斜齒圓柱齒輪車齒加工數(shù)學模型與齒面誤差分析

王長健，曹雪梅，許 浩，魏冰陽，何宏圖，張新成

(1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.中南傳動機械廠，湖南 長沙 410200)

0 引言

雙聯(lián)齒輪、人字齒輪具有結(jié)構(gòu)緊湊等特點，廣泛運用于機床、汽車變速箱內(nèi)。由于雙聯(lián)齒輪、人字齒輪退刀槽太小，加工空間受限制，如采用滾齒加工，滾刀容易與另一側(cè)齒輪發(fā)生干涉。車齒加工[1]是車齒刀兩條切削刃沿齒向切削的加工方法，可通過設計刀具螺旋角度來滿足不同加工需求，從而消除雙聯(lián)斜齒圓柱齒輪與刀具干涉問題。

車齒加工技術(shù)具有高效、高精度等優(yōu)點，比插齒效率高3～5倍[2]。文獻[3]分析了車齒刀刃曲線與被加工齒輪雙自由度的相對運動。文獻[4]利用給定刀具、齒輪厚度和工藝數(shù)據(jù)，仿真驗證了車齒特征工藝值。文獻[5-7]基于雙自由度曲線與曲面包絡理論，分析了車齒刀具前角、后角和刀具運動偏心對齒形誤差的影響。文獻[8]對車齒刀具運動產(chǎn)生的偏差導致齒面波紋進行分析，提出改善工件齒面波紋的刀具齒數(shù)設計方法。文獻[9]建立了內(nèi)齒圈刮齒數(shù)學模型和誤差數(shù)學模型，分析了機床調(diào)整參數(shù)引起的齒形誤差。文獻[10]利用線性疊加原理和線性回歸方法提出機床參數(shù)修正方法。

綜上所述，國內(nèi)外學者大多采用斜齒刀加工直齒或直齒刀加工斜齒[11-12]，少見對斜齒刀加工外斜齒輪進行研究。基于運動學建立嚙合方程，推導過程比較復雜。本文建立斜齒刀具與斜齒圓柱齒輪車齒展成加工數(shù)學模型，基于微分幾何建立嚙合方程，并進行切齒加工試驗與齒面檢測。

1 車齒加工原理

車齒加工基于交錯軸齒輪嚙合原理[13],車齒加工模型如圖1所示。車齒刀和工件繞各自軸線按照一定的滾比轉(zhuǎn)動，刀具角速度為ω1，工件角速度為ω2；工件沿軸向做進給運動，位移量為l2。

車齒加工運動示意圖如圖2所示。圖2中，β1為刀具螺旋角；β2為工件螺旋角；∑為刀具軸與工件軸的軸交角，大小如表1所示。左旋車齒刀加工右旋圓柱外齒輪，若車齒刀具旋向與工件旋向相同，軸交角為兩者之和的絕對值；若刀具與工件旋向相反，軸交角則為兩者之差的絕對值。內(nèi)齒輪與其相反。

表1 車齒加工軸交角

車齒加工直齒圓柱齒輪時，刀具與工件的角速度關(guān)系為：

(1)

其中：φ1、φ2分別為刀具、工件轉(zhuǎn)角；Z1、Z2分別為刀具、工件齒數(shù)。

當加工斜齒輪時，刀具與工件之間需要一附加轉(zhuǎn)角保證加工出正確螺旋角，其關(guān)系為：

(2)

其中：mn為工件法向模數(shù)。對于外齒輪，刀具旋向與工件旋向相同為+，相反為-；內(nèi)齒輪則相反。

2 車齒加工模型

2.1 刀具模型

圖3 圓錐面刀具前刀面截面示意圖

車齒刀前刀面有球面、平面、錐面等多種類型[14]，本文建立錐面車齒刀具模型。

圖3為圓錐面刀具前刀面截面示意圖。r為刀具的分度圓半徑；Z1軸與刀具軸線重合；原點O1通過刀具軸線，并位于刀具前刀面分度圓處在Z1軸的投影；M為前刀面上任意點，其縱坐標為旋轉(zhuǎn)投影面到軸線距離，橫坐標為齒寬方向Z1值；γ為刀具前角，由幾何關(guān)系可得：

