帶有遲滯非線性的氣動運動模擬平臺自抗擾軌跡跟蹤控制

李 麗， 劉 超， 趙 苓

(1.燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 河北 秦皇島 066004； 2.天津大學(xué) 精密測量技術(shù)與儀器國家重點實驗室， 天津 300072)

引言

近些年，氣動運動模擬平臺在娛樂設(shè)施、飛行員培訓(xùn)、汽車駕駛模擬等方面的應(yīng)用越來越廣泛。氣動運動模擬平臺的重要部件是氣動人工肌肉，氣動人工肌肉因為它自身的輕便、清潔、維修成本低、高輸出自重比等優(yōu)點，使得其在機械臂[1]、軟體機器人[2-3]、康復(fù)機器人[4]、仿生機器人[5]等方面廣泛應(yīng)用。但是，氣動人工肌肉由于其模型非線性和遲滯非線性的存在，使得在控制的過程中存在很大困難。模型非線性主要由氣動人工肌肉末端的形狀不規(guī)則，氣動人工肌肉當中的摩擦力等等帶來的[6]。遲滯非線性指的是在同樣的內(nèi)部壓強下，氣動人工肌肉的長度和其產(chǎn)生的拉力的關(guān)系在肌肉伸長和收縮時是不同的。也就是說，氣動人工肌肉在伸長和收縮時，系統(tǒng)模型存在差異。

針對氣動人工肌肉的模型非線性問題，主要控制方法包括：自適應(yīng)控制[7]、滑模控制[8]、模糊控制[9]、自抗擾控制[10]等等。其中自抗擾控制中的擴張狀態(tài)觀測器可以將系統(tǒng)當中的不確定性相關(guān)項估計出來進行補償。值得一提的是其在補償?shù)倪^程中不需要準確的模型參數(shù)信息。在文獻[11]中，跟蹤微分器、擴張狀態(tài)觀測器、非線性狀態(tài)誤差反饋組成的自抗擾控制器解決了定負載下氣動人工肌肉驅(qū)動關(guān)節(jié)跟蹤控制問題。在文獻[12]中，設(shè)計了跟蹤微分器、自適應(yīng)擴張狀態(tài)觀測器、反步控制器組成的控制系統(tǒng)解決了氣動人工肌肉設(shè)備角度跟蹤控制問題。自抗擾控制方法由于其結(jié)構(gòu)簡單，魯棒性強，不依賴準確的模型的特點在氣動人工肌肉控制中應(yīng)用廣泛。針對遲滯非線性，在文獻[13]中，設(shè)計了一種PID控制器應(yīng)用于遲滯系統(tǒng)。在文獻[14]中，針對執(zhí)行器遲滯非線性提出了一種自適應(yīng)控制方法。在文獻[15]中，對于壓電定位平臺的遲滯非線性提出了自適應(yīng)逆控制方法。但是，上述針對遲滯非線性特性的解決方法參數(shù)復(fù)雜，難于調(diào)節(jié)。綜上所述，在自抗擾控制方法中，針對氣動運動模擬器解決遲滯非線性問題是十分有價值的研究方向。

對于氣動運動模擬平臺，首先提出了一種針對該平臺遲滯非線性的切換擴張狀態(tài)觀測器并且證明了其穩(wěn)定條件，該觀測器可以根據(jù)氣動人工肌肉伸長和收縮不同的模型采用不同增益，提高了估計補償效果，從而減少軌跡跟蹤誤差；然后設(shè)計了狀態(tài)誤差反饋控制器形成閉環(huán)控制，得到了閉環(huán)控制系統(tǒng)全局有界穩(wěn)定的充分條件；最后通過實驗平臺證實了所設(shè)計的控制算法實際當中可以有效地減小跟蹤誤差。

1 氣動運動模擬平臺介紹和系統(tǒng)的建模

1.1 氣動運動模擬平臺

氣動運動模擬平臺的組成如圖1所示。該平臺主要由空壓機，工控機，控制柜和運動模擬平臺組成。工控機用于接收氣動運動模擬平臺的兩個角度編碼器的角度信號，發(fā)送控制電壓到控制柜。控制柜根據(jù)控制電壓開關(guān)四個壓力比例閥。空壓機產(chǎn)生壓縮氣體輸送給運動模擬平臺。氣動運動模擬平臺用于實現(xiàn)二自由度軌跡跟蹤。

圖1 氣動運動模擬平臺組成圖

氣動運動模擬平臺的運行過程如圖2所示。步驟1為未運行狀態(tài)，此時的控制電壓均為0，4根氣動人工肌肉均未發(fā)生形變。步驟2為準備狀態(tài)，此時X軸和Y軸方向上的控制電壓為預(yù)加載電壓up，平臺上部分由底部氣缸頂起，4根氣動人工肌肉因為進入壓縮氣體而收縮，在步驟2中，氣動運動模擬平臺的上部分由四根氣動人工肌肉拉平。步驟3為運動模擬狀態(tài)，工控機根據(jù)期望軌跡得到X軸和Y軸方向的控制電壓，4根氣動人工肌肉根據(jù)控制電壓的不同，其內(nèi)部的氣壓發(fā)生變化，使得平臺根據(jù)期望軌跡進行運動模擬。

圖2 氣動運動模擬平臺運動過程

步驟4為結(jié)束狀態(tài)，平臺的上部分回到步驟1的位置，整個運動模擬過程結(jié)束。

氣動運動模擬平臺的電氣原理圖如圖3所示。其中，θx(t)為氣動運動模擬平臺X軸方向上的偏轉(zhuǎn)角度，θy(t)為平臺Y軸方向的偏轉(zhuǎn)角度，u1(t)，u2(t)，u3(t)和u4(t)分別為氣動人工肌肉1,2,3和4的控制電壓，ku為電壓比例系數(shù)。

圖3 氣動運動模擬平臺電氣原理圖

根據(jù)實驗測得氣動人工肌肉拉力和氣動人工肌肉收縮長度關(guān)系可以視為一個非線性遲滯環(huán)。這種遲滯主要來源于氣動人工肌肉的彈性形變和摩擦力等[16]。針對氣動人工肌肉遲滯非線性提出的控制方法的控制結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

圖4 氣動運動模擬平臺控制結(jié)構(gòu)圖

1.2 系統(tǒng)模型

將氣動人工肌肉中的拉力分為遲滯相關(guān)的拉力和遲滯無關(guān)的力，根據(jù)[17]， 氣動人工肌肉的拉力組成如下所示：

(1)

式中，F(xiàn)1(t)，F(xiàn)2(t)，F(xiàn)3(t)和F4(t)分別為氣動人工肌肉1，2，3和4的拉力總和。Fs1(t)，F(xiàn)s2(t)，F(xiàn)y1(t)和Fy2(t)分別為氣動人工肌肉1，2，3和4的遲滯無關(guān)拉力。Fh1(t)，F(xiàn)h2(t)，F(xiàn)h3(t)和Fh4(t)分別為氣動人工肌肉1，2，3和4的遲滯相關(guān)拉力。根據(jù)(1)得到氣動運動模擬平臺的動態(tài)方程如下：

(2)

式中，Jx和Jy分別為X軸和Y軸方向的慣性相關(guān)項，Jx和by分別為X軸和Y軸方向的阻尼因子，r為氣動運動模擬平臺上平面半徑，ωx(t)和ωy(t)分別為X軸和Y軸方向的外界擾動。

令x1(t)=θx(t)，x3(t)=θy(t)。根據(jù)式子(2)得到二階非線性動態(tài)系統(tǒng)如(3)所示。式中，a1，a2，a3，a4，b1和b2為系統(tǒng)參數(shù)，y1(t)和y2(t)為系統(tǒng)輸出，ω1(t)和ω2(t)為模型非線性項，ξ1(t)和ξ2(t)為遲滯非線性項。

(3)

(4)

2 主要結(jié)果

2.1 跟蹤微分器

采用跟蹤微分器1得到X軸方向上期望軌跡yd1(t)的估計值v1(t)和導(dǎo)數(shù)估計值v2(t)，采用跟蹤微分器2得到Y(jié)軸方向上期望軌跡yd2(t)的估計值v3(t)和導(dǎo)數(shù)估計值v4(t)。設(shè)計跟蹤微分器1和2如下：

(5)

(6)

式中，r1，r2，h1和h2為可調(diào)參數(shù)。fhan(v1(t)-yd1(t),v2(t),r1,h1)如下所示：

(7)

2.2 切換擴張狀態(tài)觀測器

針對氣動運動模擬平臺的遲滯非線性和模型非線性，設(shè)計了切換擴張狀態(tài)觀測器，在氣動人工肌肉伸長和縮短時改變擴張狀態(tài)觀測器增益來提高觀測器估計和補償?shù)男Чａ槍鈩尤斯ぜ∪?，設(shè)計切換擴張狀態(tài)觀測器1如下：

(8)

針對氣動人工肌肉2，設(shè)計切換擴張狀態(tài)觀測器2如下：

(9)

針對氣動人工肌肉3，設(shè)計切換擴張狀態(tài)觀測器3如下：

(10)

其中，z31(t)為y2(t)的估計值，z32(t)為y2(t)的導(dǎo)數(shù)估計值，z33(t)為氣動人工肌肉3的模型非線性項和遲滯非線性項的估計值，β5，β6，β7和β8為增益。

針對氣動人工肌肉4，設(shè)計切換擴張狀態(tài)觀測器4如下：

(11)

其中，z41(t)為y2(t)的估計值，z42(t)為y2(t)的導(dǎo)數(shù)估計值，z43(t)為氣動人工肌肉4的模型非線性項和遲滯非線性項的估計值。

根據(jù)式(4)和式(8)，當σ1(t)=1，σ2(t)=0時，得到切換擴張狀態(tài)觀測器1的誤差系統(tǒng)如下所示：

(12)

其中，

(13)

