基于Lugre模型和自抗擾技術的穩定控制系統設計

崔晨耕

（西安航空職業技術學院 電子工程學院，西安710000）

陀螺穩定平臺利用陀螺感應慣性空間轉速和平臺穩定控制，隔離外界擾動干擾，實現平臺在慣性空間內保持視軸穩定，為相機、紅外探測器、激光器、測距儀等光學儀器提供穩定環境，為實現清晰成像、測量提供一個慣性穩定環境，已廣泛應用于機器人、無人機、車載、船載、移動監控、地理測繪等眾多領域。其中最為關鍵的技術之一是穩定控制器的設計，隨著載荷對應用環境穩定性的要求更為苛刻，對控制器的控制精度要求也越高。目前采用的控制方法主要包括PID 控制、自適應控制、魯棒控制、滑膜控制、神經網絡、模糊控制、自抗擾控制等。

自抗擾控制理論主要由跟蹤微分器、擴張狀態微分器、非線性組合控制律等構成[1]。自抗擾控制器突破了線性系統和非線性系統的界限，同時打破了確定性和不確定性的界限，通過擴張狀態觀測器實現對不確定擾動的估計，從而實現對擾動補償，相比于基于誤差進行PID 補償的控制策略，其補償效率更高，突破了“基于誤差進行補償”的局限。目前，自抗擾控制策略已在航空、航天、電力、交通、化工等多個領域得到應用，受到多學科的廣泛關注，同時出現了多種改進型自抗擾控制算法。文獻[2]等人針對控制系統的時滯問題，提出利用自抗擾控制算法解決時滯問題，并給出了自抗擾參數整定方法。文獻[3]將自抗擾控制算法應用于永磁直線同步電機的控制中，提高電機轉速控制的穩定性。文獻[4]對自抗擾控制進行改進，引入濾波算法，提高陀螺穩定平臺的控制經度。文獻[5]將自抗擾控制應用于快速反射鏡控制，提高快速反射鏡的角度跟蹤精度。

典型線性PID 控制器無法很好地克服摩擦、力矩不平衡等帶來的非線性力矩干擾，為了克服摩擦干擾，進一步提升系統穩定精度，本文運用線性自抗擾控制器（active disturbance rejection control，ADRC），同時采用Lugre 摩擦補償模型，提出一種基于自抗擾技術的復合控制器。擾動測試結果表明，與傳統PI 控制器相比，該復合控制器具有更高的控制精度和抗擾能力。

1 控制對象模型

系統采用直流力矩電機作為動力執行機構，將電機與平臺載荷作為一個整體對象，其等效模型如圖1所示。控制對象主要涉及3 個平衡方程[6]：

圖1 電機和平臺載荷等效模型Fig.1 Load equivalent model of motor and platform

式中：L表示力矩電機的電感值；R表示力矩電機的電阻值；I表示力矩電機中產生的電流；U表示電機輸入電壓值；J表示載荷的慣量；E表示反電動勢；ω表示轉速；M表示輸出的扭轉力矩；Ce表示反電動勢系數；Cm表示力矩系數；df表示摩擦力矩。

對電機平衡方程進行拉氏變換，并進行方程聯立獲得電機模型輸入輸出間的傳遞函數為

為提高伺服穩定系統的響應速度，一般會在速度控制環內部設計電流環，電流環的響應速度會遠高于速度環，可將電流簡化為一個比例環境，因此速度環的開環動力學方程可表示為

式中：dL表示其它未知擾動；令f=df+dL，表示系統受到的內部摩擦、外部擾動等全部擾動總和；令，則速度環的開環傳遞函數可簡化為

速度環控制對象可簡化為如圖2所示，系統包含了一個積分環節，輸入端包括電機驅動輸入、內部摩擦和外界未知擾動。

圖2 速度環控制對象簡化結構Fig.2 Simplified structure of speed loop control object

穩定平臺主要分為兩框架穩定結構和三框架穩定結構兩類，兩框架結構一般包括方位軸和俯仰軸兩軸，三框架結構一般包括方位軸、俯仰軸、橫滾軸三軸[7-9]。由于每個軸向的控制結構基本相同，僅以其中方位軸為對象進行建模，方位軸的速度閉環控制回路結構框架如圖3所示。

