借助數學史,優化課堂教學

趙睿英

[摘 ?要] 當今中國的教育事業在“立德樹人”理念下得以迅猛發展，培育學生的學科核心素養是踐行這一理念的關鍵，數學史的應用是促進數學核心素養形成與發展的重要因素之一. 文章以“球的體積和表面積”教學為例，從史料的選擇與加工、教學設計與實施、教學思考等方面談一談實踐與想法.

[關鍵詞] 數學文化;數學史;核心素養;思維

數學教育從來就不是一蹴而就的，不是僅憑教師簡單說教就能取得成功的. 真正的數學教育需要社會、學校、家庭，文化、思想等多方面共同協助才能完成. 如今的數學教育以培養學生的核心素養為主要目標，而數學文化的滲透對激發學生學習的積極性具有直接影響，尤其是數學史本身就具有一定的教育功能. 在課堂教學中滲透數學史，有利于學生發現“數學美”，形成創新意識.

[?]教學分析

“球的體積和表面積”是高中數學的重點內容之一. 學生學習本單元前就對柱、錐、臺的面積與體積計算有了一定的基礎，同時對祖暅原理也有初步認識. 但教材介紹球的體積公式時，對于其形成的歷史背景并沒有作過多闡述，而是直接給出推導方案，導致學生對于公式的形成過程一知半解，理解起來也不夠透徹.

為了讓學生感知球的體積和表面積公式的“再創造”過程，筆者在本節課教學中以滲透數學史來驅動學生的學習動機，收效頗豐.

[?]史料的選擇與加工

球的度量是一個古老而又經典的問題. 在中國、古希臘、古印度等的早期文獻中，能發現關于此類問題的研究記載. 至17世紀微積分誕生，人們對球的體積與表面積的研究有了新的突破，這些數學史都為如今的課堂教學提供了豐富的素材.

祖暅原理提出：若將某個高與底面半徑均為R的圓柱挖掉一個“以上底面為底面，下底面圓心為頂點”的圓錐之后，得到的幾何體體積等于半徑為R的半球體體積. 祖暅原理對球的體積與表面積的研究具有重要意義，這也是課堂教學重要的史料之一. 除此之外，與球的體積公式相關的史料還有：

1. 卡瓦列里法

卡瓦列里1635年在《連續不可分量的幾何學》中用卡瓦列里原理證明了若挖掉一個圓柱中同底等高的圓錐后，得到的幾何體體積和一個同底等高半球的體積是一樣的，這與祖暅原理具有一致性[1]. 教學設計時，教師可有意識地引導學生從時間的跨度上感知球體積公式的形成歷程.

2. 《増刪算法統宗》記載的球的體積

《増刪算法統宗》在我國數學史上具有重要意義，本書對球的體積公式的研究有所記載，并以匯編的形式呈現出了一系列問題，如“有個金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六兩，試問金球幾許金？”

教學設計時，可將《増刪算法統宗》中記載的問題改編成例題，讓學生在解題中感知數學文化，了解我國古代對球體積公式的探索歷程. 例如將該記載改編為：已知一只空心的球體外徑為12 cm，球體的厚度為3 cm，該球的體積是多少？

3. 阿基米德墓碑

阿基米德的墓碑上記載了他畢生最重要的研究成果，其中就有“圓柱體積與其內切球體積”以及“圓柱表面積與其內切球表面積”的比值恒為3∶2的記載. 教師可結合學情對這個記載進行改編，以激發學生的探究興趣.

例如改編為：已知一個球內切于一個圓柱，（1）求該球體積和圓柱體積的關系;（2）求該球表面積和圓柱表面積的關系.

學生在問題的探索中，感知阿基米德發現的原理，體會數學學科獨有的統一美，為核心素養的形成奠定基礎.

[?]教學設計與實施

設計教學目標時，教師可借助以上素材內容滲透數學史，激發學生的探索欲，讓學生在潛移默化中感知球的體積與表面積公式的發展歷程，體驗數學文化的博大精深.

（一）教學目標

（1）掌握球的體積與表面積公式;

（2）感知祖暅原理等數學史對球的體積與表面積公式發展的影響;

（3）親歷球體相關公式的發現過程，從深層次體驗觀察、思考、猜想、化歸、類比等多種方法在學習中的應用，提煉積分思想.

（二）教學簡錄

1. 導入新課

將未知轉化成已知是課堂教學的關鍵. 本節課的導入環節，教師可引導學生將本節課待研究的“球的體積和表面積”問題，轉化成學生熟悉的求柱、錐、臺的體積與表面積問題.

問題1 觀察圖1，說說圖中同底等高的三個圖形之間的大小關系.

師：假設圖1中圓柱的體積是3，你們知道圓錐的體積是多少嗎？

生1：圓錐的體積是1.

師：將圖中的半球與圓柱和圓錐分別對比，大家猜想一下半球的體積是多少.

生2：可能是2.

師：如果同底等高的半球體積是2，圓柱的體積是3，圓錐的體積是1，那我們是不是能給這三種圖形建立關系等式？關系等式一旦建立，解決半球體積的問題就能迎刃而解.

生3：V=V-V.

寥寥兩問有效地引發學生進行猜想，可見這是一個成功的導入過程. 學生的思維在問題的引導下逐漸趨于明朗，雖然目前還不能確定“V=V-V”這個猜想是否成立，但為接下來探究公式生成指明了方向.

2. 公式生成

從學生思維卡殼點出發，帶領學生通過構造輔助的幾何體來探討球體積公式的生成. 教師可引導學生再次回顧圓面積公式的推導流程，并將這種研究經驗遷移到球表面積公式的研究中，達到事半功倍的效果.

（1）從特殊情況構造輔助的幾何體.

若能證明“V=V-V”這個猜想是成立的，那么球體積問題就解決了. 因此，接下來就要從祖暅原理出發，尋找證明思路，構建輔助的幾何體.

師：從這個猜想式子來看，等式兩邊的幾何體體積具有相等關系，之前我們接觸過一個證明兩個幾何體體積相等的原理，大家還有印象嗎？

師生共同回顧祖暅原理（略）.

師：現在我們逆向思考，即將同底等高的圓錐與圓柱構造成一個幾何體，這個幾何體的體積與它們同底等高的半球體積相等. 結合祖暅原理，我們可從什么角度來思考？

生4：從高度與截面面積進行思考. 等高的條件已經明確了，現在只要從每個高度的截面面積進行分析即可.

師：不錯，在圓柱中挖掉一個最大的圓錐，從圖2、圖3來看，哪種構造方式能讓兩個幾何體在任何高度的截面面積均相等？

生5：應該是圖3.

師：哦？說說你的判斷方法呢？

生5：從兩幅圖的最高點與最低點的截面面積來看，圖2并不符合要求.

師：非常好！從特殊情況出發進行分析，是解決問題的一種重要方法，也是發展從特殊到一般數學思想的主要途徑.

（2）驗證猜想，提煉球的體積公式.

如圖4所示，分析高度在h處的截面. 如圖5所示，S=πh2，S=πR2，S=π（R2-h2），所以S=S-S. 根據祖暅原理可得，V=V-V，也就是V=πR3-πR3=πR3，所以V=2V=πR3.

（3）與圓面積類比，提煉球的表面積公式.

假設圓由無數個相同大小的三角形組成，這些三角形的頂點均位于圓心上，底邊均在圓周上（見圖6）. 假設這些三角形的底邊無限小，那么這些三角形的高就越接近圓的半徑，底邊的和則接近圓的周長，那么無數個三角形的面積和與該圓的實際面積越接近.

由以上思路，可提煉出圓面積與圓周長的關系S=aR+aR+…=RC，所以S=πR2.

