數學教學中問題鏈創設的實踐與思考

【摘 要】數學課堂教學的過程是提出問題、解決問題、提出新問題、解決新問題的過程。可見問題的提出與解決對數學教學至關重要。數學問題鏈是指教師在課外預設，并在課堂上以多種方式呈現給學生的、有序的主干問題序列，它既為學生提供了數學學習的骨架，又為學生發展高水平的思維提供了可能性。數學問題鏈有助于數學知識的生成，促進學生對數學的深刻理解。一個有效的問題鏈的創設需體現整體性、思維性、主體性和發展性。

【關鍵詞】問題鏈;整體性;思維性;主體性;發展性

【作者簡介】何睦，浙江師范大學教師教育學院博士研究生，一級教師，張家港市學術帶頭人，新青年數學教師工作室成員，張家港市羅建宇名師工作室成員，主要研究方向為數學課程與教學研究。

數學家哈爾莫斯曾指出，問題是數學的心臟。數學的發展過程可以看成是以下模式：問題的提出→問題的解決→新的問題的提出→新的問題的解決……可見問題的提出與解決對于數學研究至關重要。數學課堂教學是關于數學的教學，因此，數學課堂教學的過程也可以認為是提出問題、解決問題、提出新問題、解決新問題的過程。數學新課程改革倡導“問題—建立模型—解釋、應用與拓展”的課程模式。可見，課程改革將問題作為數學知識產生的源頭，是課堂教學的起點。以問題鏈的形式開展數學教學無疑有助于數學知識的生成，促進學生對數學的深刻理解。下面筆者結合數學問題鏈的教學實踐，談談自己的一些研究和思考。

一、問題鏈的概念與內涵

數學核心素養是當前數學教育課程改革的核心要素與主題，而問題鏈教學正是開展深度學習的重要途徑，同時也為核心素養的落地提供了現實載體[1]。鑒于此，越來越多的研究者關注問題鏈教學，他們有的從理論層面探討問題鏈教學與思維的關聯[2]與教學價值[3]，也有從實踐層面探討問題鏈教學設計與實施過程[4]。近年來，以浙江師范大學唐恒鈞、張維忠教授領銜的研究團隊在系統研究“問題”與“問題解決”的基礎上，提出了“問題鏈”的基本概念。他們認為，數學問題鏈是指教師在課外預設，并在課堂上以多種方式呈現給學生的、有序的主干問題序列，它既為學生提供了數學學習的骨架，又為學生發展高水平的思維提供了可能性[5]。其內涵主要包括以下五個方面：第一，問題鏈是由主干問題組成的;第二，問題鏈中的問題是有序的;第三，問題鏈是在課外預設的，但并非線性的、僵化的;第四，問題鏈教學倡導用主干問題驅動學生思考，為學生提供冷靜思考的時間和充分表達的機會;第五，盡管問題鏈中的問題以教師課外預設為主，課堂上卻是在師生交互作用下得以呈現的。

二、數學教學中問題鏈創設的教學實踐

不管是數學概念的形成還是數學規律的建構，都離不開問題的引導。可以說，問題是數學課堂教學的重要組織形式。現以筆者執教的一節市級公開課“函數的零點與方程的解”為例，談談筆者的做法和思考。

“函數的零點與方程的解”是人教A版高中數學必修第一冊第四章第五節的內容。本節內容要求學生了解函數的零點與方程解的關系;結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函數零點存在定理。本節課的難點在于函數零點存在定理的導出，教學過程以“概念—定理—應用”的線索展開。因此，筆者將教學設計分解為函數零點的概念、函數零點存在定理的導出、函數零點存在定理的應用。

環節一：通過問題鏈引出函數零點的概念

問題1：下列方程有實數根嗎？

（1）x2-2x-3=0;（2）x3+x-2=0;（3）lnx+2x-6=0。

人類用智慧架設的無數座從已知通向未知的金橋中，方程的求解是其中最璀璨的一座。 數學情境的引入有兩種方式：一是從現實情境出發，引導學生從現實情境逐步抽象數學問題;二是從數學情境出發。本節課主要探討函數零點與方程的解的關系，因此從數學情境（解方程）入手，能引發學生更深層次的思考。

問題2：二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有何聯系？

（1）方程x2-2x-3=0的解為_________，函數y=x2-2x-3的圖象與x軸有_________個交點，坐標為_________。

（2）方程x2-2x+1=0的解為_________，函數y=x2-2x+1的圖象與x軸有_________個交點，坐標為_________。

（3）方程x2-2x+3=0的解為_________，函數y=x2-2x+3的圖象與x軸有_________個交點，坐標為_________。

問題3：根據問題2的研究，你有什么發現？

教師以學生熟悉的二次函數與一元二次方程引入，引導學生觀察、發現一元二次方程的根與二次函數與x軸交點的橫坐標相等這一事實，自然引出本節課的基本概念：函數的零點。

環節二：函數零點存在定理的導出

問題4：對于二次函數f（x）=x2-2x-3，觀察它的圖象，發現它在區間[2，4]上有零點，這時，函數圖象與x軸有什么關系？在區間[-2，0]上是否也有這種關系？

問題5：圖1的（1）（2）（3）分別為函數y=f（x）在三個不同范圍的圖象，能否僅依據其中一個圖象，得出函數y=f（x）在某個區間只有一個零點的判斷？為什么？

問題6：從二次函數圖象直觀地看，圖象只要穿過x軸函數就有零點（不穿過也不一定沒有零點），這是從圖形上來看的，但是圖形不一定準確，需要利用嚴格的數學推理得出相應的結論，那么如何從數學上更準確地描述穿過x軸？

問題4仍然從學生熟悉的二次函數入手研究連續函數在給定區間上存在零點的幾何特征：圖象穿過x軸。 但是當自變量取值范圍不同時，學生有可能會因為圖象呈現出的細節不同會導致錯誤的判斷。 問題5的設置意在引導學生由“形”一步步的轉向“數”的探索與研究，一個“大致”的函數圖象有時不足以說明零點問題。 因此，必須將圖形特征與代數特征相結合，以進一步說明研究函數零點存在代數特征（函數零點存在定理）的必要性。 問題6則是在此基礎上的進一步追問。

問題7：觀察下面的函數圖象（如圖2），并完成下列思考。

① 函數記為y=f（x），在[-2，-1]是否有零點？在[1，2]呢？為什么？

② 任取一個區間[a，b][-2，-1]，當f（a），f（b）的值滿足什么條件時，函數y=f（x）在（a，b）內一定有零點？

③ 若f（a）f（b）<0，則y=f（x）在區間（a，b）上一定有零點嗎？

問題8：由問題7的探究，你能給出函數在給定區間存在零點的代數特征嗎？

教師再一次由函數的圖象，逐步引導學生導出函數零點存在的代數表征。在該過程中，由“形”到“數”是學生認知的一大難點，要給足學生冷靜思考的時間與充分表達的機會。

問題9：辨析下列命題。

① 如果函數y=f（x）的圖象與x軸有公共點，則函數y=f（x）是否一定存在零點？

② 如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）<0，那么函數y=f（x）在（a，b）上是否有唯一零點？

③ 如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且是單調函數，f（a）f（b）<0，那么函數y=f（x）在（a，b）上是否有唯一零點？

④ 如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，函數y=f（x）在區間（a，b）有零點，那么f（a）f（b）<0是否成立？

⑤ 如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，函數y=f（x）在區間（a，b）有唯一零點，那么f（a）f（b）<0是否成立？

學生在經歷了問題7和問題8后得到的定理內容往往不夠完整，學生建構的定理可能為“函數y=f（x）在區間[a，b]上滿足f（a）f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上有一個零點”等，往往會忽略“連續不間斷”“存在零點”這兩個關鍵要素。因此，通過對定理的辨析，教師不斷地引導學生分析函數零點存在定理的本質屬性，排除非本質屬性對定理認知的干擾。

環節三：函數零點存在定理的應用

問題10：已知函數y=f（x）的圖象是一條連續不斷的曲線，且有如下對應值表（見表1）。

① 函數y=f（x）在哪幾個區間內一定有零點？為什么？

② 能判斷出有幾個零點嗎？為什么？

問題11：求方程lnx+2x-6=0的實數解的個數。

思考1 為什么由f（2）·f（3）<0還不能說明函數只有一個零點？

思考2 能通過計算，進一步縮小函數零點所在的范圍嗎？你能提出什么問題？

問題10與問題11是對函數零點存在定理的直接應用，意在鞏固深化學生對定理內容的認識，進一步強調定理使用的條件與關鍵。 問題10的函數以列表法形式給出，引導學生觀察數據特征進而做出判斷;問題11的函數則以解析式形式給出，從數與形兩個角度幫助學生理解解題方法;思考2則為下一節課利用二分法求方程的近似解埋下伏筆。

三、數學教學中問題鏈創設的有效性思考

基于“函數的零點與方程的解”的教學，筆者對問題鏈創設的教學實踐做以下思考。

（一）問題鏈的創設需體現整體性

數學課堂教學一般會以某條固定的結構線索展開，如本課例是按照“概念—定理—應用”的線索開展的。因此，在開展問題鏈設計時，教師必須整體把握教學內容的結構線索，從整體視角對教學內容進行解構與設計。具體來說，要熟知本節內容的教學目標、教學重點與難點，本節內容在整節或整章中的地位和作用，本節內容在整個數學分支學科中的價值，以及通過本節課學生能獲得什么樣的基本知識、基本技能、基本數學思想方法、基本數學活動經驗等。只有通過對教學內容的整體理解和把握，才能在問題鏈的設計中得以體現。因此，問題鏈的設計首先應指向本節課的教學主題與教學內容，在對本節課結構線索解構的基礎上進行分解與劃分。同時還應兼顧本節課在本章或本學科分支中的地位與價值，以及通過本節課如何培養和發展學生的數學核心素養，以實現教學整體性的同時真正實現數學教學的育人價值。

