兩點，且|F1F2|=|PQ|，則四邊形PF1QF2的面積為.

16. 設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A=π2，角A的平分線與BC交于點D，AD=2，則2b+3c的最小值.

三、解答題（本大題共6小題，第22題10分，其他題每題12分）

17.設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知acosB=（2c-b）cosA.

（1）求角A的大小;

（2）若a=4，BC邊上的中線AM=22，求△ABC的面積.

18.某海產(chǎn)品經(jīng)銷商調查發(fā)現(xiàn)，該海產(chǎn)品每售出1t可獲利0.4萬元，每積壓1t虧損0.3萬元，根據(jù)往年數(shù)據(jù)，得到年需求量的頻率分布直方圖如圖3所示，將頻率視為概率.

（1）請依據(jù)頻率分布直方圖估計年需求量不低于90t的概率，并估計年需求量的平均數(shù).

（2）今年該經(jīng)銷商欲進貨100t，以x（單位：t，x∈[60，110]）表示今年的年需求量，以y（單位：萬元）表示今年的銷售利潤，試將y表示為x的函數(shù)解析式，并求今年的年利潤不少于27.4萬元的概率.圖3

19. 如圖4，多面體ABCDEF中，平面CDE⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，BC//EF，AB=DE=2，AD=1，點G在線段CE上，且EG=2GC=223AB.

（1）求證：DE⊥平面ABCD;

（2）若EF=2BC，求多面體ABCDEF被平面BDG分成的大、小兩部分的體積比.

20.

在平面直角坐標系中，已知橢圓C：x2a2+y2=1（a>1）的離心率為32，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左，右焦點，點P是橢圓C上在第一象限內的一點，F(xiàn)1關于直線PF2的對稱點為M，F(xiàn)2關于直線PF1的對稱點為N.

（1）證明：|MN|≤4;

（2）設A，B分別為C的右頂點和上頂點，直線y=kx（k>0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，求四邊形AEBF面積的取值范圍.

21.已知函數(shù)f（x）=excosx-x.

（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程;

（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π2]上的最大值和最小值.

選考題（共10分.請考生在第22，23兩題中任選一題做答，如果多做，則按第一題記分）

22.＼[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程＼]

在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=coskty=sinkt（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4ρcosθ-16ρsinθ+3=0.

（1）當k=1時，C1是什么曲線？

（2）當k=4時，求曲線C1與C2的公共點的直角坐標.

23.已知函數(shù)f（x）=|x|.

（1）求不等式f（x-1）+f（2x-1）≤2x的解集;

（2）若a>0，b>0，c>0，且1a+4b+9c=1，證明：f（x+a）+f（x-b-c）≥36.

參考答案

一、選擇題

1.D2.C3.B4.A5.C6.D7.A8.A9.A10.C11.D12.B

二、填空題

13.[-12，2]14.-115. 816. 52+43

三、解答題

17.（1）由正弦定理，得sinAcosB=2

sinCcosA-

sinBcosA，得sin（A+B）=2sinCcosA.

所以cosA=12，A=π3.

（2）由（1）可知A=π3，又a=4，所以由余弦定理，得b2+c2-bc=16.

又AM為BC邊上的中線且AM=22，

所以AM=12（AB+AC）.

所以8=14（b2+c2+bc），得bc=8.

所以S=12bcsinA=23.

18.（1）由題可知，[90，100]之間的頻率為10×（0.1-0.005-0.015-0.05-0.01）=0.2，＼[100，110＼]之間的頻率為0.1.所以估計年需求量不低于90t的概率為0.3.

設年需求量的平均數(shù)為x-，則x-=65×0.05+75×0.15+85×0.5+95×0.2+105×0.1=86.5.

（2）設今年的需求量為x噸，今年的年利潤y為萬元，

當0≤x≤100時，y=0.4x-（100-x）×0.3=0.7x-30，

當x>100時，y=40.

所以y=0.7x-30，60≤x≤100，40，100<x≤110，解得x≥82.當82≤x<90，P=90-8210×0.5=0.4，當90≤x<100，P=0.2，當100≤x≤110，P=0.1.

所以年利潤不少于27.4萬元的概率為0.7.

19.（1）因為四邊形ABCD為矩形，所以CD=AB.因為AB=DE=2，所以CD=DE=2.因為點G在線段CE上，且EG=2GC=223AB，所以EC=

2AB=2CD=22.

所以DE2+CD2=EC2，即DE⊥CD.