此探究過程對發展學生的數學思維具有重要意義，教師應耐性傾聽學生的見解，鼓勵學生自主表達如何將圓分割成三角形，又怎樣化曲為直，最后趨向于圓面積的推導過程. 同時，教師可帶領學生通過與圓面積推導過程的類比，分析球的體積與表面積之間的聯系：

無限細分：把球分成無數個錐體，頂點位于球心，底面位于球面.

化曲為直：想象椎體的底面無限小，近似為棱錐.

逼近精確值：在無限分割的情況下，這些椎體的高與球的半徑R無限接近，底面積的和與球的表面積無限接近，因此將這些椎體的體積相加，則無限接近球的體積.

通過以上三個步驟的推導，可得V=RS+RS+…=RS，因此S=4πR2.

教師先帶領學生回顧圓面積的推導過程，為新公式的推導奠定基礎;再通過類比思想的應用，讓球的表面積公式的推導與提煉更加流暢、自然. 這種教學方式彰顯了知識遷移的作用. 在此過程中，也可以適當地引入數學史，讓學生在史料比較中，感知知識發展的源遠流長.

3. 課堂練習

課堂練習對學習具有鞏固與提升的功效，為幫助學生建構完整的認知結構奠定基礎.

練習：①若一個球的體積和表面積的數值相同，求該球的直徑;

②已知一個空心球的外徑是16厘米，厚度是4厘米，求該球的體積;

③如圖7所示，一個球內切于一個圓柱，這個球的體積與圓柱的體積之間具備怎樣的關系？該球的表面積與圓柱的表面積之間有什么關系？

第②題根據《増刪算法統宗》中的問題改編而來，學生解題時可聯想到中國古代對球的體積研究的成就. 第③題展示了球與圓柱的一種特殊關系（內切），學生解題時，教師趁機介紹此問答案為阿基米德的重大成就之一，至今在其墓碑上都能清晰地看到.

將數學史料滲透在練習中，不僅能增強學生解題的樂趣，還能讓學生在解題時產生與古人對話的特殊體驗.

4. 課堂小結

本節課的課堂小結，可讓學生復述幾個公式的推導思路與具體過程，并據此談談課堂感悟與收獲，讓學生察覺到觀察、猜想、驗證、化歸與類比法在數學學習中的重要性.

教師還可以設計調查問卷去了解學生的學習狀態，如復述推導思路成功的占比，理解輔助的幾何體構造過程的占比，對數學史融入教學的看法等，為后期調整教學方案提供依據.

[?]教學思考

1. 選擇數學史，實現研究方法的遷移

從史料素材的分析、選擇，學生的課堂狀態以及問卷調查等的綜合反饋來看，擇取合適的數學史進行教學，不僅能讓學生體驗知識的“再發現”過程，還能讓學生從源頭上感悟知識間的聯系，在類比遷移中建構新知.

2. 借助數學史，實現公式的“再創造”

數學發現不僅需要學習者將原有認知進行組合，還需在各種組合中識別出最優[2]. 本節課中，教師借助數學史帶領學生親歷觀察與化歸的過程，在原有知識組合的基礎上去猜想，并通過合適的輔助幾何體與祖暅原理的回顧，實現了公式的“再創造”與“再發現”.

3. 應用數學史，發展數學思想方法

推導球的表面積公式時，教師帶領學生一起回顧推導圓面積的方法，這為探索球的表面積公式奠定了基礎，學生充分感知到類比思想在數學學習中的重要性. 學生的思維也實現了從二維向三維的轉化，為更好地提煉數學思想方法奠定了基礎.

本節課從祖暅原理出發，加上卡瓦列里法、《増刪算法統宗》的記載以及阿基米德的墓碑等史料的輔助，讓學生對球的體積與面積公式的由來產生明確的認識. 在數學史的熏陶下教學，不僅能有效推動學生的探索欲，還能讓學生感知到數學知識的形成需要經歷科學、嚴謹的過程.

參考文獻：

[1] ?汪曉勤，韓祥臨. 中學數學中的數學史[M]. 北京：科學出版社，2002.

[2] ?曹才翰，章建躍. 數學教育心理學[M]. 北京：北京師范大學出版社，2006.