高中數學教學中的數學表征初探

郁銀霞

[摘 ?要] 學生的數學學習過程到底是一個什么樣的過程？這個問題是非常有意義的. 要回答這個問題，高中數學教師需要研究一個更為根本的問題，即數學表征問題. 只有知道了在學生學習數學的過程中，數學知識是如何得以表征的，才能知道學生具體的學習過程是怎樣的;也只有知道了學生的學習過程遵循著什么樣的脈絡，教師教學時才能更好地做到有的放矢. 數學表征研究可以為教師的教學研究開辟一個切入點，從而將數學教學研究牢牢扎根在學生的學習過程上;數學表征研究可以面向學生的學習開辟一個切入點，從而為數學知識的建構，以及數學學科核心素養的發展奠定基礎.

[關鍵詞] 數學表征;問題解決;數學學科核心素養

對于相當一部分高中數學教師來說，對數學學科教學的認識可能就停留在“教師教給學生相應的數學知識，學生在數學知識學習的過程中形成相應的解題能力”上. 這樣的認識符合經驗，因為日常教學所遵循的就是這樣一個脈絡. 但是如果換一個視角，就會發現這樣的認識還顯得有些粗放，因為這樣的認識不能回答一個根本的問題，那就是學生的數學學習過程到底是一個什么樣的過程？

首先要指明的是，這個問題是非常有意義的，因為從最現實的應試角度來看，可以說每一個高中數學教師，都想要獲得高效的數學教學效果，每一個學生也都希望能夠提升自己的數學學習成績，而要實現這些都需要學生能夠有效記憶學習過的數學知識，更需要高中數學教師仔細分析數學知識是怎樣在學生的記憶中得以表征的. 換句話說，高中數學教師需要研究一個更為根本的問題，即數學表征問題. 只有知道了在學生學習數學的過程中，數學知識是如何得到表征的，才能知道學生具體的學習過程是怎樣的;也只有知道了學生的學習過程遵循著什么樣的脈絡，教師教學時才能更好地做到有的放矢. 而這樣不僅能夠提高學生的應試能力，還可以在此過程中捕捉到更多的數學學科核心素養的培育時機，從而讓傳統的應試需求與當下的核心素養培育需求都能夠得到滿足.

考慮到問題解決是數學教學中的一個重要環節，因此本文就以數學問題解決為例，來探究高中數學教學中的數學表征.

[?]數學表征研究是關注學生學習過程的具體表現

所謂數學表征，實際上是表征的下位概念. 什么是表征呢？表征就是通過某一個物理的或者心理的形式，將一種事、物、想法或者知識表現出來. 相應的數學表征就是借助具體的數學符號（包括文字符號、圖形符號、數學模型等），來表現數學概念或者數學關系的過程. 從功能上來看，數學表征具有表達交流、操作轉換、建模應用三種功能，而進一步的研究結果則表明數學表征的功能會隨著課程標準的變化而變化，并且三種表征功能的側重點和相互關聯性在不同學段也有不同的特點. 相比較而言，表達交流功能在小學階段依賴于建模應用，而在初高中階段依賴于操作轉換，操作轉換功能在三個學段均處于主導地位[1]. 由此可見，作為面向高中生的數學教學，應當重視數學表征研究，因為只有通過這一研究，才能知道學生的具體學習過程有著什么樣的表現. 對此，筆者的理解是這樣的：

首先，數學表征研究可以為教師的教學研究開辟一個切入點，從而將數學教學研究牢牢扎根在學生的學習過程上.

如果說傳統的數學教學研究，關注更多的是學生對知識的掌握和運用，那么數學表征研究實際上就是將研究點提前了，其關注的是學生在學習過程中如何表征所學到的數學知識. 當然這里有一個客觀與主觀的視角問題，一般認為數學表征是一個客觀的過程，其對應著準確的數學知識與問題;而學生在學習的過程當中，由于主動建構過程的存在，有可能會出現一些曲折甚至是謬誤，但是這樣的情形并不影響科學表征的結果，反而可以讓教師更全面地掌握學生的學習情況，從而保證教學研究的有效性.

其次，數學表征研究可以面向學生學習開辟一個切入點，從而為數學知識的建構，以及數學學科核心素養的發展奠定基礎.

今日的高中數學教學特別重視核心素養的發展，作為一種目標實現，其必然伴隨著學生的學習過程，數學表征可以讓教師對學生學習過程的掌握更加清晰，因此也就能夠獲得更多知識的高效建構以及核心素養發展的空間.