（二）問題鏈的創設需體現思維性

蘇聯學者加里寧曾說，數學是思維的體操。數學學習要以學生一定的思維發展水平為前提，反過來，學習數學又能在很大程度上促進學生思維的發展。因此，在問題鏈設計時，教師必須考慮學生的認知水平與思維水平，以體現思維性。具體來說，問題鏈的創設不能因低估學生認知能力與思維發展的水平而降低教學要求，如此不僅不能產生合適的課堂認知沖突而使課堂枯燥無味，也不利于學生數學思維能力的發展。與此同時，問題鏈的創設也不能難度跨度過大，這樣不僅不能激發學生的求知欲望，還會加重學生的學業負擔，從而導致學生厭惡數學的可能性。由此看來，問題鏈的創設要有思維的遞進，利用問題鏈給學生搭建合適的思維臺階，在學生的“思維發展區”的范圍內設置合理、適當的問題鏈。在向學生展示問題鏈時，教師要根據學生的認知水平和思維能力做出精心的設計，既要呈現數學對象的本質屬性，還應排除數學對象非本質屬性對學生認知的干擾。

（三）問題鏈的創設需體現主體性

問題鏈光靠教師的設計還不足以保證問題鏈創設的有效性，學生親歷問題鏈的生成過程才是關鍵，因此問題鏈的創設需正確處理預設與生成的關系，需體現學生的主體性。學生的主體性主要表現在以下兩個方面。

第一，問題鏈的生成必須有學生積極的思維參與。當前的數學課堂教學，有些數學活動實際上只是學生機械地執行活動，很多時候學生只是被動地接受教師的指令，沒有學生主體性的體現。課堂教學看似有生成，但只是教師的生成，并非是學生的

生成。問題鏈的創設要多給學生留足冷靜思考的時機和空間，引導學生多用規范的數學語言表達。

第二，問題鏈的生成必須根據學生課堂的實際情況進行調整。問題鏈的預設只是教師根據自身教育教學的實踐經驗開展的設計。但同樣的教學內容，不同的教學對象、教學環境抑或是引導語都會有不同的生成。因此，教師必須隨時根據學生在課堂中的實際應答做出相應的調整。教師要在課堂中不斷地磨煉自己并形成教學智慧，從而更好地應對課堂中出現的預設與生成的偏差。

（四）問題鏈的創設需體現發展性

教育部于2013年啟動了普通高中課程修訂工作，于2018年初正式發布了各科的普通高中課程標準的修訂版，這一次的修訂進一步凝練了學科核心素養、更新了學科的教學內容、研制了學科的學業質量標準、進一步增強了標準的指導性。課程標準明確提出數學教學的總目標之一是逐步學會用數學的眼光觀察世界，發展數學抽象、直觀想象素養;用數學的思維分析世界，發展邏輯推理、數學運算素養;用數學的語言表達世界，發展數學建模、數據分析素養，增強創新意識和數學應用能力[6]。可見數學核心素養的培養應成為數學教師進行教學設計的根本出發點，數學教學必須直接指向學生數學核心素養的提升。因此，問題鏈的創設必須體現發展性，即要兼顧學生數學核心素養的發展和關鍵能力的提升。教師應充分開展對課程標準的研究，深入把握培養學生的哪些數學核心素養和培養到什么程度等問題，深刻理解課程標準中數學核心素養的內涵與數學素養水平的劃分標準，把握對學生的總體期望，將課程標準中的核心素養的內涵和水平層次具化為問題鏈設計的每個數學活動，以更好地實現學科育人的總目標。

參考文獻：

[1]唐恒鈞，張維忠，陳碧芬.基于深度理解的問題鏈教學[J].教育發展研究，2020（4）：53-57.

[2]黃榮光.問題鏈方法與數學思維[J].數學教育學報，2003（2）：35-37.

[3]殷堰工.試論問題鏈在數學教學中的作用[J].中學數學月刊，2008（10）：1-4.

[4]唐恒鈞，黃輝.數學問題鏈教學設計與實施的三個關鍵[J].中學數學，2020（5）：78-80.

[5]唐恒鈞，張維忠.數學問題鏈教學的理論與實踐[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

[6]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

（責任編輯：陸順演）