三角形問題中的易錯點分析

崔曾如

三角形作為幾何圖形中的基本圖形，在初中數學的學習中占有非常重要的地位。很多四邊形以及復雜的直角坐標系中的幾何圖形問題最后都是轉化為解決三角形的問題。在解決三角形問題中，同學們容易忽略三角形三邊關系、角的分類討論以及實際問題中隱含的邊角關系。下面老師針對三角形問題中的一些易錯點進行分析，希望能夠幫助同學們避免再次出現這類錯誤。

一、忽視三角形三邊的隱含關系

例1 若菱形ABCD的一條對角線長為8，邊CD的長是方程x2-10x+24=0的一個根，則該菱形ABCD的周長為（ ）。

A.16 B.24

C.16或24 D.48

【分析】已知條件是菱形，要求菱形的周長，只要計算出菱形的邊長即可。求解一元二次方程可以得到線段CD的長度，而線段CD與菱形的對角線剛好構成一個三角形。脫去菱形的外衣，此題其實就是三角形的三邊關系。同學們應關注兩點：①三角形的任意兩邊之和大于第三邊，②解決幾何問題最好畫出示意圖。

解：畫出示意圖如圖1。

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∴菱形ABCD的周長=4CD。

又∵x2-10x+24=0，

∴（x-4）（x-6）=0，

解得x=4或x=6。

①當CD=4時，4+4=8，不能構成三角形;

②當CD=6時，6+6>8，滿足三角形的三邊關系，符合要求。

∴菱形ABCD的周長為4CD=24。

故選B。

二、忽視三角形角的分類討論

例2 在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAD=25°，∠CAD=55°，則∠BAC= 。

【分析】很多同學做錯的原因是只考慮了BC邊上的高在三角形內部的情況。由于△ABC的形狀不確定，所以就不能確定BC邊上的高是在三角形的內部還是在三角形的外部，因此本題需要分類討論。

解：①如圖2，高AD在△ABC的內部，則∠BAC=∠BAD+∠CAD=25°+55°=80°;

②如圖3，高AD在△ABC的外部，則∠BAC=∠CAD-∠BAD=55°-25°=30° 。

因此，∠BAC的度數為80°或30°。

三、對三角形變換問題的性質不清楚

例3 如圖4，在△ABC中，∠BAC=108°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△AB′C′。若點B′恰好落在BC邊上，且AB′=CB′，求∠C′的度數。

【分析】本題是三角形旋轉運動問題，很多同學在遇到這類題型時弄不清誰在旋轉，繞著哪個點旋轉，旋轉后得到了什么等問題。旋轉變換給我們帶來的是線段和角的關系。本題中△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△AB′C′，我們應獲知對應線段相等，對應角相等，旋轉角相等，即AB=AB′，∠C=∠C′。因此，求∠C′的度數就是求∠C的度數。問題就轉化為在△ABC中，求解∠C的大小。

解：∵△ABC繞點A旋轉得到△AB′C′，

∴AB=AB′，∠C′=∠C，

∴∠AB′B=∠B。

又∵AB′=CB′，

∴∠B′AC=∠C。

設∠C=x，則∠B′AC=∠C=x，

又∵∠AB′B是△AB′C的外角，

∴∠AB′B=∠B′AC+∠C=2x，

∴∠B=∠AB′B=2x。

∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴2x+x+108°=180°。

∴x=24°，

∴∠C′=∠C=24°。