進一步將式(12)整理為：

(14)

可以通過調(diào)整β1，β2和β3使得A為赫爾維茲矩陣，則式(14)的解為：

(15)

在提出主要結(jié)論前，給出如下引理：

引理1[5]：對于參數(shù)φ<0，如下等式成立：

(16)

(17)

證明：

整理得：

(18)

進而得到：

(19)

根據(jù)引理2，

(20)

根據(jù)引理1，

(21)

整理得：

(22)

證明完畢。

2.3 狀態(tài)誤差反饋控制器

針對氣動運動模擬平臺二自由度軌跡跟蹤所設(shè)計的狀態(tài)誤差反饋控制器如下所示：

氣動人工肌肉1, 2, 3和4的控制電壓分別為：

(23)

(24)

(25)

(26)

其中，u01(t)=k1e1(t)+k2e2(t)，k1和k2為可調(diào)增益，u02(t)=k3e3(t)+k4e4(t)，k3和k4為可調(diào)增益。e1(t)，e2(t)，e3(t)和e4(t)的表示如下：

(27)

令跟蹤微分器輸出v1(t)和v3(t)與氣動運動模擬平臺實際輸出x1(t)和x3(t)之間的誤差為s1(t)和s3(t)，s1(t)的導(dǎo)數(shù)為s2(t)，s3(t)的導(dǎo)數(shù)為s4(t)，即：

(28)

根據(jù)式(4)和式(28)可得：

(29)

結(jié)合式(27)和式(28)可以得到：

(30)

其中，e31(t)=z31(t)-x3(t)，e32(t)=z32(t)-x4(t)。根據(jù)式(4)和式(29)可得：

-e12(t))+e13(t)

(31)

定理2：對于二階非線性動態(tài)系統(tǒng)(4)，控制器(8),(9),(10)和(11)存在增益k1，k2，k3，k4和b0，當時間趨于無窮時，使得誤差s1(t)，s2(t)，s3(t)和s4(t)有界。

證明：

設(shè)計李雅普諾夫函數(shù)如下：

(32)

=(s1(t)-e11(t))(s2(t)-e12(t))+(s2(t)-

e12(t))(v21(t)+β2e11(t)-k1(s1(t)-

e11(t))-k2(s2(t)-e12(t)))

=-k2(s2(t)-e12(t))2+(s2(t)-e12(t))

((1-k1)s1(t)-(1-k1)e11(t)+v21(t)

+β2e11(t)+2e13(t))

(33)

(34)

證明完畢。

3 氣動運動模擬平臺實驗

為了證明所提出理論的有效性，對圖1所示的氣動運動模擬平臺進行對比實驗。設(shè)X軸方向的期望軌跡為幅值為10°，頻率為0.5 Hz的正弦信號，Y軸方向為幅值為10°，頻率為0.5 Hz的余弦信號。跟蹤微分器參數(shù)r1=r2=30，h1=h2=0.2。切換擴張狀態(tài)觀測器增益β1=β5=100，β2=β6=1000，β3=β7=9.9，β4=β8=10.1。狀態(tài)反饋控制器增益b0=1500，k1=k3=5，k2=k4=8。

為了進一步證明所提控制系統(tǒng)在減小跟蹤誤差上的有效性，采用線性擴張狀態(tài)觀測器與切換擴張狀態(tài)觀測器進行對比實驗。對比實驗的軌跡跟蹤效果如圖5和圖6所示，y1(t)和y2(t)為帶有切換擴張狀態(tài)觀測器控制系統(tǒng)輸出。y3(t)和y4(t)為帶有線性擴張狀態(tài)觀測器控制系統(tǒng)輸出。從跟蹤效果可以看出，切換擴張狀態(tài)觀測器的跟蹤誤差比線性擴張狀態(tài)觀測器的跟蹤誤差小。經(jīng)過計算得出，采用切換擴張狀態(tài)觀測器在X軸方向和Y軸方向上的跟蹤誤差10 s內(nèi)的平均值分別為0.368°和0.799°。采用線性擴張狀態(tài)觀測器的控制系統(tǒng)在X軸和Y軸方向上的跟蹤誤差10 s內(nèi)的平均值分別為0.500°和0.932°。綜合而言，切換擴張狀態(tài)觀測器比線性擴張狀態(tài)觀測器減少14.3%～26.4%的跟蹤誤差。

圖5 對比實驗X軸的軌跡跟蹤效果

圖6 對比實驗Y軸的軌跡跟蹤效果

4 結(jié)論

針對存在遲滯非線性的氣動運動模擬平臺，首先進行了氣動運動模擬平臺模型的建立，進而設(shè)計了切換擴張狀態(tài)觀測器，并且設(shè)計了狀態(tài)誤差反饋控制器，得到了控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。通過實驗對切換擴張狀態(tài)觀測器的實際效果得到了驗證，對比實驗結(jié)果表明相對線性擴張狀態(tài)觀測器，所設(shè)計的切換擴張狀態(tài)觀測器的控制系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差減少了14.3%～26.4%。