回歸基礎(chǔ)，探求一次函數(shù)表達(dá)式

李進(jìn)

笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，將函數(shù)與圖像結(jié)合起來(lái)，讓函數(shù)更加有趣，也更加有用和易用。一次函數(shù)是函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是必考的知識(shí)點(diǎn)，如何求一次函數(shù)表達(dá)式是解決函數(shù)問題的基礎(chǔ)。

一、由圖像求函數(shù)表達(dá)式

例1 如圖1，直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式是 。

【方法一】我們通過圖像容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)過（0，-1）、（2，0）、（4，1）等整數(shù)點(diǎn)，任取兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求解。待定系數(shù)法是求函數(shù)表達(dá)式常用的方法，這里不再細(xì)說。

【方法二】利用k的幾何意義求解一次函數(shù)表達(dá)式。如圖2，一次函數(shù)圖像與x軸的夾角∠ABC的正切值為[12]，即為k的值，求得一次函數(shù)表達(dá)式為y=[1/2]x-1。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)比待定系數(shù)法，方法二的做法明顯降低了計(jì)算量，有利于節(jié)省考試時(shí)間，提高計(jì)算的正確率。需要注意的是，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)圖像中y隨x增大而增大時(shí)，k等于直線與x軸夾角的正切值，而如果一次函數(shù)圖像中y隨x增大而減小時(shí)，k等于直線與x軸夾角的正切值的相反數(shù)（如圖3），求得一次函數(shù)表達(dá)式為y=[-1/2]x+1。

【方法三】類似求二次函數(shù)表達(dá)式時(shí)的交點(diǎn)式。若一次函數(shù)圖像過（a，b），可以設(shè)y=k（x-a）+b，再找另外一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入求出k，即可求出一次函數(shù)表達(dá)式為y=[1/2]（x-4）+1=[1/2]x-1。

【點(diǎn)評(píng)】這種方法計(jì)算量小，易在選擇題或填空題中快速求出一次函數(shù)表達(dá)式。

二、由定義求函數(shù)表達(dá)式

例2 已知y-2與3x-4成正比例，且當(dāng)x=2時(shí)，y=3。求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。

【解析】根據(jù)正比例的定義，可以設(shè)y-2=k（3x-4），然后把x=2，y=3代入，求出k值為[1/2]，再整理即可，得函數(shù)表達(dá)式為y=[3/2]x。

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式。

三、由運(yùn)動(dòng)求函數(shù)表達(dá)式

例3 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是 。

【解析】根據(jù)已知條件得到A（[1/2]，0），B（0，-1），求得OA=[1/2]，OB=1。過點(diǎn)A作AF⊥AB交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖5，得到AB=AF。根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=OB=1，EF=OA=[1/2]，求得F（[3/2]，[-1/2]）。設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，代入點(diǎn)B和點(diǎn)F的坐標(biāo)，解方程組得函數(shù)表達(dá)式為y=[1/3]x-1。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖像與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵。