基于加權參數的可靠性優化設計

伍建軍，王振飛

（江西理工大學 機電學院，贛州 341000）

0 引言

柔順機構相對于普通的剛性構件具有低成本高性能的優勢，較少的運動副，可以減少甚至消除回差，磨損度也大大降低，精度得到一定提高。但是，桿件在長期的交變載荷的作用下變形能力會隨之有所降低，性能下降，需對其可靠性進行提高。針對柔順機構的研究，國內外學者取得了一系列的成果[1]。文獻[2]采用了一次二階矩陣法，用其可靠性指標來衡量參數隨機性的影響，通過柔順機構熱固耦合拓撲優化數學模型找出了性能與成本的最佳結合點。文獻[3]通過結合偽剛體法與拉格朗日方程建立出柔順機構動態模型，對其運動精度進行研究。文獻[4，5]利用數值擬合法和有限元法對柔順機構的動力學模型進行了相關研究。這些研究主要針對柔順鉸鏈，或是柔順桿件的拓撲優化、數值擬合以及偽剛體法等，而在柔順桿件的可靠性方面研究較少。柔順桿件作為機器中的重要構件，其可靠性直接影響到整體的工作效率，提高可靠性至關重要。

田口方法解決單響應目標的可靠性優化問題較為實用，但是由于結構的復雜化，響應目標也不單一。再者，田口法在確定各因素的水平后所得出最佳方案，但是其很大程度上取決于水平范圍的取值，也同時缺少對多目標的針對權重分配分析，因此，分析所得出的方案為所選取的水平值針對某一在優化數值上占較大比例的響應目標的最佳組合，是一個接近于最佳結果的值。傳統田口法主要分為選定質量特性值、確定試驗因素、確定優化水平、正交試驗設計和對比驗證這五步，為解決柔順機構多目標響應可靠性優化問題，在本文中提出田口法結合靈敏度分析的加權優化方法主要對其中的第三和第四步進行改進，采用靈敏度法分析各參數對新型鉸鏈可靠度的影響大小及其規律，進而篩選影響因素，并得到各影響因素的權重系數以及確認它們合理的取值范圍，以此來對柔順四桿機構進行多目標的可靠性優化設計。該方法克服了傳統田口法的局限性，可以更精確地確定最佳參數，以此來更好地提高柔順機構的可靠性。

1 柔順四桿機構的可靠性分析

1.1 可靠性理論分析

柔順機構作為剛柔混合背景下的新型機構，通過彈性變形來傳遞運動和能量，性能方面比起傳統的剛性機構更加可以滿足工程實際的需求，其中，柔順機構的可靠性是將其廣泛應用于機械工程領域的基礎和前提。它主要由柔性梁、剛性梁以及導向梁組成，其原理是導向梁承受橫向作用力使得柔性梁發生彎曲變形從而傳遞運動，由于柔順四桿機構是對稱模型，故選取二分之一來研究分析[6]，具體的結構參數如圖1所示。

圖1 結構參數圖

在本文中主要考慮到傳統田口法選擇水平因素的局限性，將其結合靈敏度分析以及數學建模對柔順四桿機構進行優化設計，可以有效提高其優化的精度。在本文中，柔順四桿機構的可靠度主要由在相同作用力的情況下，導向梁產生的輸出位移決定。由文獻[7]可知輸出位移公式如式(1)所示。

式(1)中：S-輸出位移；F0-外部壓力；E-材料的彈性模量；I0-性矩；a-柔性梁的長度；b-剛性梁的長度。其中，截面慣性矩如式(2)所示。

式(2)中：c-柔性梁的寬度；t-柔順四桿機構的厚度。

在本次試驗中，需要考慮到的幾何尺寸包括：柔性梁的長度a、剛性梁的長度b、柔性梁的寬度c、剛性梁的寬度d和機構的厚度t，將其作為設計參數，柔順四桿機構的輸出位移S作為優化目標進行初步試驗分析，根據初步分析結果篩選影響因素，并分析其影響規律確定出顯函數形式的可靠度數學模型式(3)，根據計算所得的可靠度挑選出最佳方案。