(3)

其中：(x1,y1,z1)為刀具齒面點的坐標。

前角為零時，車齒刀刃形曲線為漸開線[15-16]：

(4)

其中：rb為刀具基圓半徑；u為漸開線變量。則刀刃曲線方程為：

r0=[x0(u),y0(u),z0(u)]T。

(5)

車齒刀為左旋斜齒輪，刀刃繞自身軸線轉(zhuǎn)動角度為θ，刀刃自身沿刀具軸線z1方向移動dl，其坐標變換關(guān)系為：

(6)

其中：

(7)

則斜齒車刀方程表示為

r1(u,dl)=M1r0(u)，

(8)

其中：變量dl可由前刀面方程式(3)作為約束條件消去。

2.2 車齒展成加工數(shù)學模型

圖4 車齒展成加工坐標系

圖4為車齒展成加工坐標系，S(O-xyz)為固定坐標系，與刀具初始位置重合，S1(O1-x1y1z1)坐標系為刀具運動坐標系，刀具回轉(zhuǎn)軸中心為z1軸，與z軸重合，以角速度ω1繞z1軸旋轉(zhuǎn)，角度為φ1。Sp(Op-xpypzp)為輔助坐標系，與工件初始位置重合，原點Op位于工件端面圓心，S2(O2-x2y2z2)與工件固連，z2軸為工件旋轉(zhuǎn)中心，與zp軸重合，z1軸和z2軸之間的夾角為∑，工件以角速度ω2繞z2軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為φ2。x軸和xp軸重合，點OOp的距離為中心距a。車齒加工時，刀具與工件按照滾比轉(zhuǎn)動，同時工件沿z2軸向移動，距離為l2。

由刀具運動坐標系r1推導出工件運動坐標系r2，其空間坐標變換關(guān)系為：

r2(u,l2,φ1,dl)=M2PMPOMO1r1(u,dl)，

(9)

其中:

2.3 微分幾何法建立嚙合方程

車齒加工切削刃展成齒面。車齒刀在展成過程中不僅有繞自身軸線的轉(zhuǎn)動，還有沿軸線的移動和被加工工件的轉(zhuǎn)動，具有兩個獨立運動自由度。

偏導矢?r2/?u和?r2/?l2表示在工件動系S2(O2-x2,y2,z2)齒面上兩條不同方向的切線[17]，兩者的向量積為齒面法矢N1，φ1為廣義運動參數(shù)，對三變量(u,l2,φ1)求偏導矢建立嚙合方程：

(10)

圖5 工件網(wǎng)格節(jié)點

工件網(wǎng)格節(jié)點如圖5所示，在工件旋轉(zhuǎn)投影面上劃分網(wǎng)格節(jié)點[18]。圖5中，R為工件旋轉(zhuǎn)投影面齒高方向的縱坐標，H為投影面齒寬方向的橫坐標，ra為工件的齒頂圓半徑，rf為齒根圓半徑，B為工件齒寬。沿齒寬方向取m個節(jié)點，齒高方向取n個節(jié)點，建立旋轉(zhuǎn)投影面位置方程。

(11)

其中：[x2(ij),y2(ij),z2(i)]T為工件齒面節(jié)點。

將式(3)、嚙合方程(10)與位置方程(11)聯(lián)立求解，得到齒面點坐標。

2.4 車齒理論齒面與標準漸開線螺旋面對比

為了比較車齒理論齒面與標準漸開線螺旋面偏差，需要對車齒理論齒面進行角向定位，使其與標準漸開線螺旋面在基準點重合[19-20]。選取工件分度圓與齒寬中線的交點為基準點[xk,yk,zk]T，旋轉(zhuǎn)標準漸開線螺旋面，旋轉(zhuǎn)角度ψ1滿足：

-xksinψ1+ykcosψ1=0。

(12)

同理，計算出車齒理論齒面在基準點的坐標值[x2m,y2m,z2m]T，求得旋轉(zhuǎn)角度ψ2滿足：

-x2msinψ2+y2mcosψ2=0。

(13)