圖3 控制回路結構架Fig.3 Control loop structure frame

2 線性自抗擾控制器設計

在主控制回路的基礎上引入線性自抗擾控制器，線性自抗擾控制系統的結構如圖4所示。圖中，ω0表示系統輸入的轉速命令值；C（s）表示速度控制器，采用經典PI 控制器；G（s）表示被控對象的傳遞函數。

圖4 線性自抗擾控制器原理圖Fig.4 Schematic diagram of linear ADRC

線性自抗擾控制器的主要原理是：當系統有外部干擾輸入時，系統實際對象和參考模型均有輸出，將實際輸出與參考模型輸出進行作差，將輸出差值進行等效處理后，反饋至輸入端，實現對干擾的觀測和等效補償。與其它控制算法相比，線性自抗擾控制算法的優勢在于在不影響系統原有穩定性的基礎上，完成了對干擾力矩的觀測和補償[10-11]。另外，由于被控對象的實際模型中存在積分環節，線性自抗擾控制在對模型進行逆運算時，會帶入微分環節，微分環節易將噪聲放大，從而造成系統振蕩，影響穩定精度。為了解決這一問題，引入了一個低頻濾波器，用于消除微分環節造成的高頻振蕩問題。

擾動觀測器（disturbance observer，DOB）是線性自抗擾控制器的核心部分，其將摩擦力矩、不平衡力矩、載體姿態擾動等外部所有干擾因素，統一看作成 “擾動總和”，將其看作為一個擴張的狀態變量，通過對擾動觀測器的合理設計，實現對“總擾動”的觀測和估計，將估計值作為補償量反饋至輸入端，實現對總擾動的補償[12-13]。

首先建立系統的擴張狀態方程，表達式為

式中：狀態x1表示角度；狀態x2表示角速度；擴張狀態x3表示干擾量。

可將擴張狀態方程寫成標準形式為

將狀態x3表示為擾動的擴張狀態量，為擴張狀態方程構建擴張狀態觀測器為

式中：z1、z2、z3分別為擴張狀態x1、x2、x3的觀測量，實現對擴張狀態的估計。

該擴張狀態觀測器的特征方程可表示為

為保證狀態觀測器的穩定性，需要保證其特征值是負數，由特征方程可知，只需要保證ω0為正值，則特征值則為負數。在ω0為正值的前提下通過調整其數值，即可保證觀測器穩定的前提下，調整觀測器響應速度，完成對觀測器的設計。

2.1 PD 控制器設計

系統控制器主要由PD 控制器和干擾觀測補償構成，通過干擾觀測器實現對干擾量的估計，將干擾觀測量補償至系統實現對未知干擾量的補償，為了進一步提升系統的魯棒性和穩定性，控制器中同時引入PD 控制器。系統控制器的輸出主要由干擾觀測量和PD 控制器輸出兩部分構成，控制器輸出可表示為[14]

式中：u表示PD 控制器，其表達式為[15]

式中：kP表示比例系數；kD表示微分系數。

系統的閉環傳遞函數可表示為

式中：ωc為控制系統的帶寬，僅需要通過調整ωc，即可實現對系統響應速度的調整。ωc越大，系統的響應速度越高，響應的穩定裕度會降低，應保證足夠穩定裕度的前提下，選擇合適的ωc值。

至此，控制系統主要僅需要調整ωc、ω0、b03 個參數，調整參數實現了簡化，便于在實際工程中獲得應用。

3 基于Lugre 的摩擦模型

為了進一步提升對干擾力矩的抑制，控制方案中引入Lugre 摩擦模型進行補償。Lugre 模型是在鬢毛摩擦模型的基礎上發展而來的，通過對摩擦模型的完善，其兼顧了摩擦的動態特性和靜態特性，能夠反應出摩擦力矩在預滑動狀態下的特性[16]。Lugre模型能夠同時反應出摩擦力矩在預滑動和滑動兩個階段的特征，對預滑動和滑動之間進行了平滑過渡，模型表達公式為[17]

