從問題生長，培養數學分類思想

李文明

分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。分類以比較為基礎， 比較是分類的前提， 分類是比較的結果。因此， 在培養分類思想上，應當突出“比較”二字。那么，如何“比較”呢？筆者認為，在教學中應當突出分類討論中分類標準的“差異性”，比如：為什么選擇這個時間段為變化后與變化前的界限？動態變化中，為什么找這個點為轉折點？通過練習將分類標準的尋找變成學習的自動化過程，多訓練幾次，學生便可以在做中領悟到分類的道理。此外，培養分類思想的關鍵還在于教會學生如何思考問題。

現在的初中數學教學遵從生長數學的理念，就是讓學生主動地在已有的知識體系上建立新知識的結構體系。俗話說，萬事開頭難。難就難在七年級的第一次分類討論如何進行。在初中階段，學生第一次用到分類討論是在“絕對值與相反數”這一節，因此，教師要在這一節進行教學設計與思考，探討分類討論的具體形式以及思路方法，從而初步培養學生的分類討論思維體系的建構。

下面，筆者以蘇科版七（上）“絕對值與相反數”復習課為例，探討如何從問題生長，培養學生的分類思想。

一、教學設計

1.問題呈現

例題：在解決數學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數學思想。下面是運用分類討論的數學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答問題。

【提出問題】已知三個有理數a、b、c， 滿足abc

>0，求[aa]+[bb]+[cc]的值。

【解決問題】由題意，得a、b、c都為正數或其中一個為正數，另兩個為負數。

①a、b、c都是正數，即a>0， b>0，c>0時，[aa]+[bb]+[cc]=[aa]+[bb]+[cc]=1+1+1=3；②當a、b、c中有一個為正數，另兩個為負數時，不妨設a>0，b<0，c<0，則[aa]+[-bb]+[-cc]=1-1-1=-1。

綜上所述，[aa]+[bb]+[cc]值為3或-1。

【探究拓展】請根據上面的解題思路解答下面的問題：

（1）已知a、b是不為0的有理數，當[ab]=-ab時，[aa]+[bb]的值是；

（2）已知a、b、c是有理數，當abc<0時，[aa]+[bb]+[cc]的值為；

（3）已知a、b、c是有理數，a+b+c=0，abc<0，求[b+ca]+[c+ab]+[a+bc]的值。

2. 問題引導

如果一開始就讓學生解決問題，學生會感到很困難，同時也說明這是一節“失敗”的復習課。所以，在展示出例題以后，筆者先讓學生將問題“放一放”，先考慮下面的問題：

（1）[2=]；（2）[-2=]；（3）[22]=；（4）[-2-2]=。

從建構主義的角度來說，學生學習的過程就是在腦海中建立一套體系的過程。從分類思想的培養來說，前兩個問題是引導學生了解對于絕對值里面的數，不用考慮符號；后兩道題則是引導學生對比、比較，讓他們發現雖然兩個數的絕對值一樣，但做除法之后好像又不一樣。這也是由特殊到一般的數學方法的滲透。

這時學生就會聯想到一開始的問題并進行思考，但過一會兒又會意識到“好像懂但又解不出來”。這是因為他們沒有理解“abc[>]0”這個條件。而這一個條件之所以“無用武之地”，是因為分類討論思想還沒有滲透到他們的心中，只是有提示了，他們才會想起來討論。

所以，筆者給出另一組口答形式的問題來提示他們：

（1）2×3 ０；（2）2×（-3） ０；（3）（-2）×3 ０；（4）（-2）×（-3） ０；

這四個問題可以提示學生，“ab”大于零還是小于零，和a、b的正負情況有關。這時再次引導學生回過頭來看例題的第一問該如何思考 。

到這里，學生就會知道，[ab]=-ab的意思就是 ab為非正數，進而得到 a、b的符號是一正一負，即a、b異號。引導至此，學生自然而然建構起初步的分類討論的思想：要考慮正負情況。

此時，學生的知識樹已經“生長”出了幾根“枝葉”，第一問就可以讓學生自主解決。為了加強學生對問題的分析解決能力，教師還應該滲透數學思想方法：“第二問與第一問的區別與聯系是什么呢？”（這也是“比較”的一種具體表現形式。）