又平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD=CD，DE平面CDE，所以DE⊥平面ABCD.

（2）由（1）知DE⊥平面ABCD，且AD⊥DC，所以DE，DA，DC兩兩垂直.又AD//BC，所以易知BC⊥平面CDE.設BC=1，AB=DE=2，EF=2BC=2，S△CDG=13S△CDE=23，S△EDG=23S△CDE=43，

所以VB-CDE=13S△CDG×BC=29.

連接BE，則VB-GDE=13S△EDG×BC=49.

因為BC∥EF，BC∥AD，所以AD∥EF.

所以易知AB⊥平面ADEF.

所以S四邊形ADEF=DE2·（AD+EF）=3，

VB-ADEF=13S四邊形ADEF×AB=2.所以VB-DEG+VB-ADEF=229.

故多面體ABCDEF被平面BDG分成的大、小兩部分的體積比為11∶1.

20. 解析（1）C的離心率為32，即

a2-1a=32，解得a=2.

由題意知|PF1|=|PM|，|PF2|=|PN|，

|MN|≤|PM|+|PN|=|PF1|+|PF2|=2a=4.

（2）直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k>0），

設E（x1，kx1），F(xiàn)（x2，kx2），其中x1<x2，由y=kx，x24+y2=1，得x1=-21+4k2，x2=21+4k2.

所以點E，F(xiàn)到AB的距離分別為h1=

|x1+2kx1-2|5=

2（1+2k+1+4k2）5（1+4k2），

h2=

|x2+2kx2-2|5=

2（1+2k-1+4k2）5（1+4k2）.

又|AB|=22+1=5，

所以四邊形AEBF的面積為

S=12|AB|（h1+h2）=

12×5×4（1+2k）5（1+4k2）

=2

1+4k2+4k1+4k2=21+4k1+4k2

=2

1+41k+4k，

當k∈（0，+∞）時，1k+4k∈[4，+∞），則41k+4k∈（0，1].所以21+41k+4k∈（2，22].即四邊形AEBF面積的取值范圍為（2，22].

21.（1）因為f（x）=excosx-x，

所以f ′（x）=excosx-exsinx-1.

所以f ′（0）=e0cos0-e0sin0-1=0.

又因為f（0）=e0cos0-0=1，

故y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1.

（2）令g（x）=f ′（x）=excosx-exsinx-1，x∈[0，π2]，則

g′（x）=excosx-exsinx-（excosx+exsinx）=-2exsinx.

因為x∈[0，π2]，所以sinx≥0.

因為ex>0，所以g′（x）≤0.所以g（x）在區(qū)間[0，π2]上單調遞減.

所以g（x）≤g（0）=0，即f ′（x）≤0.

所以f（x）在區(qū)間[0，π2]上單調遞減.

所以當x=π2時，f（x）有最小值f（π2）=-π2.

當x=0時，f（x）有最大值f（0）=1.

選考題（共10分.請考生在第22，23兩題中任選一題做答，如果多做，則按第一題記分）

22.當k=1時，曲線C1：x2+y2=1.

當k=4時，x=cos2t，y=sin2t，所以x+y=1與4x-16y+3=0聯(lián)立方程組，解得x=14，y=14.

故曲線C1與C2的公共點的直角坐標（14，14）.

23.

解析（1）由題意，得

f（x-1）+f（2x-1）=|x-1|+|2x-1|.

當x>1時，

|x-1|+|2x-1|=x-1+2x-1=3x-2≤2x，則x≤2，所以1<x≤2.當

12≤x≤1時，|x-1|+|2x-1|=1-x+2x-1=x≤2x，則x≥0，所以12≤x≤1.當x<12時，|x-1|+|2x-1|=1-x+1-2x=2-3x≤2x，則x≥25，所以25≤x<12.

綜上，不等式的解集為{x|25≤x≤2}.

（2）由絕對值不等式的性質可得，

f（x+a）+f（x-b-c）=|x+a|+|x-b-c|≥|（x+a）-（x-b-c）|

=a+b+c，因為a>0，b>0，c>0，且1a+4b+9c=1，所以a+b+c=（a+b+c）（1a+4b+9c）=1+4+9+

ba+ca+4ab

+

4cb+9ac+9bc≥14+2

ba·4ab+

2ca·9ac+2

4cb·9bc=36，

當且僅當b=2a，c=3a時，等號成立.

故f（x+a）+f（x-b-c）≥36.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：梁宗明（1981.2-），男，甘肅省蘭州人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.[FQ）]