再根據(jù)投影面上的位置點(Rij,Hij)，求得標準漸開線螺旋面對應的點坐標[xk(ij),yk(ij),zk(ij)]T，旋轉(zhuǎn)ψ1角度得到:

(14)

(15)

車齒理論齒面與標準漸開線螺旋面任一點的誤差值為：

(16)

3 算例

3.1 車齒刀具與齒輪參數(shù)

采用左旋斜齒刀加工雙聯(lián)右旋斜齒齒輪，兩齒輪間退刀槽為10 mm，小齒輪采用車齒加工，刀具與工件基本參數(shù)見表2。

表2 刀具與工件基本參數(shù)

3.2 車齒理論齒面誤差分析

圖6是刀具螺旋角為5°時，車齒理論齒面與標準漸開線螺旋面的對比圖。由圖6可以看出：車齒理論齒面主要為齒廓偏差，在齒根處最大偏差為0.069 μm，齒頂處最大偏差為0.022 μm。

圖6 車齒理論齒面與標準漸開線螺旋面的對比圖

刀具螺旋角對齒廓偏差的影響如圖7所示。由圖7可以看出：刀具螺旋角為0°(直齒刀)時，車齒加工沒有齒廓偏差，隨著刀具螺旋角的增加，車齒理論齒面與標準漸開螺旋面齒廓偏差增大，刀具螺旋角為9°時偏差最大，為0.104 μm；隨著刀具螺旋角繼續(xù)增大，偏差逐漸減小，刀具螺旋角為18°時，與刀具螺旋角0° 一樣時，沒有齒廓偏差，此時軸交角為零，相當于兩個斜齒輪嚙合。結(jié)果表明：刀具螺旋角大小直接影響工件齒廓偏差。

圖7 刀具螺旋角對齒廓偏差的影響

4 車齒加工及齒面檢測

車齒加工試驗采用洛陽科大越格機床廠生產(chǎn)的YK2260NC數(shù)控車齒機，斜齒輪車齒加工如圖8所示，基本參數(shù)見表2，刀具轉(zhuǎn)速為500 r/min。

在Gleason 650GMS檢測中心檢測齒輪精度，如圖9所示。圖10為實際車齒齒面與標準漸開線螺旋面的齒面誤差圖。左齒面最大偏差值為9.983 μm，右齒面最大偏差為9.093 μm。

沿齒輪一周抽取1號、17號、33號、49號齒左右齒面進行檢測。表3為左右齒面齒廓總偏差。由表3可知：左齒面齒廓偏差Fα均值為8.6 μm(7級精度)，右齒面齒廓Fα偏差均值為7.0 μm(7級精度)。表4為左右齒面螺旋線總偏差。由表4可知：左齒面螺旋線總偏差Fβ為5.2 μm(6級精度)，右齒面螺旋線總偏差Fβ均值為4.6 μm(6級精度)。

產(chǎn)生誤差的原因主要是刀具的固有誤差[21]，刀具在制造過程也存在一定誤差，并不一定是標準的漸開線，刀具固有的誤差也會映射到工件齒面；另外，機床本身存在一定運動精度問題，但在誤差要求范圍內(nèi)，均能滿足生產(chǎn)需要。試驗表明，齒廓偏差和螺旋線總偏差均能滿足加工需要。

表3 左右齒面實測齒廓總偏差表

表4 左右齒面實測螺旋線總偏差表

5 結(jié)論

(1)本文按照雙自由度曲線與曲面共軛原理推導斜齒圓柱齒輪車齒數(shù)學加工模型，運用微分幾何方法建立嚙合方程，該方法適用范圍更廣。

(2)建立車齒理論齒面與標準漸開線螺旋面偏差模型，比較了理論齒面與標準螺旋面的偏差，分析了不同刀具螺旋角對工件齒形的影響。隨著刀具螺旋角的增大，齒形誤差先增大再減小，只有零前角標準漸開線直齒刀才能加工出標準漸開線齒輪。

(3)在測量中心檢測工件齒面的誤差，工件左齒面齒廓偏差均值為8.6 μm，螺旋線總偏差均值為5.2 μm；右齒面齒廓偏差均值為7.0 μm ，螺旋線總偏差均值為4.6 μm，工件加工等級為7級，可滿足生產(chǎn)需要。