直擊中考——函數的應用

駱麗葉

數學來源于生活，又應用于生活。從歷年各地的中考試卷命題趨勢來看，命題者越來越傾向于考查同學們解決實際問題的能力。函數是用來刻畫現實世界數量關系的模型之一，因此，對函數的考查，越來越貼近生活，綜合性也越來越強。

例1 （2021·浙江麗水）李師傅將容量為60升的貨車油箱加滿后，從工廠出發運送一批物資到某地。行駛過程中，貨車離目的地的路程s（千米）與行駛時間t（小時）的關系如圖1所示（中途休息、加油的時間不計）。當油箱中剩余油量為10升時，貨車會自動顯示加油提醒。設貨車平均耗油量為0.1升/千米，請根據圖像解答下列問題：

（1）直接寫出工廠離目的地的路程;

（2）求s關于t的函數表達式;

（3）當貨車顯示加油提醒后，問行駛時間t在怎樣的范圍內貨車應進站加油？

解：（1）由圖像可知，當t=0時，s=880，即工廠離目的地的路程為880千米。

（2）設s=kt+b（k≠0）。

將（0，880）和（4，560）代入s=kt+b，

得[880=b，560=4k+b，]解得[k=-80，b=880。]

∴s關于t的函數表達式為s=-80t+880（0≤t≤11）。

（3）當油箱中剩余油量為10升時，

s=880-（60-10）÷0.1=380（千米），

∴380=-80t+880，解得t=[254]（小時）。

當油箱中剩余油量為0升時，

s=880-60÷0.1=280（千米），

∴280=-80t+880，解得t=[152]（小時）。

∵k=-80<0，∴s隨t的增大而減小，

∴t的取值范圍是[254]

【點評】本題以圖像形式考查了一次函數的應用，答題的關鍵是讀懂圖像，看清橫軸、縱軸的實際意義，并且明確圖像中一些特殊點的實際意義。同時，用待定系數法求函數表達式，將一個變量的值代入表達式，求出另一個變量的值，再利用函數的增減性判定這個變量的取值范圍。以上都是中考常考知識點。

例2 （2021·遼寧營口）某商家正在熱銷一種商品，其成本為30元/件，在銷售過程中發現隨著售價增加，銷售量在減少。商家決定當售價為60元/件時，改變銷售策略，此時售價每增加1元需支付由此產生的額外費用150元。該商品銷售量y（件）與售價x（元/件）滿足如圖2所示的函數關系（其中40≤x≤70，且x為整數）。

（1）直接寫出y與x的函數表達式;

（2）當售價為多少時，商家所獲利潤最大？最大利潤是多少？

解：（1）設線段AB的表達式為y=kx+b（40≤x≤60），將點（40，300），（60，100）代入，得[300=40k+b，100=60k+b，]解得[k=-10，b=700，]

∴函數的表達式為y=-10x+700（40≤x≤60）。

設線段BC的表達式為y=mx+n（60

得[60m+n=100，70m+n=150，]解得[m=5，n=-200，]

∴函數的表達式為y=5x-200（60

∴y與x的函數關系式為

[y=-10x+700（40≤x≤60），5x-200（60

（2）設獲得的利潤為w元。

①當40≤x≤60時，

w=（x-30）（-10x+700）

=-10（x-50）2+4000。

∵-10<0，∴當x=50時，w的值最大，最大值為4000元。

②當60

w=（x-30）（5x-200）-150（x-60）

=5（x-50）2+2500。

∵5>0，∴當60

∴當x=70時，w的值最大，最大值為5×（70-50）2+2500=4500（元）。

綜上，當售價為70元時，該商家獲得的利潤最大，最大利潤為4500元。

【點評】本題考查了二次函數與一次函數在實際生活中的綜合應用，注意要分類討論求出函數表達式以及利潤的最大值。對于最大銷售利潤問題，我們常利用函數的增減性來解答，解決的關鍵是要明確題意，確定變量，建立函數模型。特別要注意的是，我們一定要在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=[-b2a]處取得。