式(3)中：Δ-可靠度；k-變化系數；x-尺寸參數。

1.2 有限元模型分析

本文選取柔順四桿機構作為研究對象，材料選擇Al，彈性模量E=16GPa，泊松比為0.42，在workbench中進行模態分析。網格劃分單元格大小為2mm，如圖2所示。在一段的導向梁施加橫向力F，F取值為10N，另一端施加固定約束，如圖3所示。其一階固有頻率以及輸出位移的分析結果如圖4和圖5所示，從云圖中可以看出導向梁和柔性梁為主要影響對象。導向梁受力后，柔性梁通過變形傳遞作用力，其變形越大，傳遞的能量越高，同時，固有頻率越高，可以很好的防止共振現象造成性能波動影響可靠度。因此可將模型的一階固有頻率和最大輸出位移作為優化目標，該數值可以間接體現柔順四桿機構的可靠性，將其尺寸參數作為設計變量進行試驗研究。為了可以更直觀地看出傳統田口法和本研究方法所得結果的區別，在本次研究中，同時進行兩種方案，并將兩者所得結果進行對比分析。

圖2 網格劃分圖

圖3 約束情況圖

圖4 原模型一階固有頻率云圖

圖5 原模型輸出位移云圖

1.3 可靠性優化流程框架設計

如圖6所示。

圖6 柔順四桿機構可靠性優化設計流程圖

2 優化實例

2.1 田口法分析及仿真結果

根據柔順四桿機構的工作性能，柔性變形越大，傳遞能量越高，同時，固有頻率越高，可以有效防止產生共振造成破壞[8]。本文將圖1中的全部尺寸參數作為設計變量，選取變量的對應水平如表1所示，輸出位移和一階固有頻率為優化目標。若采用傳統的田口方法進行優化，在設計正交試驗表格后，由于設計變量是5因素3水平，因此共需進27組實驗。進有限元分析后，所得到的結果如表2所示。

表1 設計變量水平表（mm）

表2 仿真試驗結果

（續）

對表2中的各尺寸參數進行信噪比分析[9]，可以出的其對應的效應圖，如圖7和圖8所示。從輸出位移和一階固有頻率的望大特性圖中可以看出，尺寸如果按照傳統的田口優化方法的話，相對于原始數據a2b2c2d2t2，所得的較優方案應是a3b3c1d2t1或a3b1c1d1t1，相關的參數和優化程度如表3所示。根據式(3)，確定整體優化程度式如式(4)所示。

圖7 輸出位移望大特性信噪比效應圖

圖8 一階固有頻率望大特性信噪比效應圖

式(4)中，w1和w2分別為輸出位移和一階固有頻率的優化程度，由于四桿機構的輸出位移和固有頻率對結構穩定皆較為重要，故各取值為1/2。

由表3可知田口法所得的最佳方案為a3b3c1d2t1，整體優化了53.06%，可靠度得到較大的提高，由于是選取了10%的尺寸范圍后得出的結論，而不同尺寸對四桿機構可靠度的影響顯然有所差異，若各因素使用不同的水平范圍，最后得出的結果將會有所變化，且在此間選取的最佳方案并沒有完全兼顧到固有頻率和輸出位移兩者的綜合影響。為提高結果的精確度，將采用靈敏度分析得出各尺寸對整體結構的影響規律及大小，通過建立相應的數學模型來進行綜合優化。

表3 田口法較優方案參數表

2.2 靈敏度分析影響因子

概率靈敏度是指對零部件造成影響的靈敏度參數，通過概率靈敏度計算可以確定影響的主要因素以及影響規律，從而可以在設計過程中對其進行控制來獲得更高質量的產品[10]。為得出各個尺寸對優化目標的影響規律，通過分析其靈敏度參數來進行研究。在本文中將各個幾何尺寸分別作為隨機變量研究，同時控制其他條件相同，得出各個幾何尺寸對柔順四桿機構輸出位移和一階固有頻率的影響規律。若直接采用靈敏度分析的方法，除了最初的試驗以外只需再做10組試驗，便可以得出各個尺寸的影響規律及大小，相對于在相同水平范圍內采用的田口法進行的27組試驗節約了大量的時間，相關的數據如表4所示，具體的影響情況如圖9和圖10所示。

