基于Tikhonov正則的圖像盲復原算法

楊天驥，姜亞琴，郭小亞

(南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210023)

0 引 言

圖像復原技術在遙感觀測、生物科學、醫學影像、交通監控等領域都有著廣泛的應用[1]。根據模糊核(blur kernel)是否已知，圖像復原的方法可分為兩類:一類為圖像非盲復原方法，另一類為圖像盲復原方法。眾所周知，圖像盲復原問題的困難在于如何誤差較小地估算模糊核，而正則化是解決此類問題的一種有效方法。首先，You等[2]提出基于H1半范數的各向同性擴散的正則化盲復原方法。進一步，為了保護圖像的邊緣信息，Chan等[3]用TV半范數替換H1半范數，提出基于各向異性的盲復原模型(記為Chan模型)。為了恢復圖像的更多細節信息，Huang等[4]提出基于Lipschitz空間正則的盲復原模型，但該模型的圖像復原結果對參數的選取較為敏感。James等[5]在Chan模型的基礎上，提出用沖擊(shock)濾波器對模糊圖像進行預處理的半盲復原方法，該方法多用于復原背景簡單的圖像，對背景復雜的圖像復原效果欠佳。針對Chan模型難以復原模糊嚴重的圖像，Krishnan等[6]提出基于L1/L2正則的圖像盲去糊模型(記為K-D模型)，并采用由粗到精的多層圖像金字塔策略處理模糊核。K-D模型在對圖像去模糊過程中會出現振鈴現象(ringing phenomenon)，且難以恢復圖像中的紋理等細節。另外，為提升Chan模型的求解速度，Li等[7]結合分裂Bregman算法設計Chan模型的快速算法，并在數值求解過程中，考慮對模糊核采取閾值約束和歸一化約束的限制。隨后，李真偉等[8]除考慮模糊核的約束條件外，還給定約束圖像的正定性條件，采用交替方向乘子法數值求解Chan模型(記為Lz方法)。

針對上述模型對參數敏感的問題，在Chan模型中引入模糊核的Tikhonov正則，提出新的盲去糊模型，并證明新的盲復原模型解的存在性。另外，采用由粗到精的多層圖像金字塔策略，構造模糊核的初始值，再結合交替極小化(AM)方法，設計基于初始模糊核的快速算法求解所提模型。數值實驗結果表明：所提算法在不需要模糊核動態閾值約束的前提下，不僅能得到高質量的圖像復原結果，而且對參數有較好的魯棒性。

1 模型介紹

設f為觀察到的含模糊和噪聲的圖像，經典的Chan模型可表示為如下變分問題：

(1)

其中，k表示未知的模糊核，u表示復原的圖像，*表示卷積運算，α，β為正的權重參數。

文獻[3]中，Chan等采用交替迭代極小化算法數值求解模型(1)(記為Chan方法)。在迭代求解過程中，對u和k采用如下的約束限制：

以此避免由于Chan模型本身非凸所導致的對參數選取敏感的問題。

圖1給出了Chan方法、Li方法以及文中提出方法的去模糊結果。其中(a)為含散焦模糊的真實圖像，(e)為(a)中所含的真實模糊核，(b)和(f)分別為Chan方法所得的去糊后的圖像和Chan方法估算的模糊核。不難發現，Chan模型估算出的模糊核(二范數值為0.065 5)與真實的模糊核(二范數值為0.071 0)差異較大。而且，Chan模型所得的復原圖像(b)中仍然含有較大的模糊，對應的峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)為25.086 3。

為了解決Chan模型復原結果對參數選取敏感的問題，Li等對模糊核添加動態閾值約束，設計基于分裂Bregman迭代的算法來數值求解Chan模型(記為Li方法)。具體動態閾值約束如下：

