如何應用類比推理思想提升數學素養

張潔

[摘 ?要] 應用類比推理思想可以將新知直觀化和熟悉化，其有利于學生自學能力和實踐能力的提升，因此其在高中數學教學中得到了廣泛應用. 教學中教師要善于根據知識結構特點，結合學生認知在各教學環節中進行引導和滲透，發揮好類比推理承上啟下的作用，進而提升學生的學習效率和學習能力，促進學生綜合素養全面發展.

[關鍵詞] 類比推理;教育效率;學習能力

類比推理在高中數學教學中最為常見，因為將兩個屬性相同或相似的對象進行類比，不僅可以實現鞏固知識的目的，而且通過類比推理使知識點間的聯系和區別變得更加清晰，有利于新知內化和舊知遷移. 同時，通過類比推理，學生可以利用已有經驗或已知規律對新知進行合情推理，雖然推理過程存在一定的主觀性，結論也有一定的偶然性，但其對學生思維能力和創新能力的發展發揮著不可替代的作用. 因此，在高中數學教學中，教師要注意啟發學生多觀察、敢猜想、重聯系，充分發揮類比推理的優勢，促進學生綜合素養全面發展.

[?]類比推理實施的重要性

首先，類比推理有利于學生學習能力提升. 比如教學雙曲線時，由于學生有學習橢圓的經驗，因此本節內容可引導學生通過類比推理進行自主探究. 橢圓作為圓錐曲線章節的重點內容，因此前面詳細講解了其定義、標準方程、準線方程、切線方程等相關內容，學生對橢圓相關知識點的推理過程已了如指掌. 為了拓寬學生的視野，提升學生的知識運用能力，在雙曲線教學時可以學生為主、教師為輔，讓學生利用已有的橢圓學習經驗通過猜想和類比進行自主探究，這樣通過自主探究和師生合作可輕松地理解并掌握新知.

其次，類比推理有利于學生學習效率的提升. 教學中應用類比推理有利于學生獲取新知，同時與已有經驗或生活實踐相類比可以淡化數學的抽象感，降低數學學習的難度，使學生更易于參與新知的推理和驗證，這樣拓展學生思維的同時也提升了學習效率.

可見，應用類比推理有助于學生學習能力和創新能力的提升，有助于學習質量和學習效率的提高，因此教學中應引起教師足夠的重視.

[?]類比推理的應用

在數學教學中應用類比推理有利于實現新知的內化和舊知的拓展，其可以應用于概念教學、公式和定理推導、總結歸納等各個教學環節，因此，在教學的各個環節中，教師都應注意類比思想的滲透，最終實現學生學習能力的提升.

1. 應用于概念教學

高中數學中學生會學習很多概念，這些概念分散于每個章節，雖然各章節有著明顯的劃分，但概念相互之間存在著一定的聯系，若概念講解中不注重類比，僅從本章節的概念內容出發，忽視概念間的聯系，則會使學生概念學習過于分散，不僅難以記憶，而且容易搞混淆. 因此，在概念教學中，教師要重視知識的整體性和系統性，通過類比淡化概念的抽象性，促進完整的知識脈絡的建立.

例如，在“二面角”概念教學中，教師先帶領學生回憶何為角，類比平面角與二面角，進而理解和掌握“二面角”的定義;然后讓學生動手實驗，通過觀察書本開合的過程理解“二面角”角度的變化. 此過程不僅調動了原有認知方便學生理解，而且聯系生活實踐使聽起來抽象的、復雜的概念通過類比變得簡單明了.

2. 應用于公式和定理推導

得到數學公式和定理往往需要經歷猜想、試驗和推理等過程，其蘊含著豐富的內涵，為了提升學生應用公式和定理的能力，教學中教師要多引導學生關注公式和定理的推理過程.

案例1 等比數列性質的推理.

師：在等差數列{an}中，若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），則a+a=a+a. 這個性質的推理過程大家還記得嗎？

生齊聲答：記得！

師：很好，這是等差數列的一個重要性質，在解題中有著重要的應用. 試猜想一下，等比數列中是否也存在這樣類似的性質呢？會是什么呢？

教師引導學生通過小組合作、收集整理，學生猜想的結果大概有以下幾種：

猜想1：在等比數列{an}中，若pq=mn（p，q，m，n∈N*），則apaq=aman.

猜想2：在等比數列{a}中，若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），則apaq=aman.

猜想3：在等比數列{a}中，若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），則a+a=a+a.

猜想4：在等比數列{a}中，若pq=mn（p，q，m，n∈N*），則a+a=a+a.

從猜想的過程可以看出，學生運用的就是類比推理的思路，即將條件和結論進行類比后重新組合，從而得到了上面4種猜想.

