問題驅動,觸及數學教學深處

張新秀

[摘 ?要] 問題是數學的心臟，是學生思維發展的方向與路標. 問題驅動常能喚醒學生原有的學習經驗，激活圖式，提升學生的思考能力. 文章以“任意角的三角函數”為例，具體從“開門見山，直切主題”“舊知回顧，喚醒認知”“探究活動，建構新知”“課堂小練，鞏固新知”“課堂小結，回顧提煉”“作業布置，鞏固提升”六方面進行教學設計，并提出一些思考.

[關鍵詞] 問題驅動;思維品質;三角函數

波利亞認為，問題是指有意識地尋求某種行動，期望達到一個清晰的目的，卻又無法立即達到這個目的[1]. 新課標提出，課堂中，高質量的問題可以驅動學生主動思考，讓學生在豐富的思維活動中深化對知識本質的理解，提高認識，獲得良好的情感態度與思維品質[2]. 由此可以看出，問題在課堂教學中有著重要意義，值得每一位教育工作者去重視、探索與研究.

本文以“任意角的三角函數”為例，具體談談如何在教學設計中利用問題觸及數學教學深處，以激發學生的數學思維，提升學生的數學綜合素養.

[?]教學設計

1. 開門見山，直切主題

課堂導入是一節課的序幕，把握好導入環節，課堂就基本成功了一半. 本節課從教學對象來說，高中生已經具備了較強的邏輯思維能力，對數學內容的接受程度較強;從教學內容來說，任意角的三角函數是高中階段的重點知識，雖然難度系數不高，但對后期教學有著深遠的影響.

鑒于此，筆者結合學情與教學內容的特點，開門見山地導入主題，讓學生在充滿“數學味”的引導中，充分重視并嚴肅對待本節課教學.

師：眾所周知，三角函數是描述周期現象的一種常用數學模型，它的應用十分廣泛，是一種解決生活實際問題的重要工具，在物理、幾何、天文與測量學等領域中有著重要貢獻. 同時，三角函數與其他學科也有著重要聯系，對聲音的傳播、振動的研究都有重要作用. 今天我們所接觸的“任意角的三角函數”問題是解決所有與三角函數相關問題的基礎，也是后續學習的根基.

以上描述，教師將三角函數的重要性、用途及地位都交代得清清楚楚，學生能快速調整狀態進入課堂. 因此，這是一個成功的導入方式，瞬間就吸引了學生的注意力，引發學生對本節課教學內容的研究興趣.

2. 舊知回顧，喚醒認知

問題1 如圖1所示，請大家想一想之前我們接觸過的關于銳角α的三角函數的定義，也就是正弦、余弦、正切（sinα，cosα，tanα）的定義分別是什么？

設計意圖：銳角三角函數的相關內容是任意角三角函數的“先行組織者”. 想要促進有意義的學習，先要調動學生原有的認知經驗，讓學生從信息庫中提取相關信息作為本節課學習的支撐點，此問所提及的sinα，cosα，tanα是本節課教學的基礎.

問題2 如圖2所示，若將一個直角三角形的一條直角邊延長或縮短，與斜邊一起構造出一個新的直角三角形（或大或小），是否可用新的直角三角形的對邊長與斜邊長來表示sinα（α為銳角）？說明理由.

設計意圖：此問意在引導學生從相似三角形的角度出發，發現三角函數蘊含的本質——相似比具有不變性. 同樣，對角α的正切和余弦也成立. 由此可獲得結論：對于確定的角α而言，這三個比值都不會因為點P位于角α的終邊位置發生變化而改變. 學生一旦掌握了這個本質，對接下來探究任意角的三角函數有重要幫助.

3. 探究活動，建構新知

探究活動1：平面直角坐標系內，銳角三角函數的定義.

如圖3所示，我們將銳角α放到平面直角坐標系內進行分析.

設計意圖：關于角的問題，一般可以在平面直角坐標系內進行討論，因此教師直接帶領學生將目光鎖定到坐標系中，角的終邊圍繞原點旋轉一周后又回到了原來的位置. 此探究活動的設計，意在啟發學生感知“周而復始”的周期變化規律，為更好地討論角的問題奠定基礎.