其中，δ為一個較小的正值，通常取δ=0.05。max(k)表示在迭代過程中每步估算的模糊核最大灰度值。圖1(c)給出了Li方法的去模糊結果，由于Li方法中直接采用模糊圖像f作為復原圖像u的初始值來計算模糊核，導致估算出的模糊核與真實的模糊核差異較大(見圖1)。同時，Li方法所得到去糊后的圖像(圖1(c))的質量也欠佳。

圖1 茶杯復原圖

(a)為真實模糊圖像；(b)為Chan方法的復原圖像；(c)為Li方法的復原圖像；(d)為文中方法的復原圖像；(e)～(h)分別為真實、Chan方法、Li方法、文中方法的模糊核。

2 文中模型與理論分析

為了克服Chan模型非凸導致的對參數選取較敏感的問題，該文在Chan模型的基礎上，引入模糊核的Tikhonov正則，提出如下的變分盲去糊模型：

(2)

這里將u進行歸一化處理，轉換到[0,1]。(u,k)?W,W={(u,k)|(u,k)∈BV(Ω)×BV(Ω),0≤u≤1}。前三項與Chan模型相同，第四項為模糊核的Tikhonov正則項, 保證模糊核自身有“細”的稀疏特性，同時也避免模糊核過于稀疏而成為孤立的點,防止求解過程中的過度擬合。

引入Tikhonov正則項后，本模型不再需要模糊核的動態閾值約束。從圖1(d)不難看出，茶杯表面的光源恢復較好，保留了更多的細節信息。同時，由文中模型所決定的模糊核(h)與真實模糊核(e)更為接近，對應模糊核二范數的數值為0.072 4，與真實模糊核的數值也最為接近。

接下來，給出模型(2)解的存在性證明。

定理1：設f∈L2(Ω),α,β,γ>0,則變分問題(2)在W中存在解。

證明：給出模型(2)的能量泛函形式：

設T={(u,k)|E(u,k)≥0,(u,k)?W}。

(3)

(4)

由n∈N,0≤un≤1，通過式(3)可知{un}在BV(Ω)中一致有界。

由于BV空間的下半連續性，有：

接下來，證明下式：

由推論1可知：

3 文中算法

考慮到模糊核尺寸的選取會影響復原結果，預估模糊核的最大尺寸來獲得模糊核的初值條件，結合交替迭代極小化算法給出模型(2)的快速求解算法，從而更好地估算模糊核結果，使圖像復原效果更好。首先考慮如下模型：

引入兩個輔助變量d1,d2，將式(2)轉化為求解：

(5)

s.td1=▽u,d2=▽k

將式(5)轉化為求解無約束極值問題，得到如下的增廣Lagrange函數：

其等價于：

這里的λ=(λ1,λ2)是Lagrange乘子向量，ρ1，ρ2>0是懲罰參數。下面分別對四個子問題進行求解。

(1)求解u的子問題。

等價于求解：

由Euler-Lagrange方程得出：

再利用快速Fourier變換求出：

(6)

其中，F和F-1分別表示快速Fourier變換及其逆變換，K是由k構造的方塊循環矩陣，K*表示K的共軛轉置。

(2)求解k的子問題。

等價于求解：

由Euler-Lagrange方程得出：

再利用快速Fourier變換求出：

(7)

其中U是由u構造的方塊循環矩陣，U*表示U的共軛轉置。

(3)求解d1的子問題。

等價于求解：

由shrink算子可知：

(8)

(4)求解d2的子問題。

等價于求解：

由shrink算子可知：

(9)

結合式(6)～式(9)，給出文中算法步驟：

步驟2：當迭代未停止，反復執行如下步驟：

(VII)i=i+1

步驟3：迭代終止條件：

4 實驗結果及分析

4.1 模糊核的初值選取

首先建立多層圖像金字塔，然后在圖像金字塔的每個分辨率層都循環地執行模糊核的估計與圖像的復原。這里自定義模糊核的最大尺寸，設置為a*a的方陣。

(10)

其中，[x]表示對x的取整，b為常數，c表示圖像金字塔的層數，d表示對應層數c的采樣系數，e表示每一層模糊核(方陣)的行或列，且設定的每層模糊核尺寸均為奇數，若e是偶數，則e=e+1。