表4 靈敏度參數表

圖9 輸出位移變化率靈敏度圖

圖10 一階固有頻率靈敏度圖

由圖(10)可知，柔性梁的長度a、剛性梁的長度b、柔性梁的寬度c和機構的厚度t對柔順四桿機構的輸出位移造成的影響都超出了20%，尤其是柔性梁的寬度c影響程度甚至接近60%十分顯著。柔性梁的寬度c和厚度t與其他兩者不同，呈負相關系，說明柔順四桿機構的輸出位移隨柔性梁的寬度c和厚度t的增大而減小，結果符合式(1)中所示關系。相對的，剛性梁的長度b和寬度d，以及機構的厚度t對桿件的一階固有頻率影響較大，且影均為反比例關系；而柔性梁的長度a和寬度c則對一階固有頻率影響不大[11]。根據靈敏度圖所顯，可以將因素水平進行相應比例大小的更改，使得因素水平選取更為合理。

2.3 構建柔順四桿機構數學優化模型

結合2.2節中的靈敏度分析結果，去掉影響程度小的變量后，對尺寸參數和兩個質量特性進行函數關系構建，并轉化為式(3)的顯函式關系，構造出數學關系模型?？梢源_定出輸出位移量和一階固有頻率與尺寸參數的顯函數關系分別如式(5)、式(6)所示。

為了方便建立優化數學模型，將尺寸參數分別用x1～x5表示。結合式(3)～式(6)，可以得出可靠度μ的數學公式，為了方便與田口法的優化程度進行比較，將選取相同的取值范圍進行優化。

2.4 方案選優

通過2.3節中所建立的數學模型，計算得出最佳方案的對應參數值如表5所示。由表中的數據可以看出，在各因素同水平取值范圍的條件下，相比于田口法得出的最佳組合，通過靈敏度綜合分析各尺寸參數對結構可靠度的影響比例因子，在兼顧一階固有頻率和最大位移兩個響應目標的前提下，剛性梁的寬度d取值有所變動。結合式(7)和式(8)，將各尺寸因素的水平范圍分別由之前統一的10%依次更改為7%、7%、15%、16%和8%，即以考慮靈敏度分析結果后的權重系數為依據改變式(9)中的x的取值范圍進行試驗，并得出x的取值。

表5 MATLAB分析數值表

3 對比驗證

采用2.4節中所得到的參數重新建模，將原始模型、田口法所得的最佳方案以及采用靈敏度分析建立數學模型后所得的方案這三者進行對比驗證，從表6中可以看出，在采用靈敏度分析確定影響因素以及權重系數建立數學模型分析后所得到優化模型的可靠度，相比較于傳統的田口方法提高了24.82%，優化效果顯著，且其僅需要進行11組試驗便可以達到結果，大大節省了試驗時間。

表6 對比驗證數據表

4 結語

本文基于可靠性理論和優化分析方法，針對于傳統田口法水平范圍以及單一目標造成的局限性，對其進行針對性的改進，提出了一種在基于田口法的基礎上結合靈敏度分析的加權優化方法，對柔順四桿機構的幾何尺寸進行參數優化，在田口法的基礎之上進一步減少了試驗的時間。分析結果表明，本文章提到的優化方法確實合理有效，相比較于傳統田口法所得的優化數值提高了24.82%，試驗所需時間更短。通過模型結構尺寸優化，可以有效兼顧柔順四桿機構的一階固有頻率和最大位移量的優化，使其可靠性得到明顯的優化改善，為其他類型機構的多目標參數優化提供了一定的參考。