問題3 如圖4所示，在Rt△OMP中，角α的鄰邊、對邊與斜邊分別和點P的坐標存在怎樣的關系？

設計意圖：通過分析坐標與直角三角形中各邊的關系，讓學生直觀感知角α的對邊長與點P的縱坐標b為相等的關系，同時角α的鄰邊長與點P的橫坐標a也是相等的關系，斜邊長為. 若想讓斜邊取值更簡單，可聯想到對于確定的角α，其比值并不會因為點P的位置發生變化而改變，因此將點P放在OP=1這個特殊的位置是合乎情理的.

問題4 銳角三角函數是否可以用平面直角坐標系中角終邊上的點坐標來表示？

設計意圖：從銳角三角函數的定義出發，能讓學生直接獲得三角函數與點坐標之間的關系，即cosα=a（橫坐標），sinα=b（縱坐標），tanα=

，由此引出單位圓的概念.

探究活動2：探究任意角的三角函數定義.

問題5 若α為任意角，是否可以用單位圓上的點坐標來表示α的三角函數？該怎么表示？

學生經合作交流，獲得了如下結論：與銳角三角函數相類比，假設α為一個任意角，單位圓與它的終邊相交于點P（x，y），則①y稱為α的正弦，記為sinα，也就是sinα=y;②x稱為α的余弦，記為cosα，也就是cosα=x;③稱為α的正切，記為tanα，也就是tanα=（x≠0）.

師：我關注到大家在結論中提到的“也就是”為“等價”的意思，但前面的“sinα”是一個解析式，而后面的“sinα=y”是一個等式或方程，這兩者怎么能等價呢？

數學一貫以“嚴謹”著稱，尤其對于概念、定理、法則類的陳述更應該嚴謹. 教師提出這個疑問后，引發學生進行新一輪討論，得到了新的結論：①y稱為α的正弦，記為y=sinα，也就是sinα=y;②x稱為α的余弦，記為x=cosα，也就是cosα=x;③稱為α的正切，記為=tanα，也就是tanα=（x≠0）.

設計意圖：以上問題，意在讓學生自主發現思維的不嚴謹之處，從而培養學生的科學精神. 這種教學方式，不僅幫助學生解決了多個問題，還從一定意義上增進了學生的反思意識與質疑能力，為創新意識的形成奠定了基礎.

探究活動3：三角函數的定義域.

要求學生分別說一說任意角α的三角函數sinα，cosα，tanα的定義域.

設計意圖：學生在表達過程中不僅能建立角的弧度制，還能在角的集合與實數集合間建立“一一對應”的關系，從而自主獲得用弧度制來表示三角函數定義域的能力. 最終學生得到：sinα，cosα的定義域均為R;因為tanα=（x≠0），所以tanα的定義域為α

α≠

+kπ，k∈Z.

以上探究過程層次清晰、目標明確，學生在教師的引導與點撥下，思維由淺入深地逐層遞進. 學生通過自主探索、合作交流不僅突破了本節課教學的重點與難點，還從一定意義上發展了思考能力，使學生的思維水平邁上了一個新臺階. 尤其是探究活動2中教師提出的疑問，端正了學生的學習態度，讓學生進一步認識到數學是一門嚴謹的學科，學習數學應保持慎重的態度.

4. 課堂小練，鞏固新知

課堂小練是學生掌握知識與技能的載體，是鞏固知識結構，發展學生智力，激發學生潛能的重要途徑. 有效的課堂小練，從學生實際認知水平出發，在尊重學生生命活動意識的基礎上設計問題，可讓學生的思維隨著問題的解決拾級而上，從而有效促進學生更好地掌握知識結構. 一般課堂小練以“小量，圍繞核心，高思維”為主. 如本節課，教師結合實際情況，設計了以下兩個問題：

（1）說一說求任意角三角函數的本質是什么;

（2）求的正弦、余弦和正切值.

設計意圖：看似簡短的兩個問題，卻有著鞏固新知的重要作用. 對于第一個問題，求任意角三角函數的本質就是求角α終邊與單位圓交點的坐標，學生一旦掌握了這個核心知識，那么不論問題會發生怎樣的變化，最終都能從這個本質著手去解決，此問也為后續綜合問題的解決奠定了基礎. 對于第二個問題，是學生學以致用的表現，意在鍛煉學生的實際應用能力.