為了能夠獲取摩擦力矩的具體估計值，需要辨識摩擦模型中的參數，摩擦公式中的參數主要分為靜態參數和動態參數兩類。其中，靜態參數主要反應摩擦在滑動階段的特性，動態參數主要反應摩擦在預滑動階段的特性。靜態參數的辨識主要利用電機轉速與驅動電壓之間的對應關系，平臺進行勻速運動時，電機驅動力矩主要消耗在摩擦力矩上，通過實驗測試出在不同轉速下，電機的驅動電壓值，從而擬合出平臺轉速和驅動電壓之間的擬合曲線，利用擬合關系曲線推算出靜態參數。動態參數反應的是摩擦預滑動狀態的特性，其屬于內部變量，無法進行直接的估算。可在預滑動階段將系統近似看成彈性阻尼系統，利用預滑動發生的微量角位移和驅動力矩之間的關系對動態變量進行估計，預滑動狀態下驅動力矩與驅動電壓基本成線性比例關系，可利用驅動電壓表示電機驅動力矩，利用微動角位移與電壓之間的關系曲線實現對動態參數的估計。

引入Lugre 摩擦模型補償后的控制結構如圖5所示，在速度控制回路的基礎上增加了摩擦補償環節，以提升系統擾動的補償速度，提高抗擾能力。

圖5 引入Lugre 摩擦補償后的控制結構Fig.5 Control structure after introducing Lugre friction compensation

4 測試結果

為了驗證該穩定控制方案的控制效果，對平臺進行搖擺干擾，測試在干擾狀態下，平臺的穩定精度。將平臺安裝于搖擺臺，對搖擺臺輸入典型的正弦干擾信號進行測試，頻率為2 Hz，幅度為1°，驅動搖擺臺進行正弦搖擺晃動。穩定平臺分別采用典型PI 控制器和上文所述基于自抗擾的復合控制器，對比兩種控制器的干擾隔離效果，采集陀螺信號，獲得兩種控制器的穩定殘差如圖6所示。由圖可知，基于自抗擾的復合控制器的穩定精度明顯高于PI 控制器，與PI 控制器相比，平臺穩定精度提升了20 dB左右。

圖6 搖擺干擾隔離測試結果Fig.6 Test results of rocking interference isolation

將搖擺臺的干擾頻率從0～3 Hz 依次增加，測試多個干擾頻率點下控制器的穩定性能，不同干擾頻率下，與PI 控制隔離度相對比，復合控制器的隔離度統計如表1所示。由表中數據可知，在不同的頻率干擾下，基于自抗擾的復合控制器均能表現出較高的穩定隔離度，驗證了控制器在整個工作擾動頻段內均能保持良好的抗擾能力。

表1 PI 控制和復合控制的隔離度對比Tab.1 Comparison of isolation between PI control and compound control

為了對比基于自抗擾復合控制與PI 控制器的階躍響應速度和穩定收斂性，對兩種控制器分別進行階躍響應測試，響應結果如圖7所示。由圖可見，基于自抗擾的復合控制器超調量更低，系統穩定裕度明顯更高，且具有較高的響應速度。

圖7 階躍響應測試結果Fig.7 Step response test results

5 結語

針對陀螺穩定平臺的穩定控制問題，文中提出了一種基于Lugre 摩擦補償模型和自抗擾控制算法的復合控制器設計方案，首先針對控制對象進行建模，對控制結構進行了論述，然后提出了線性自抗擾控制器的設計流程，另外為了進一步補償軸系摩擦，引入Lugre 摩擦模型，并給出了模型參數辨識方法。最后，通過實際搖擺臺干擾試驗，驗證了該復合控制器在工作環境中的整個干擾頻段內均具有良好的擾動隔離能力。