[?]基于數學表征去培養高中生的問題解決能力

著名教育家哈爾莫斯曾經提出過一個觀點，即“問題是數學的心臟”. 美國全國數學管理者大會（NCSM）在《21世紀的數學基礎》中也明確提出，“學習數學的主要目的在于問題解決”. 基于這個觀點，該機構把解決問題能力列為十項基本技能之首. 由此可以得出的一個基本結論就是：學習怎樣解決問題，是學習數學的根本原因. 因此，培養和提高學生分析、解決問題的能力就成了中學數學教學的首要任務. 關于數學問題解決與數學表征之間的關系，20世紀80年代以來，安德森等人在數學問題解決的研究領域，對知識分類的研究取得了豐富的成果，在此基礎上人們開始以數學學科知識為例，進行問題表征理論和數學問題解決研究，從而為數學問題解決的表征研究提供理論依據[2]. 有了這種堅實的理論基礎，那么對于高中數學一線教師而言，在實踐中進行研究也就有了底氣.

例如，在“指數函數”這一知識的學習過程中，要探究出指數函數的性質以及圖像并得到鞏固與運用，那就涉及一些基本的問題解決過程. 比如有這樣的問題：你能指出指數函數y=2x和y=（1/2）^x的圖像的公共點嗎？你能判斷出指數函數y=a^x（a>0，a≠1）一定經過哪個點嗎？

學生解決這些問題時，大腦中會有一個比較詳細的思考過程，即無法真正看到學生的這一思考過程，只能根據學生的數學表征過程來判斷. 那么在教學的過程中，就需要放大學生的數學表征過程. 筆者在課堂上通過觀察、詢問與交流，有這樣一些發現：解決第一個問題時，有學生的第一反應是畫出兩個圖像，然后去判斷交點的坐標，不少學生還會在自己的草稿紙上進行嘗試;另有部分學生的反應則是將這兩個函數解析式組成一個方程組，然后去求解，并且也會在草稿紙上進行嘗試. 不同思路的背后對應著不同的思維，前者是形象思維，因為其加工對象是圖像;后者是抽象思維，因為其思維對象是公式. 當然這不是絕對的，因為形象思維與抽象思維通常是穿插在一起的. 但是知道了學生的這種主要表征方式，對學生的思維方式就有了一個準確的判斷，這為后續教學打下了基礎.

同樣，解決第二個問題時，有些學生比較聰明，他們從問題的表述上，發現指數函數的定義域是R，于是就從中選出x=0來判斷，得出（0，1）這個點. 這實際上是一般思維中的特殊思維，代表著學生思維的敏感性，而在實際教學中注意培養學生的這種思維敏感性，也是非常有好處的. 從核心素養發展的角度來看，如果學生的形象思維與抽象思維得到平衡與協調，如果學生思維的敏感性得到培養，那么包括數學抽象、邏輯推理以及數學建模在內的數學學科核心素養都能夠得到發展.

[?]數學表征是高中數學教學（素養）評價的重要抓手

一個完整的教學必然包括評價，評價需要從結果上進行，也需要從過程上進行. 傳統的教學評價側重前者、忽視后者，而數學表征恰好給了教師一個評價學生學習過程的空間，因此成為數學教學評價包括素養評價的重要抓手.

說到底，無論是在問題解決的過程中，還是在其他的數學知識學習過程中，問題表征都是指向問題或任務在解決者頭腦中是如何呈現、如何表現出來的. 相關的教育心理學研究表明，問題表征依賴人的知識經驗，也受到注意、記憶和思維的影響. 通常認為中學生在問題解決過程中的數學表征，常常處于三個不同水平，即程序性表征、發展的表征、概念性表征[3]. 基于這樣的分類，教師可以緊扣學生在數學知識學習或者運用的過程中，是如何進行概念表征的，其表征的發展水平如何，在陳述性知識和程序性知識建構的過程中又有怎樣的具體表征. 這些都是解析數學表征的有效工具，同時也是數學教學評價以及數學學科核心素養評價的載體. 在前面已經強調過，學生的數學學習過程是內隱的，因此教師唯一有效的抓手就是學生的數學表征過程，從這個角度來看，研究數學表征顯得非常重要. 當然其中有一個重要的原則，那就是在數學表征研究的過程中，根據學生的學習表現判斷學生內在的思維，既需要經驗也需要理論，要特別注意不能憑想象，這是數學表征通向準確判斷最重要的原則.

參考文獻：

[1] ?沈陽，張晉宇，李娜，鮑建生. 20世紀以來中國數學課程標準中算術與代數表征功能的變化及啟示[J]. 數學教育學報，2019，28（03）：12-17.

[2] ?張衛明. 中學生數學問題解決的表征研究[J]. 中學數學，2016（18）：61-64.

[3] ?程龍海，黃興豐. 中學生數學解題表征的一次調查測試[J]. 數學教育學報，2003（02）：63-65.