5. 課堂小結，回顧提煉

要求學生思考以下三個問題：①本節課獲得了哪些知識？說一說銳角三角函數與任意角三角函數之間的區別與聯系;②本節課應用到了哪些數學思想方法？③說一說你在本節課的收獲、感受與體會.

設計意圖：第一個問題是對本節課知識的總結，學生回顧知識的同時可厘清知識脈絡，梳理知識結構，完善認知;第二個問題主要引導學生回顧本節課涉及的化歸與轉化、數形結合、方程、符號轉化以及函數等思想，提升思維能力;第三個問題是發展學生個性的問題，考慮到學生客觀存在的個體差異，這個問題不同的學生會呈現出不一樣的答案，堅持學生個性發展與全面發展的辯證統一.

6. 作業布置，鞏固提升

時教必有正業，退息必有居學. 隨著新課改的深入與推進，如今對學生的能力測評重點正朝多元化的方向發展. 本節課的教學重點為任意角的三角函數，作業設計固然以此為中心，結合學生的實際情況，作業設計如下：

（1）觀察下列函數值，其中符號是負的有______. （填序號）

①cos（-220）°;

②sin（-10000°）;

③tan（-10）;

④sinπcosπcosπ.

（2）若β為第二、三、四象限角，那么點P（sinβ，cosβ）分別在______、______、______象限;

（3）若角θ的終邊過點M（x，y），MO=r（r>0）（點O為坐標原點），則sinθ，cosθ，tanθ分別是多少？

（4）思考：若角β的終邊過點P（-3cosα，4cosα），且α∈

+2kπ，（2k+1）π（k∈Z），則角β的各個三角函數值分別是多少？

（5）預習下一節課學習的內容.

設計意圖：多元化的作業設計不僅規避了作業的枯燥性，還在一定程度上為教師從多角度評價學生的學習成效提供了依據. 以上作業并不要求所有學生全部完成，而是讓學生根據實際認知水平選擇作業. 如基礎水平薄弱的學生，只要完成最基礎的（1）（2）（5）即可;中等水平的學生要求完成（1）（2）（3）（5）;而學有余力的學生則要求完成所有作業. 當然，應鼓勵學生“跳一跳，摘到桃”，去完成高層次作業，以突破自我，建立學習信心.

[?]教學思考

1. 重視問題驅動的重要性

問題是數學的靈魂. 從數學史的發展歷程來看，一切知識的形成和發展都是問題發現和解決的過程. 本節課教學，教師通過“問題鏈”的方式驅動學生思維，推進課堂教學，讓知識間建構成系統性和邏輯性關系. 如銳角三角函數與任意角三角函數的類比，讓學生從結構上認清各個知識點的本質.

2. 把握問題本身的意義

每一個問題的提出都應該是深思熟慮的，既要考慮到學生大腦中的信息組塊，還要清晰問題提出的意圖與目標，并從邏輯角度分析其是否能承擔預期的作用[3]. 本節課中，教師提出的每一個問題都是基于教學目標而展開的，一環接一環的問題不僅凸顯了問題本身帶來的知識與技能的教學意義，還具有引導學生思維發展，促進學生能力提升的作用.

3. 注重學習動機的激發

學生才是學習的主體，一切課堂活動的開展都應圍繞學生的發展而進行. 同樣，每一個問題的設計，都應以激發學生的學習動機為目的. 本節課中，教師從三角函數的重要性出發，與學生一起回顧銳角三角函數相關知識，有效激發了學生的學習動機. 同時，知識的探究過程中，教師都是基于動機而提問、引導的;學生在類比分析中，經歷了從特殊到一般的認知過程，積累了數學學習經驗，也充分認識到單位圓定義任意角三角函數的優勢.

總之，教學是不斷實踐與探索的過程，教師只有在準確把握學情的基礎上，邊教學、邊反思、邊總結，才能從真正意義上提出高質量的問題，喚醒學生的求知欲，激發學生的潛能，促進學生各項能力的發展.

參考文獻：

[1] ?G·波利亞. 怎樣解題[M]. 閻育蘇，譯. 北京：科學出版社，1982.

[2] ?中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3] ?鄭毓信. “問題意識”與數學教師的專業成長[J]. 數學教育學報，2017，26（05）：1-5+92.