由于b是該文給定的常數，若第一層模糊核的尺寸為g*g，由公式(10)可知，g>b。復原效果達到最佳時，模糊核的最大尺寸不一定等于真實尺寸，但是若與真實尺寸偏離太多，模糊核的估計肯定不精準。因此，如果是仿真實驗，假設真實模糊核尺寸為h*h，必須滿足第一層模糊核的尺寸小于真實模糊核尺寸，即g

4.2 灰度級標準測試圖像實驗

本節將對多幅測試圖像進行仿真實驗，驗證文中模型的復原效果，并同現有其他方法進行比較。這里，用PSNR、結構相似性(structural similarity，SSIM)和相對誤差率(relative error，ReErr)評價復原的效果。其定義形式分別為：

(11)

(12)

(13)

從式(11)～式(13)可知，PSNR、SSIM越大，復原效果越好，相反，ReErr越小，復原效果越好，表明復原后的圖像與原圖越相似。為了驗證文中復原方法的有效性，采用四幅分辨率均為256*256像素的灰度級標準測試圖像測試模型(2)。實驗參數選取：α∈(0.000 01,0.001),β∈(0,50),b=3,γ∈(0,1 000),ρ1=1.5,ρ2=6 000,并將圖像的強度縮放到0和1之間。算法中，tol是用來控制迭代終止的量，文中取tol=10-3。

圖2 四幅灰度級標準測試圖

第一組實驗：對Lena、Rice、Coin測試高斯模糊(大小為10*10像素，方差為5)，并對三幅圖像加入方差為0.01的高斯白噪聲。

從圖3可以看出，加入高斯模糊后，Chan方法在四種方法中，對三幅灰度圖像的復原效果均較弱；K-D方法雖然能夠將灰度圖像的色差更好地復原出來，但會使復原圖像出現振鈴現象，且對于圖像邊緣復原效果不是很好；Lz方法由于假設一個較大的模糊核支撐域，雖然能夠較好地保持復原圖像的邊緣信息，但細節信息不能很好地體現，導致視覺效果欠佳；與之相反，文中方法通過給定模糊核的尺寸，將模糊核稀疏化，保持復原圖像邊緣信息的同時對圖像細節也進行了復原。從表1的數值結果也可以看出，文中方法的復原效果要優于其他三種方法。

圖3 高斯模糊下的灰度圖復原結果

表1 高斯模糊下三幅灰度圖的復原結果比較

第二組實驗：對Satellite加入方差為0.01的高斯白噪聲，并依次測試高斯模糊、散焦模糊、均勻模糊。其中，高斯模糊(大小為10*10像素，方差為5)、散焦模糊(半徑為3.5像素)、均勻模糊(大小為7*7像素)。實驗結果如圖4，其中，第一、二、三行分別為高斯模糊、散焦模糊、均勻模糊。

從圖4可以看出，針對高斯、散焦、均勻三種模糊，文中方法的復原效果依舊有優勢。尤其是加入散焦模糊下的衛星復原圖像，文中方法很好地刻畫了衛星上的細節。從表2可以看出，文中方法對高斯、散焦、均勻模糊，都有最高PSNR值和最低的ReErr值，且有2個最高SSIM值。雖然對于均勻模糊，文中方法的SSIM值不是最高，但與最高值相差不多。數值結果說明文中方法在保持圖像結構和復原效果等方面與其他三種方法相比都更佳。

表2 衛星圖在三種模糊類型下的復原結果比較

5 結束語

引入吉洪諾夫正則項的模型不僅改善了Chan模型參數敏感的問題，而且加強了對模糊核的約束，取代了閾值約束。

實驗結果表明：該方法迭代運算簡便，對模糊核的估計更為精確，復原效果較好，在一定程度上減輕了復原圖像的振鈴效應影響。

圖4 三種模糊下衛星圖復原結果