師：大家的想法都很好，那么是否所有的猜想都成立呢？（教師引導學生思考等差數列的相關內容，如對稱性的證明、通項公式的證明）

生1：“猜想1”是不成立的.

師：請說一下你的思路.

生1：我是用舉例法證明的. 若等比數列{a}的前6項分別為1，2，4，8，16，32，取p=1，q=6，m=2，n=3，則有pq=mn，但apaq=32，aman=8，顯然apaq=aman不成立.

利用同樣的方法，學生又驗證了其他3個猜想，發現只有“猜想2”是成立的. 那么“猜想2”是否真的成立呢？雖然學生利用舉例法得到“猜想2”是成立的，然其推理過程并不完整，因此教師帶領學生利用等比數列通項公式繼續進行證明：因為等比數列中apaq=abp+q-2（b為等比數列的公比），aman=abm+n-2（b為等比數列的公比），由于p+q=m+n，則apaq=aman.

在猜想形成和利用通項公式證明的過程中都應用了類比推理，此過程中學生既體驗到了合情推理拓展思路的過程，又感受到了演繹推理的嚴謹;既發散了思維，又提升了推理能力.

3. 應用于問題解決

眾所周知，數學解題的過程就是一個合情推理的過程，學生結合已有經驗，根據已知和結論的特點，通過觀察和猜想找到問題解決的切入點，再通過類比、聯想找到問題解決的突破口，最終解決問題.

案例2 設f（x）是定義在R上的函數，且f（x）的圖像關于直線x=a和直線x=b對稱（a>b），問f（x）是否為周期函數？

題目解析：根據“f（x）的圖像關于直線x=a和直線x=b對稱”容易聯想到函數y=sinx，進而類比f（x）與y=sinx. y=sinx有兩條對稱軸，即x=和x=-，周期為2π，恰好是-

-

的2倍. 結合類比結果提出猜想：函數f（x）是周期函數，且周期為2（a-b）. 猜想得出后，需要進行推理驗證：由于函數f（x）關于x=a對稱，則f（x）=f（2a-x）;又函數f（x）關于x=b對稱，則f（x）=f（2b-x）. 故f（2b-x）=f（2a-（2b-x））=f（2a-2b+x），所以f（x）=f（2b-x）=f（2a-2b+x）. 故函數f（x）是以2（a-b）為周期的周期函數.

可見，通過類比推理可找到問題解決的新思路，發現新結論. 面對一些抽象的數學問題時，要鼓勵學生善于聯想與之相關的知識內容，通過大膽猜想先得到新結論，再將抽象的問題具體化后經過邏輯推理證明和驗證結論. 這樣既可以發散學生的思維，拓展學生的眼界，又可以提升學生的綜合知識應用能力，這對學生學習能力的提升有著積極的推動作用.

4. 應用于知識拓展

數學解題能力主要考查的就是學生的綜合知識應用能力，談到綜合應用就需要明確各知識點之間的聯系，只有知識體系更加系統化和全面化，學生解題時才能根據題目的特點捕捉和提取有用的信息，根據已有經驗重組知識，找到解題的突破口，高效解決問題. 為了讓學生更加明晰知識點之間的區別和聯系，在日常教學中，尤其在復習階段要鼓勵學生善于通過類比進行知識點的整理和歸納，從而使知識結構更加完整和清晰，提升解題效率.

案例3 在△ABC中，求sinA+sinB+sinC的最大值.

題目解析：本題通過聯想試圖利用基本不等式直接求解顯然很難，但與不等式a+b≥2進行類比卻有新的發現.

若α，β∈（0，π），則sinα+sinβ=2sin·cos≤2sin，當且僅α=β時等號成立.

由于sinA+sinB+sinC+sin≤2sin+2sin（當A=B=C及C=時等號成立）;而2sin+2sin≤4sin=2（當A=B=C及C=時等號成立），從而sinA+sinB+sinC≤，即sinA+sinB+sinC的最大值為.

當然，根據基本不等式還可以得出：若α，β∈（0，π），則cosα+cosβ≤2cos;若α，β∈（0，π），則sinαsinβ≤sin2. 若將結論進行類比還可以得出：在△ABC中，cosA+cosB+cosC≤，sinAsinBsinC≤等.

將基本不等式應用于三角不等式中，通過類比可以找到新的解決方法，拓展解題思路，有助于學生解題能力的提升.

可見，新知與舊知相類比可以降低新知的難度，數學知識與生活實踐相類比可以淡化數學的抽象感，類似的知識點相類比可以促進知識的遷移和知識體系的完善，類比推理在數學學習中的好處多多. 因此，在高中數學教學的各個環節中，教師要重視類比推理的引導和滲透，進而促進學生的數學能力提升.