尋找動點中的全等三角形

張君翔

全等三角形和動點相結合往往會產生意想不到的效果，這時，只知道全等三角形的5種判定方法已經遠遠不能滿足解題的需要。因此，本文選取兩個例題來進行探究，希望對同學們有所幫助。

例1 如圖1所示，△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，點D為AB邊上的中點，如果點P在BC邊上以3cm/s的速度由B向C運動，同時點Q在CA邊上由點C向點A運動。

（1）若點Q的速度與點P的運動速度相等，1秒鐘時，△BPD和△CQP是否全等，請說明理由;

（2）若點Q的速度與點P不相等，點Q的速度為多少時，△BPD和△CQP全等？

【解析】本題是以一個等腰三角形為背景，在兩個動點運動的過程中，產生三角形全等。題目已經明確了要證明的全等三角形，接下來就是要分析兩個三角形中的相等條件。

（1）如圖1，因為在等腰△ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C，這是本題中始終存在的相等條件，和動點的運動無關。1秒鐘時，因為點P的速度和點Q的速度相等，所以我們可以求出兩個動點的運動路程，即線段BP和線段CQ的長度，均為3cm，線段PC的長度是6cm，因此可以得到全等的三個相等條件，即BD=PC，∠B=∠C，BP=CQ，所以△BPD≌△CQP。

（2）首先∠B=∠C是仍然成立的，但是此時與第（1）問中不同的是點Q和點P的運動速度不同，那就說明BP≠CQ，那如果三角形△BPD和△CQP全等，則必然會有對應相等的關系。根據“相等即對應”，我們可以分析得出B點與C點對應，P點和Q點是不對應的，那么只可能是點P與點P對應，點D與點Q對應，即△BPD≌△CPQ，則有BP=CP，BD=CQ，通過這兩組邊相等，先求出BP=4.5cm，t=1.5s，CQ=6cm，所以點Q的速度為4cm/s。

例2 如圖2，在四邊形ABCD中，BC=AD=10cm，AB=CD，BD=14cm。點E從D出發，以2cm/s的速度沿著DA向終點A勻速運動，點F從點C出發，以5cm/s的速度沿著C→B→C勻速運動，點G從B點出發，向終點D勻速運動。三點同時出發，當有一個點到達終點時，其余兩個點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒。

（1）證明AD∥BC。

（2）在移動的過程中，有沒有△DEG與△BFG全等的情況出現？請探究這樣的情況會出現幾次，分別求出此時的運動時間t和G點的運動速度。

【解析】本題是在一個平行四邊形背景中的動點問題。題目中一共有三個動點，要證明△DEG與△BFG全等，首先分析這兩個三角形中已經存在的相等條件，然后討論這兩個三角形全等分類的標準，從而確定動點的運動情況。

（1）要證明AD∥BC，只要證明四邊形ABCD是平行四邊形即可。

（2）由（1）可得∠GBC=∠ADB，那么△DEG與△BFG就有一對角對應相等，圍繞這一對角相等產生的全等，考慮是“SAS”全等的情況，也就是在BG、BF和DE、DG中出現兩組邊相等，那就有2種可能，即①BG=DE，BF=DG或者②BG=DG，BF=ED。設G點的速度為xcm/s，則BG=xt，DG=14-xt，DE=2t，因為C點是從C→B→C，所以BF=10-5t（0≤t≤2）或BF=5t-10（2

以①為標準的全等可列出方程組

[xt=2t，10-5t=14-xt（0≤t≤2），]或者

[xt=2t，5t-10=14-xt（2

第一個方程組解得x=2，t=[-43]（舍）;第二個方程組解得x=2，t=[247]。

以②為標準的全等可列出方程組

[xt=14-xt，10-5t=2t（0≤t≤2），]或者

[xt=14-xt，5t-10=2t（2

第一個方程組解得x=[4910]，t=[107];第二個方程組解得x=[2110]，t=[103]。

故全等的情況會出現3次，分別是當t為[247s]、[107s]、[103s]時，G點的速度分別是2cm/s、[4910cm/s]、[2110cm/s]。