學生回答：“多了一個c?！边@時教師要進一步引導：“第一問的思路可以推廣到第二問嗎？試試看！”這句話是為了滲透“由特殊到一般”的思想方法，也為了讓學生體會解答題的一般解題思路：后面的問題一般都和第一問有關，甚至可以使用類似的思路來解答。在實際解題中體會數學思想方法是最直接、最有效的。

對于第二問，往往是數學能力中等偏上的學生能依靠第一問的提示完成解答。此時，其他學生需要的不是具體的解答過程，而是需要教師引導：“三個數相乘，什么情況為正？什么情況為負？”大多數學生便知道數的乘積的正負與乘數的正負情況有關。要想進一步深化分類討論思想，教師還要在后續的教學中繼續引導。

對于第三問，學生很難想到先移項，再依靠等號將b+c轉化成-a，a+c轉化成-b，a+b轉化成-c。一方面，第三問多了一個條件，學生無所適從；另一方面，對等式進行移項轉化，或等式兩邊同時加、減同一個數的方法，與前兩問的解決方法完全不一樣，并且在小學也沒有用過。這里，就需要教師進一步引導：

（1）1+2+（-3）=；（2）1+（-4）+3=；（3）（-3）+1+2=。

這三問是引導學生思考、利用“a+b+c=0”這個條件的，但依然會有學生無法理解如何利用。故還需要教師適時引導：“同學們看看和為0的三個數有什么特征？”學生是可以看出來絕對值的關系對和的影響的，如果這時學生還沒想到相反數，那么教師可以提示學生：“前兩問我們對什么進行了討論？”

至此，便是學生自主思考的時間，即“在做中學”。

在本節課快結束時，教師還要帶領學生再次回顧本節課的重點，要讓學生學會如何從題目中找到思考的方向。其中，分類討論思想依然需要教師強調并設計針對性練習進行鞏固。

二、教學反思

在數學教學中，提倡“生長數學”的建構主義方法研究。以一道題為例，要想串聯起一整套的分類思想方法，重點在于對例題的解構，將例題分成一個個小部分，由易到難，逐步推進，讓學生在一個個部分中體會數學思想?！霸谧鲋袑W”是培養學生分類思想的有效途徑。教師要設計一個個“階梯式”的小題，提示學生思考；建立獎勵機制，鼓勵學生往正確的方向思考；注重“以小見大”的題目布置，設計問題緊湊嚴密，逐步推進，像講故事一樣，將數學思想娓娓道來。

本節課的設計，主要圍繞絕對值的討論進行。為什么絕對值的內容會出現分類討論的問題？是因為“絕對值”這一映射是單射，這種非一一映射的對應在初中階段不多出現。弄明白分類討論產生的原因，對問題的講解會更加接近本質，這里不再詳細敘述。除了絕對值，平方根的內容也會出現單射，同樣也需要分類討論。那么，要想讓學生了解、熟悉、理解這樣一種單射，需要這類分類討論的問題長期重復出現，還需要教師強調以及注重講解中的思想滲透。

在初中階段，學生第二次遇到分類討論是在用一元一次方程解決行程問題時。行程問題是應用題里難啃的“硬骨頭”。兩物體相遇以后改變運動方向的問題，以及環形跑道的相遇問題，歸根到底，都是對不同時刻的運動狀態進行分類討論的問題。對運動狀態改變的時間節點進行討論，可以和“絕對值與相反數”的內容進行類比思考。行程問題的分類標準是運動狀態改變時的時間節點，而絕對值的分類討論大部分都是對“正負”進行討論。前者是實際生活中可以進行類比參照的，也是完全可以想象出來的分類討論，而后者更偏于理論上的討論，但是在分類討論的種類分化上，本質是一樣的，就是通過“比較”，找到問題中量的性質變化的臨界點，進行劃分。而這也和戴德金分割的思想一致，即將數集中的數進行分割，分割的標準就是數與數之間的“臨界點”。

再回到教學中，教師設計好教學問題之后，課堂上還要給足學生思考的時間。教師不僅要引導，還要讓他們主動跟著教師的思路走，所以，這就要求：題目的問題設計難度梯度合理，前后緊湊連貫；教師的威信度高，學生信服；教師的設問引導要有誘發性，學生愿意去思考。

（作者單位：江蘇省溧水高級中學附屬初級中學）